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1、概率论 试题一、填空题1设 A、B、C 是三个随机事件。试用 A、B、C 分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C 不多于一个发生 2设 A、B 为随机事件， ， ， 。则 P(A)=0.5(B).6P(A)=0.8P(B)A3若事件 A 和事件 B 相互独立, ， 则 ,.3.7,4. 将 C,C,E,E,I,N,S 等 7 个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量 分布律为

2、则X5(1/2),)kPkAA=_7. 已知随机变量 X 的密度为 ,且 ,则()fx其 它,01xba/258P_ _ab8. 设 ,且 ,则 _X2()N4.3PxPx9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命801中率为_10.若随机变量 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 x2+ x+1=0 有实根的概率是 11.设 ， ，则 30,7PXY407PXYma,0PXY12.用（ ）的联合分布函数 F（x,y）表示 ab,c13.用（ ）的联合分布函数 F（x,y）表示 , 14.设平面区域 D 由 y = x , y = 0 和 x = 2 所围成

3、，二维随机变量 (x,y)在区域 D 上服从均匀分布，则（x,y）关于 X 的边缘概率密度在 x = 1 处的值为 。15.已知 ，则 )4.0,2(NX2(3)E16.设 ，且 与 相互独立，则 ,161YY(3)DXY17.设 的概率密度为 ，则 2()xfe()X18.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，其中 X1在0，6上服从均匀分布，X 2服从正态分布N（0，2 2） ，X 3服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X12X 2+3X3，则 D（Y）= 19.设 ，则 ()5,6,0.4xyDY()D20.设 是独立同分布的随机变量序列,且均值为 ,方差为 ,那么当 充12,n

4、2n分大时,近似有 或 。特别是，当同为正态分布时，XXn对于任意的 ，都精确有 或 .nn21.设 是独立同分布的随机变量序列,且 ，12,nX iEX2iD那么 依概率收敛于 . (,)i21iiX22.设 是来自正态总体 的样本，令 1234, 2(0,)N22134()(),YX则当 时 。CCY223.设容量 n = 10 的样本的观察值为（ 8，7，6，9，8，7，5，9，6） ，则样本均值= ，样本方差= 24.设 X1,X2,Xn为来自正态总体 的一个简单随机样本，则样本均值2(,)N:服从 1ii二、选择题1. 设 A,B 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是 BA（A）P

5、 (A+B) = P (A); （B） ()P(A;（C） （D）(|)(;B)(B2. 以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为 （A） “甲种产品滞销，乙种产品畅销” ； （B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销” ； （D） “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 。3. 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄的，30 个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/54. 对于事件 A，B，下列命题正确的是 （A）若 A，B 互不相容，则 与 也互不相容。 AB（B）若 A

6、，B 相容，那么 与 也相容。（C）若 A，B 互不相容，且概率都大于零，则 A，B 也相互独立。（D）若 A，B 相互独立，那么 与 也相互独立。5. 若 ，那么下列命题中正确的是 ()1P（A） （B） （C） （D）AAB()0B6 设 ,那么当 增大时， X2()NPXA）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。7设 X 的密度函数为 ，分布函数为 ，且 。那么对任意给定的 a)(xf)(xF)()xff都有 A） B） 0()1()affd 01()()2afdC） D） FF8下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A） B） 21()x xxarctn12)(C） D） ，其

7、中)(xF1(),02xe()()xFftd()1ftd9 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x),密度函数为 f(x).若 X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).10已知随机变量 X 的密度函数 f(x)= ( 0,A 为常数)，则概率 PxAe,0（a0）的值 +aA）与 a 无关，随 的增大而增大 B）与 a 无关，随 的增大而减小C）与 无关，随 a 的增大而增大 D）与 无关，随 a 的增大而减小11 , 独立,且分布率为

8、 ,那么下列结论正确的是 1X2 (12)iA） ） C） ）以上都不正确121XPXP12设离散型随机变量 的联合分布律为 (,)Y且 相互独立，则 YX,A） B） 9/1,/29/2,/1C） D） 685813若 ， 那么 的联合分布为X21(,)Y2(,),(YXA） 二维正态，且 B）二维正态，且 不定0C） 未必是二维正态 D）以上都不对14设 X，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x),FY(y),则 Z = max X,Y 的分布函数是A）F Z（z）= max F X(x),FY(y); B) FZ（z）= max |F X(x)|,|FY(y)|C

9、) FZ（z）= F X（x）F Y(y) D)都不是15下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。(,)(1,)3(2,)(,3)/6/8YA）f(x,y)= cosx,0,0y12其 他B) g(x,y)= cs,2其 他C) (x,y)= osx,0,0y1其 他D) h(x,y)= cs,2其 他16掷一颗均匀的骰子 次，那么出现“一点”次数的均值为 60A） 50 B） 100 C）120 D） 15017 设 相互独立同服从参数 的泊松分布，令 ，则123,X3123()3YX()EYA）1. B）9. C）10. D）6.18对于任意两个随机变量 和 ，若 ，则 X

