1、第五章习题答案5-1 解：穿过速度 v 运动的矩形线框的磁链为： vtkavtkabNBdykBNdmvtamSm 2sin2sincos2所以，线框的感应电动势为： kvtabvNBdtvktdtmsin2i sii /5-2 如题图所示，一半径为 a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场 B 中以等角速度 旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试证明两电刷之间的电压为 。2B证明：，选圆柱坐标，evevEzind其中 v200aBdedvlalin证毕 5-3 解：平板电容器极板间的电场强度为： tdUuEmsin则位移电流密度为： tDJco05
2、-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为 、 ，长度 ，r1cr42cml5.0极板间介质的介电常数为 ，极板间接交流电源，电压为 。求04 V1sin60tu时极板间任意点的位移电流密度。st0.1解法一：因电源频率较低，f=50Hz 为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为 ，外导体电荷为题图 5-2zv，因此有eE0221r100ln2121 rddlurr 120lnru所以 ， erE12leruD12ln21212 A/m0cos60lnln etreturtDJd 当 时st2512A/m08610cos
3、604ln eeJd.解法二：用边值问题求解，即 4012u由圆柱坐标系有 (1)(1解式(1)得 21lnc由边界条件得： 4lucn所以 etE4l10si26tDlni0ettDJ 104lncos260当 时 st1)(108625mAeJD.5-5 由圆形极板构成的平板电容器 见题图所示，其中损耗介质的电导率为 、介da电系数为 、磁导率为 ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。解：由于电容器两端的电压为直流电压，因此没有位移电流，只有漏电流。 由 知 ,EdUzedU2RUId电流强度均匀分布且
4、垂直于极板，在介质内部，电场强度为： ze在任意一点的电流密度： zJEed利用安培环路定律可得任一点的磁场强度为： dUH2故 e所以玻印亭矢量为： 22dUdzeeES外部空间进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为： 22dadsPa 负号表明电容器吸收功率。由于电容器的电导为: daUdUIGa 2202故：题图 5-5,d a +-0UzHIUGdaP225-7 解：设球形电容器内的传导电流为 I，取以坐标原点 O 至介质中任意点的距离 为半径的球面，有： JdcsC24于是，传导电流密度为： e2IC电场强度为： JE24I所以 baIdIdubal 12于是可得： cmItabU
5、I os4位移电流密度为： eDJttEtmsin2故可得位移电流为： tabUtabUdI mmSD sin4sin22J全电流为： ttabtabtabUIi mmmDC sinco4cos4sin45.8：采用圆柱坐标系：极板间的电场为： zdueE故位移电流为： zmDtdUtt eJcos应用全电流定律： lId2H故 etUmcos5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为 ，电导率为 。分别求81rS/m24.频率 、 以及 时位移电流密度和传导电流密度的比值。Hz1kfMz2fGHz13f解：令交变电磁场的电场强度为 tsinE传导电流 JC 和位移电流 JD 分别由以下公
6、式计算：tsinE tttDcosi所以位移电流密度和传导电流密度的幅值比为： 890 10324103682 ./J ffKrC 分别将三种频率代入上式中得： 4-8-31010759.f 1-8-6103K6.f 0759810.f5-11 题图所示的一对平行长线中有电流 。求矩形线框中的感应电动势。tItimsin)(解：在圆柱坐标中，由无限长直导线产生的磁感应强度为 eIB20左边一条产生的 etIImsin21010右边一条产生的 tIeIBi20202左边导线对矩形框产生的磁通 1bcthIdtISdmcbmcb lnsi2sin201011 右边导线对矩形框产生的磁通题图 5-1
