1、 第 1 页 共 10 页2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修 II）第 I 卷（共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 ()()PABP如果事件 A、B 相互独立，那么 一选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1） （ ）221ii（A） （ B） （C）1 （D ）i i1（2）函数 的反函数图像大致是 （ ）0xy（A） （ B） （C） （D）（3）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）sincos12yxx（A）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,
2、012（B）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是,（C）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是2,06（D）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是,（4）下列函数既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）1,xy1oxy1xo1 第 2 页 共 10 页（A） （B ） （C） （D）()sinfx()1fx1()2xfa2()lnxf（5）如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是（ ）321 3（A）7 （B） （C）21 （D）721（6）函数 ，若 则 的所有可能值为（ ）21sin(),0,().xxfe(1),fa（A）1 （B） （C）
3、（D）22,21,（7）已知向量 ，且 ， ，则一定共线的三点是（ ,ab,56Aabab7ab）（ A）A、B、D （B）A 、B、C （C）B、C、D （D）A 、C 、D（8）设地球的半径为 ，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于南纬 东经 ，则甲、R41205120乙两地的球面距离为（ ）（A） （B ） （C） （D）3656R3R（9）10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）1012212（10）设集合 A、B 是全集 的两个子集，则 是 的（ ）UABU（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不
4、充分也不必要条件（11） ，下列不等式一定成立的是（ ）a（A） （B）(1)(1)loglog2a(1)(1)loglogaa（C） ()()a (1)()lla（D） (1)(1)lla()(1)a（12）设直线 关于原点对称的直线为 ，若 与椭圆 的交点为:20lxyl 214yxA、B、 ，点 为椭圆上的动点，则使 的面积为 的点 的个数为（ ）PPAB12P（A）1 （B）2 （C）3 （D） 第 3 页 共 10 页第 II 卷（共 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.（13） .22lim_(1)nnC(14)设双曲线 的
5、右焦点为 ，右准线 与两条渐近线交于 P、 两点，如2(0,)xyabFl Q果 是直角三角形，则双曲线的离心率 .PQF_e(15)设 、 满足约束条件 则使得目标函数 的最大的点 是xy5,3210,4.xy65zxy(,)xy._(16)已知 是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：mn、 、若 则/,/mn若 则 若 ，则 是两条异面直线，若/ ,/mn/,n，则/,mn/上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）_三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知向量 和 ，且 求(cos,in)
6、2sin,co,2 82,5mn的值.cos28(18)(本小题满分 12 分) 第 4 页 共 10 页袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 现有甲、乙两人从袋中轮流摸1,7取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量 的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.（19） （本小题满分 12 分）已知 是函数 的一个极值点，其中 ，1x32()(1)fxmxn,0mnR（I）求 与 的关系式；n（II）求
7、的单调区间；()f（III）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 ，求 的取值范1,x()yfx围.(20)(本小题满分 12 分)如图，已知长方体 1,ABCD12,AB直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于130ED， 为 的中点.EF（I）求异面直线 与 所成的角；AEBF（II）求平面 与平面 所成的二面角；D1（III）求点 到平面 的距离.（21） （本小题满分 12 分）已知数列 的首项 前 项和为 ，且na15,nnS*15()nSN（I）证明数列 是等比数列；（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与21()nfxxa ()fx(1)f2(1)f的大小.2
8、3n(22)(本小题满分 14 分)已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .,02p2px0pA1BCD1F11E 第 5 页 共 10 页（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当OOAB变化且 为定值 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.,(0)2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（试题参考答案）理科数学（必修+选修 II）一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B D C C A D D A A B二填空题13 14. 15. 16. 32e2
9、,3三.解答题17.考查知识点：（三角和向量相结合）解: cosin2,cosinmn=2()= =42(cosin)4cos41cos4由已知 ,得 又85m7252()18216cos(),9808 4cos2518.（考查知识点：概率及分布列）yxo,02pFMN 第 6 页 共 10 页解:(I)设袋中原有 个白球,由题意知n27(1)1()67nCn可得 或 (舍去)即袋中原有 3 个白球.32(II)由题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5(1);7P432;6()54;743P21()6所以 的分布列为:1 2 3 4 5P377653513(III)因为甲先取,所以甲只有可
10、能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 ,则A2()153AP19.（考查知识点：函数结合导数）解(I) 因为 是函数 的一个极值点,所以 ,即2()36()fxmxn1()fx(1)0f，所以610n36（II）由（I）知， =2()(1)fxmx 23(1)xm当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下表：0m1(ffx2,121,1 ,()f00 00 第 7 页 共 10 页()fx调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减故有上表知，当 时， 在 单调递减，在 单调递增，在 上单0m()fx2,1m2(1,)m(1,)调递减.（III）由已知得 ，即()3f
11、2()0x又 所以 即 0210xxm21,1,x设 ，其函数开口向上，由题意知式恒成立，()()g所以 解之得 又 所以2100()43m0403m即 的取值范围为m4,320(考查知识点：立体几何)解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，1ABCDABxADy所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系1z由已知 可得 ，12,(0,)(2,0)(1,)F又 平面 ，从而 与平面 所成的角为 ，又 ，ADBD1AB30DBA2， 从而易得E31,A32,0,2E（I）因为 所以 =,0,1,2BFcos,AEBF124易知异面直线 所成的角为AE、 2ars4（II）易知
12、平面 的一个法向量 设 是平面 的一个法向量，1B(0,1)m(,)nxyzBDF 第 8 页 共 10 页由23(,0)BD 0nBFD023xzy3xzy即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐1,n 15cos,mnBDF1A角）为 5ars（III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，ABDFABFn所以距离 = 所以点 到平面 的距离为cos,dn25ABD2521 （考查知识点:数列）解：由已知 可得 两式相减得*15()nSN1,4nS即 从而 当 时 所12n12na2na1215S以 又 所以 从而16a121故总有 ， 又 从而 即数列 是
13、等比数列；12()nna*N15,0a2na1na（II）由（I）知 3nn因为 所以21()nfxaxa 112()nfxaxa从而 =2 23(32)= - =32n 1 16n由上 - =2(1)3nf2=12 ()n ()(1)当 时，式=0 所以 ；213fn当 时，式=-12 所以2n0() 第 9 页 共 10 页当 时， 又3n100112nn nnCC 21n所以 即 从而n2()f2322 （考查知识点:圆锥曲线）解：（I）如图，设 为动圆圆心， 为记为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为M,0pFM2px，由题意知： 即动点 到定点 与定直线 的距离相等，由抛物线的定义NF
14、N知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线，所以轨迹方程为,02p2px；2(0)ypxP（II）如图，设 ，由题意得 （否则 ）且 所以直线12,AyBx12x12,0x的斜率存在，设其方程为 ，显然 ，将 与Bkb21,ypykb联立消去 ，得 由韦达定理知2(0)ypxPx20y1212,pykk（1）当 时，即 时， 所以 ，tan1212,0yxy所以 由知： 所以 因此直线 的方程可表示为21204yp214yp24pbk.pkAB，即 所以直线 恒过定点kxP()0kxAB,0（2）当 时，由 ，得 = =tan()tan1t将式代入上式整理化简可得： ，所以 ，12()4py 2tpbk2tanpbk此时，直线 的方程可表示为 即ABykxtan() 第 10 页 共 10 页所以直线 恒过定点AB2,tanp所以由（1） （2）知，当 时，直线 恒过定点 ，当 时直线 恒过定点AB2,0p2AB.,tanp
