1、2.4 镜 象 法Method of images根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用 Laplaces equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法 称为镜象法。1、镜象法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或
2、介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？光学成像理论给我们的启发：当我们把 点电荷作为物 ，把导体或介质界面作为面镜，那么 导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象 ，然后把 物和象在场点处的贡献迭加 起来，就是我们讨论的结果。2、 镜象法的理论基础镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷 ” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由 Poissons equation or Laplaces equation 和边界条件决定。这里要注意几
3、点：a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poissons equation or Laplaces equation，即 所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。 因此， 做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。 在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c)一旦用了假想（等效）电荷
4、，不再考虑原来的电荷分布。d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。 e)镜象法所适应的范围是： 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替； 导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。3、镜象法的具体应用用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（ 坐标系选择仍然根据边界形状来定）b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用于一些特殊的边界情况。点电荷与平面导体(a)Q(b)Q(c)Q点电荷与球形导体Qo(d) (e)o Q点电荷的镜 像F各种简单边界的组合作为边界(c)Q(a)Q(b)QF线电荷与平面导体(a)(b)(c)F线电荷与圆柱形导体o(a) (b)o 线电荷的镜 像导体上的感应电荷密度为：（ 1）镜 像 电荷与导体上的感应电荷不一定相等。（ 2）由镜 像 法求出电势分布以后，由上式可求感应F平面与圆柱形边界的组合作为边界电荷(a)(b)(c)