7、1acthImlnsi20所以矩形框的磁通 cbtIl2i01所以 cbathItmln2cos05-13 真空中磁场强度的表达式为 ，求空间的位移电流密度zz extHe)si(0和电场强度。解：由 得dyzzzyx JexeH0ydtJ)cos(又由： ，tDd所以 CextHt yt )sin(00 tEy)i(00因为无恒定场分量，所以 C所以 yextHD)sin(05-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为 ，介质的介电2/)5sin(2mAeztJxD常数为 ，磁导率为 。求介质中的电场强度 和磁场强度 。00EH解： 由 得tDJ， xeztE)5cos(20xtDeztd
8、)5cos(20又由 可得tBEyeztH)5cos(102,20所以： yyezt)5cos(5-16 半径为 ，厚度为 、电导率为 的导体圆盘，盘面与均匀正弦磁场 正交，如题图Rh B所示。已知 ，忽略圆盘中感应电流对均匀磁场的影响，试求：（1）圆盘中xetBsin0的涡流电流密度 cJ；（2）涡流损耗 。eP解：选圆柱坐标，由于盘面与均匀正弦磁场 正交，有变化的磁场产生的电场就只有 方Be向分量，且为半径 的函数 zzz etBteEEee cos1001 0求解可得： zetBEcos210所以 CzJ hRBdhBdtJTdVPcc 420202R02022 1681V)(1 5-1
9、7 由圆形极板构成的平行板电容器，间距为 d，其间的均匀介质，电导率为 ，介电常数为 ，磁导率为 ，当外加电压为 V 时，忽略电容器的边缘效应。试求0tUumsin电容器中任意点的位移电流和磁感应强度（假设变化的磁场产生的电场远小于外加电压产题图 5-16zB生的电场） 。解： dUE， （1）dtUEmsin， （2）ttDJ ttJcod方向 ：E 和 J 的方向相同，从高电压方向指向低压方向。由全电流定律： Sd EtDlHSl 即： 22sin2 dUdtUHmmcos由此解得： etti故电容器中任意点磁感应强度为： eHB dtUdtUmm2sin2cos0005-18 已知大地的
10、电导率 ，相对介电常数 ，试问可把大地视为良导S31510r体的最高工作频率是多少？解：由题意知满足磁准态场的条件：由 时，大地可视为良导体，在工程中可以认1为取两个数量级时，可认为满足远远小于条件，即： 0.f2所以： Hz 412398547.201f5-19 （1）长直螺线管中载有随时间变化相当慢的电流 。先用安培环路定律求tIsin0半径为 a 的线圈内产生的磁准静态场的磁感应强度，然后利用法拉第定律求线圈里面和外面的感应电场强度；（2）试论证上述磁准静态场的解只有在 0 的静态极限情况下，才精确地满足麦可斯韦方程组。解：（1）对于长直螺线管，在均匀密绕的条件下，磁场方向与电流方向成右
11、手螺旋关系，为（1）0sin)(zetNItB)(aN 是每单位长度上的线圈的匝数。由于磁场分布具有轴对称性，因而它感应出的电场也具有这一性质，其方向与磁场成右螺旋。取半径为 的同心圆周为积分路径，应用法拉第定律，可求得沿 方向的磁场产生的电场 ze为 Sl dBttEd)(2,tIaNdticos0220 )(a（2）所以有：（3）02cosE(,)IttNa )(a（2）将（1）式和（3）式代入麦可斯韦方程中tDH容易验证两边不相等，只有在 0 的静态场极限情况下，才精确的满足麦可斯韦方程组。)(1)(1B000 zzBee )()(10000 tNitNie )(a（4）tINaetED
12、sin2t 0020 )(a（5）很明显，式（4）和式（5）不相等，但是当 0 时 0，精确满足麦可斯tDH韦方程组。5-20 同题 5-17，假如圆形极板的面积是 A，在频率不很高时，用坡印廷定理证明电容器内由于介质的损耗所吸收的平均功率是 ，式中 R 是极板间介质的漏电阻。UP2与 5-5 题方法相同。5-22 一块金属在均匀恒定磁场中平移，金属中是否会有涡流？若金属块在均匀恒定磁场中旋转，金属中是否会有涡流？答：平移时没有，旋转时有。5-23 当有 Hz 和 两种频率的信号，同时通过厚度为 1 的铜板时，3104f 52104f m试问在铜板的另一侧能接收到那些频率的信号解：由于透入深度公式 d（1）分别把两种信号代入（1）式得： ， 1m 04.d1 m 104.d2所以，只有第一种信号可以通过，即在另外一侧只能接收到第一种信号。5-24 解：最大干扰磁场的频率可以认为工频，f=50Hz，这样，铝板和铁板的衰减常数分别为： 958321073545026.Al 17067 .Fe设铝板中的磁场从表面处的 H=12A/m 经厚度为 后衰减到 0.01A/m，则有：Alh0112.Alhe所以可得： cm458l同理，可得 mm923.Feh
