1、概率论计算：1已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。 （1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：设 A1、A2 表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45289710)1|()(APAP(2)451902)|(),AP(3) (4) 451698028)1|2()|()AP519028)1|2()|()1APAP2某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机地取一只晶体管，
2、求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设 Bi（I=1,2,3 ）表示任取一只是第 I 厂产品的事件， A 表示任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式0125. 03.51.08)|()3|(|()BAPBAP4.0125.)(|)|(3房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为 5 的概率；（2）最大号码为 5 的概率。解：由等可能概型有：（1） ;1230CP（2） 446 件产品中有 4 件正品和 2 件次品，从中任取 3 件，求 3 件中恰为
3、1 件次品的概率。解：设 6 件产品编号为 1，26，由等可能概型 56124CP5设随机变量 X 具有概率密度 。 （ 1）确定常数 k；（2）求 P（X0.1）0,03)(xkexf解：（1）由 有 （2）1)(dxf 330kdde所 以7408.31.0).(xexP6一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻 t，每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？（3）至少有 1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以 X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则 Xb(5,0.1)，于是（1）
4、0729.3.125)(CXP（2） 95.051.0.41)()(3)1()()(CXP（3） 40951.)0()(CXP7设随机变量 X 的概率密度为 ,048)(其 它xxf求 )31(xP解： 28dx8由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数 =10.05，=0.06 的正态分布，规定长度在范围10.050.12 内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解：由题意，所以为 0456.)2(1)06.12(. ).5.05(xP9设 XN（ 3，2 2）求：（1） )3(),2|(,1045xP（2） )()(cxP解：（1） 5328.0).() )23(xP96.0)5.3()(2
5、41)04(x697.0)23()2(1)|()|(xP5.0)()3(X（2）由 Pc=P(xc)，即3,0231)()23(ccc所 以10设随机变量 X 的分布律为X -2-10 1 3P 650求 Y=X2 的分布律。解：Y=X 2 的全部取值为 0，1，4，9 且 P（Y=0 ）=P （X=0 ）= ，51P（Y=1）=P（X=-1 ）+P（X=1）= ，307156P（Y=4）=P（X=-2 ）= ，51P（Y=9）=P（X=3）= 故 Y 的分布律为30X 0 1 4 9P 53730111设二维随机变量（x，y）具有概率密度 （1）求分布函数 F（x，y） ；其 它,00,)2
6、()( yxyexf（2）求概率 P（Y X）解：（1）（2）其 它其 它,00,),1)(2(, ,)(,),( yxyexdxdyxyfF31)2(,dyxeyfXYP12已知（X，Y）的联合分律为XY0 1121/81/41/43/8求 X 及 Y 的边缘分布律。解：X 的分布律为X 0 1P 835Y 的分布律为X 1 2P 83513设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，边缘概率密度 。其 它,016),(xyxf )(,yfx解： 其 它其 它,010),2(6,),()(xxxdyxff其 它其 它,010),(6,),()(yydxyyff14设（X，Y）的概率密度为 其 它
7、,042,),6(),(yxkyxf（1）确定常数 k；（2）求 P（X30） ，S 近似服从正态分布 N(， 2/2n)，其中 为总全的标准差，试证： 的 100（r 2）%的置信区间为 nxZSnxZSxZnSxZPNnSxZSnxZ2/12/1/12/2),0(/ 2/:/1/21即则 近 似 服 从近 似 服 从证解 32总体 XN（， 2） 是来自总体区的容量 n=16 的样本，S 2 是样本方差nX,.1 4375.0475.19.)(.)61/)(:95.0.162)(2ktPksuZsXPKiZS有解 值的 试 求 满 足33已知离散型随机变量 X 服从对数为 2 的泊松分布，
8、即 求 X=3X-2 的数学期望 E（ X） 。.2,1)(KkZP4)(232)(3)(:XEXE解34设随机变量 X 与 Y 独立，且 XN（1，2）YN（0，1）试求 X=2X-Y+3 的概密度。18)5(23)(9432(): 2xegzfYDX解35设随机变量的分布律为 P（Z=K ）= ，确定 a。0.)2,1(kaeaaekikKZP010)(:解36设（X，Y）的密度函数为 求 X，Y 的边缘密度函数判别其独立性。其 它,0,),(xyeyxf不 独 立与 其 它 同 理其 它时当解 YZyfxzyfexyxfedyxfzf)(),(0,),(),()(0:37设随机变量（X，
9、Y）的概率密度为 求：常数 C 及联合分布主数 F（X ，Y ） 。其 它,00,)43(),( yxCeyxf其 它解 ,00,)41)(3(,)(,121203),(1: yxexyFdxyfxCcexedyfx38设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 求二维随机变量（X，Y）的联合其 它 当,00,31),( yxyxF（x,y）解：可验证 F（x,y）是连续型二维随机变量的分布函数，则其 它,00,)3(ln),(2323lnl2),( yxyxyFyxXyx39测定某种溶液中的水份，它的 10 个测定值给出 S=0.037%，设测定值总体为正态分布， 2 为总体方差试在水平 a=0
10、.05 下检验假设H0:=0.04%, H 1:a0 是未知参数， 是来自总体 X 的容量为 n 的样nX,.21本，记 。证明： 。niZ1的 无 偏 估 计为 Z3223)()(23)(,02)(:ZEEZdxxPX其 它的 分 布 概 率 密 度 函 数解45设随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 求 X=X-Y 的概率密度函数。其 它,0,13),( xyxyxP其 它时当 时当 时当解 ,01),21(3)()(,123)()00: ZzFdzPZYXPzFZzF46设随机变量 Z 的概率密度为 求 E（Z）及 D（Z） 。xexP|21)(20)(2)( 0|1:dxedxXPE
11、ZDex解47对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在a,b内，求圆面积的数学期望。解：设圆直径为随机变量 Z，圆面积为 Y。)2(124)()(,0124)(badxXfEYbxabxzPZfY其 它则48随机向量（X，Y）在区域 D=(x,y)|0x1,|y|x|上服从均匀分布。求关于 Z 的边缘分布并求 Z=2Z+1的方差。 92184)()()18210)2(3,0122)(,0|1),(:ZDZDExdEZxzPxdzyxyx其 它时当 其 它面 积 为解 49设 是来自参数为 的泊松分布为总体的一个样本，试求 的极大似然估计。nX,.ZnixiniixixLniiXexZP1011)l(l)(l)(1:令解50已知随机变量 Z 的分布函数为 求 E（Z）和 D（Z） 。4,10,)(xF3412)0(),041)()(:ZDExdxFP上 的 均 匀 分 布服 从 其 它解