10、Y()()EXEYA） B）()()DY ()XYC） 和 独立 D） 和 不独立19设 ，且 ，则 = ()Poisn:分 布 )(1)2EXA）1， B）2， C）3， D）020 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 是 X 和 Y()YD的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件21设 其中 已知， 未知， 样本，则下列选项中不是统计X2(,)N2123,X量的是 A） B） C） D）123X123max,X231iiX122设 是来自 的样本，那么下列选项中不正确的是 (,)p12

11、,nA）当 充分大时，近似有 n(1),pNB） (1),knknPXCp0,2nC） 1D） (),knkini23若 那么 X()t2A） B） C） D）1,F(,1)F2()n()tn24设 为来自正态总体 简单随机样本， 是样本均值，记n2 ,NX， ， ，2121)(XnSii21)(XSnii213)(niiS，则服从自由度为 的 分布的随机变量是 2241()ii tA) B) C) D) /1nSXt 1/2nSXtnSXt/3nSXt/425设 X1,X2,Xn，X n+1, ,Xn+m是来自正态总体 的容量为 n+m 的样本，则统计2(0,)N量 服从的分布是 12iin

12、miiVA) B) C) D) (,)F(1,)Fnm(,)Fnm(1,)n三、解答题110 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。2.任意将 10 本书放在书架上。其中有两套书，一套 3 本，另一套 4 本。求下列事件的概率。1） 3 本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。3）两套中至少有一套放在一起。3.调查某单位得知。购买空调的占 15，购买电脑占 12，购买 DVD 的占 20%；其中购买空调与电脑占 6%，购买空调与 DVD 占 10%，购买电脑和 DVD 占 5，三种电器都购买占2。求下列事件的概率。1）至少购买一种电器的；2）至多购买一种电器的；3）三种电

13、器都没购买的；4仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为 1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。5 一箱产品，A，B 两厂生产分别个占 60，40，其次品率分别为 1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？6 有标号 1n 的 n 个盒子，每个盒子中都有 m 个白球 k 个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。7从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产

14、品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。 （1）放回 （2）不放回8设随机变量 X 的密度函数为 ,()xfAe()求 (1）系数 A, (2) 01Px(3) 分布函数 。)(F9对球的直径作测量，设其值均匀地分布在 内。求体积的密度函数。ba,10设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于 0.9。11公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子的身高,问车门的高度应如何确定？2(1687)XN:12 设随机变量 X 的分布函数为：

15、F(x)=A+Barctanx,(- ).x求：（1）系数 A 与 B；（2）X 落在（-1，1）内的概率；（3）X 的分布密度。13把一枚均匀的硬币连抛三次，以 表示出现正面的次数， 表示正、反两面次数差的XY绝对值 ，求 的联合分布律与边缘分布。),(Y14设二维连续型随机变量 的联合分布函数为),( )3arctn)(2arctn(yCxBAyxF求（1） 的值， （2） 的联合密度， （3） 判断 的独立性。ABC、 、 ,YXXY、15设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为 f(x,y)= ,(34)0,xyAe其 他求 （1）系数 A；（2）落在区域 D： 的概率。01,2xy16

16、 设 的联合密度为 ，),( xAyf 0,)(),(（1）求系数 A， （2）求 的联合分布函数。YX17上题条件下：（1）求关于 及 的边缘密度。 （2） 与 是否相互独立？ XY18在第 16）题条件下，求 和 。)(xyf)(f19盒中有 7 个球，其中 4 个白球，3 个黑球，从中任抽 3 个球，求抽到白球数 的数学X期望 和方差 。()EX()D20 有一物品的重量为 1 克，2 克，10 克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为 1，2，2，5，10 克，乙组为 1，1，2，5，10 克，丙组为 1，2，3，4，10 克，只准用一组砝码放在天平的

17、一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?21 公共汽车起点站于每小时的 10 分，30 分，55 分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒） 。22设排球队 A 与 B 比赛，若有一队胜 4 场，则比赛宣告结束，假设 A，B 在每场比赛中获胜的概率均为 1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？23一袋中有 张卡片，分别记为 1，2， ，从中有放回地抽取出 张来，以nnk表示所得号码之和，求 。X(),EXD24设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为： f (x ,y)=,0x1,yk其 他求： 常数 k， 及

18、 . EXY()D25设供电网有 10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 ，并且彼此开闭与否相0.7互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 到 之68072间的概率。26一系统是由 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 ，且必n .9须至少由 的部件正常工作，系统才能正常工作，问 至少为多大时，才能使系统正80%n常工作的概率不低于 ？.9527甲乙两电影院在竞争 名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，10问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 。1%28设总体 服从正态分布，又设 与 分别为样本均值和样本方差，又设XX2S，且 与 相互独立，求统计量 的分21(,)nN:1n2,n 1nXS布。29在天平上重复称量一重为 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以 表示 次称量结果的算术平均值，为使 成2(,0.)nX0.195nPXa立，求 的最小值应不小于的自然数？30证明题 设 A，B 是两个事件，满足 ，证明事件 A，B 相互独立。)()(BAP31证明题 设随即变量 的参数为 2 的指数分布，证明 在区间（0，1）上X2XYe服从均匀分布。