1、理论力学作业解答1-3 已知曲柄 , 以匀角速度 绕定点 O 转动, 此曲柄借连杆 AB 使滑动 B 沿直线OAr运动.设 , , .求连杆上 C 点的轨道方程及速度.xCBaAB解: 设 C 点的坐标为 ,则xycosinirya联立上面三式消去 得,22(1/)4xyr整理得轨道方程 22224()(3)axa设 C 点的速度为 ,即v22 2sinsinvyrra考虑 A 点的速度 co2cAa得 coss2rra所以 2s4incosi()cv1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度 转动,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,图中的为一已知常数.试求小环的速度 及加速度dva解
2、: 小环 C 的位置由 坐标确定xtanx22secdv22tanxaxd解法二:设 为小环相对于 AB 的速度, 为小环相对于 OL 的速度, 为小环相绕 O 点转动的速度,v1v2v则 12又设 OL 从竖直位置转过了 角,则, 2sinxd2cosdx22()cossvd2212tantx所以, 小环相对于 AB 的速度为 ,方向沿 AB 向右.()vd1-10 一质点沿着抛物线 运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的 倍.如2ypx 2k此质点从正焦玄( )的一端以速度 出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率 .,u解: 设条件为, , nak2vdvsdvatt上面三式联立得 2d
3、v两边积分 , 0(2)vukd 2kvue由 可得 2ypxyp在正焦玄两端点 和 处, , .可看出,两点处抛物线得切线斜(,)2A()B1AyB率互为倒数,即 ,代入得kvue1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后 的甲板,蓬高 .但当轮船2m4停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前 ,如果雨点的速率为 ,求轮船的速率.38/s解: 设相对于岸的速度为 ,雨相对于岸的速度为 ,雨相对于船的速度为 则0vvrv0rv速度三角形与三角形 ABC 相似,得02314vBCA所以 08/ms方程 的解320yph解: 作变换 ,原方程变为2z6320pzh设 , , , 则
4、642Rph21/3()AR21/3()BpRA32i实根 21/321/31yBph两个虚根: ,23y对于该题,只取实根.1-38 已知作用在质点上的力为 , ,1213xFayz2123yFaxyz其中 都是常数,问这些 应满足什么条件才有势能3123zFaxyz,()ij ,ij存在?如果这些条件满足,试求其势能.解: 由 得: 0,(1,23)ijjia121233123()()xyzdVdFxayzdxayzdaxyzd12132300023121()()( zazxyzxc1-39 一质点受一与距离 3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达 时的速度
5、和自 静止出发到达 时的速率 相同.a1va/4a2v解: 依题意有 ,两边积分3/21dmtx, 13/20va1va再积分 ,243/201avmddx21mva可知 121-43 如果质点受有心力作用而作双纽线 的运动时，则2cosra4273mahFr试证明之。解：比耐公式2()duFhm而 代入得221cosura4523du427mahFr1-44 质点所受的有心力如果为 23()r式中， 及 都是常数，并且 ，则其轨道方程可写成 。试证2h1cosarek明之。式中 ， ， （A 为积分常数） 。2hk2ka2ke解：比耐公式 将 F 代入得2()dum，式中22dukh2hk其
6、解为20cos()A2 0021cos()1cos()kharAek式中 ，2kha2ke将基准线转动一角度，可使 得01cosrek2-2 如自半径为为 的球上，用一与球心相距为 的平面，切出一球形帽，求此球ab形帽的质心。解：方法一球形帽可看作由许多圆薄片沿 Z 轴叠成，其质心坐标 0cxy2 32cos1242/cs3o/cs(in)(so)(sc1(os)3()crbc brrrdzdzr方法二取任一垂直于 OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 2()dmVsdzrzd242 231()() ()rrrbb bc rzzdzdr2-3 重为 的人，手里拿着一个重为
7、的物体。此人用与地平线成 角的速度向前Ww跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度 水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳u的距离增加了多少？解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为 ，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为0cosv，则v00(cos)()cosWwWwvuvgg人抛出重物后，做以 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离v000sinsincxv两式联立得 0iwuvWg讨论：若抛出物体时速度是相对人后来的速度即 ，则上面第一个方程变为v0()()cosvuvgg结果是 0inwxW一个例子：人重 60
8、公斤，物重 2 公斤，起跳速度 ，抛物速度 ，则5/ms10/s0.12m2-13 长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此l时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。解：【方法一】设链条的线密度为 ，则 时刻下落的链条质量为 ，此时链条所受的t ()2lmy重力为 ，根据牛顿第二定律有()2lmgydvlgt作变换 代入上式,ydvt()2lvdg两边积分 ，200()lvygd132vgl【方法二】设链条的线密度为 ，当链条往下移 ，重力做的功为0yWgdy238l lWgydm，1lv12
9、vgl216 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解：变质量动力学方程 ()dmvugtt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度 ，代入上式得0ut设雨滴半径 的增长率为 ， ，式中 为 时雨滴的半径，雨滴的质rratt量，式中为 密度34mdvgtat其解 34()()atc设 时， 的0tvc434()gatt5.1 半径为 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一r端则在碗外，在碗内的长度为 ，试证棒的全长为 。c24()cr解：如图示，主动力 ，由虚功原理得mg0y而 (2cos)lyrinsg24cs()orrlc讨论：
10、对直角坐标，由虚功原理有0xyWFmg好像不能选 做广义坐标。实际上，若选 做广义坐标，则广义力不是 ，而是yFyxydQF平衡条件是 而不是0yxyF0y本题中，平衡方程是奇点方程 ，即 ，解之得dxx24()crl广义坐标的定义域 A， 的定义域 B，平衡位置在 A 内，但不再 B 内，即平衡方程是奇dxy点方程 。dxyP359【例题 5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度 绕轴转动。一质量为 的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动。试用正则方程求小环在在 方向m x的运动微分方程并求解方程。已知抛物线的方程为 ，式中 为一常数。24xay解：体系动能 221()Txy体系势能 Vg而 ， 所以 24xya2xya所以 22021()TmT4xVga拉氏函数 2221()44xxLTmmgaa哈密顿函数222201()44xxHTVmmgaa， 2(1)4xLxpma2(1)xp222414xxHmgaa代入正则方程得 22() 02xxmxga初始条件： ， 令 ，0,t142ga方程变为 22(1)xx当 时022 211 21()()()CxArthtC其中 ，210x22 200 011()()xCxArth当 时22 211 21()()()CxArthtC其中 ，210x22 200 011()()xCxArth
