1、1高二数学竞赛班一试讲义第 3 讲 函数与反函数班级 姓名 一、知识要点：1、函数与映射的定义函数：若 A，B 都是非空数集，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个数 x，在 B 中都有唯一一个数 y 与之对应，则称 f: AB 为 A 到 B 上的一个函数。A 称为它的定义域， 集合f(x)|xA叫函数的值域。（1）映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。（2）单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。（3）满射，若 f: AB
2、 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是A 到 B 上的满射。（4）一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: AB。2、反函数若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 的反函数是 .
3、21a1log2a定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。二、例题精析例 1 （1）求函数 的最小值222 99314fxxx（2）若实数 满足 ，求函数,y25(,)8650860fxy的最大值例 2求函数 的最大值22()109685fxxx2例 3方程 一共有 个解.12012x 例 4设 是实数， 对任意三个实数 存在一个以k4()kxfcba,为三边长的三角形，求 的取值范围 .),(cfbaf k例 5 （2014 华约） （
4、）求证： 的反函数为 ；)(xgfy)(1xfgy（） ， ，若 ，求证： 为奇函()Fxf1()G()FGf数例 6 （2014 华约）已知 ， ，求证： nNxn2(1)nxe例 7设 是方程 的根， 是系数为有理数的二次多项式，且u310x()fx，求 （ 华约）21(),(fu()f2013三、精选习题1已知 为一次函数，若对实数 满足(),()fxghx，则 的表达式为（ ） 。1,320,xf ()hA. B. C. D.()2hx()hx1()2x1()2hx2对 a,b R,记 maxa,b= 函数 f（x）max|x+1|,|x-2|(x R)的最小值是 ba, 3定义 ，
5、，若 有()max(,),b2(ma(1,65)f ()fxm四个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是 .4设 是正实数. 若 的最小值Raxxxf ，22206)(为 10，则 . 5函数 f(x)= 的最大值为 11324246 （2013 福建）函数 图像的对称中心是 ()32013fxx7已知 ，求 的值。22596596f 50ff8设 为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张1201201,ab 的方格表中，即在位于第 行与第 列的交叉处的方格中填入数 ；0ij ijab已知表中任一行的各数的乘积皆是 ，证明：表中任一列的各数的乘积也是 20149设函数 ，实数 满足 ， ，|
6、)1lg(|)xf )(,ba)21()bfaf 2lg4)160(baf求 的值ba,10 （2011 安徽）设 （ 是实数） ，当 时， . cbxaxf3)(a, 10x1)(0xf求 的最大可能值 . b11 （04 全国联赛）已知 ,是方程 2410()xttR的两个不等实根，函数 2()1xtf的定义域为 ,。（）求 ma()in()gtff；（）证明：对于 0,23iu，若 123sinisin1,uu 12316(tan)(t)(ta)4gg则 。5高二数学竞赛班一试讲义第 3 讲 函数与反函数例 1 （1）解：由于 2221 344xxfx令 ，此为抛物线方程，其焦点为 ，准
7、线23xy30,F方程为 ，记点 ，则 可以改写为43,4A，它表2221 33 4fxyxy示为抛物线上的点 到点 与到焦点 的距离之,MF和： ，注意点 在抛物线的上方，由于fAFA点 到焦点的距离等于其到准线的距离： ，故当点 移至 使在垂线MH1M上时， 的值最小，为 ，即 ，所1H11394A94f以 574f（2）解：将根式中的 进行适当转换： ，于是502250()xy（ ），这样，函数222(,)(3)(4)(3)(4)fxyyxy2的值就可看成是圆 上的动点 到圆上的两个定点,P的距离之和，易知，当 ， （ 为定值）时，,4,ABABa点 的轨迹是一个以 为焦点， 为半长轴的
8、椭圆，P,Aa当点 位于 的中垂线与圆周最远交点 时， 值为最大，其值为(0,5)C2222(0,5)(3)(54)(3439610f2例 2解： ，则定义域196fxxx为 49为了从两个根式中移出相同的常数，注意 ，即(1)，令 ， ， 为锐角，221643cos634sin63x又由 ，即 ，()95xx224915x令 ， ， 为锐角；4sin5cos所以 ，163,9xx643sin,xYXHH1OAF MM1yxCPBA6，于是，45sinx，当 时等()3cosin35cos()35f号成立，此时 ，于是 19c6x19(1)966xx， ， ，而 ；8267x12647x4,7
9、即当 ， 取得最大值 431()f35解二：利用 ，()abcdabd（因为 ，即 ，2)c2()()abcdabd两边开方便得上式，其中取等号当且仅当 ） ；因此 ()1)(9(64fxxx16494x，其中取等号当且仅当 ，即 635 )()137例 34 方程 的所有解为 ；02或方程 的所有解为 ；21x 51或x方程 的所有解为 ；339或方程 的所有解为 ；4614或方程 的所有解为 ；125x02x或一般地，方程 的所有解为(2)n .()(3)nnx或例 4解： 恒成立 0fx令 21k2tx对称轴 t,min00kk， 最小值两倍最大值 24(1)()xfx1k()fmin1
10、422max23(),3kf故 14axmin()(),kffx1故 -结论： ,4-27例 5例 6例 7解：因为 皆不是方程的根，故方程没有有理根，因此 是无理数；1,25,0 u设 ，其中 为有理数， ，据条件， ，()fxabc,abc0a310则 22432)44uuu，又由条件，21(30(1 ；2 2)()()bfabcac即 ，2(4)80buu改记 ， 为有理数，成为 ,()sr,s20busr8，因此， 22320()()busrbursr231(10)rsbs即 ，因为 是无理数，则(0，若 ，由220sbr3232sr即 ，这与方程无有理根矛盾！因此 ，由， ，得310
11、 0b0sur，导致 ， ，于是,sr(42),(82)0aac1,2ac，因此 2()fxf1答案 C 。(1)()22xhx2 3 4 2.,5 f(x)= ，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，.0 2222 )0()1()3() xxB（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为| PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。 所以123f(x)max= .6 设 。7)， 11(07)605056gxfx x则 。1() ()656gx 为奇函数， 的图像关于原点 对称。gx()gx()， 的图像关
12、于点 对称。f07，7 1212340ffff8证：第 行的各数乘积为： ，i 201()(),12,iiiababi 故知 是多项式 1201,a 1fxx 1的 个相异根，因此该多项式又可表为： 1220()()fxa 2取 ， ，则由 ， ，kxb,2 1 0kb由 ， ，因此，2 12201()()()kkfaba，左边恰是表中第 列各数之积，120kka,09 35b910由 可知133(0)abfcf12()(1)(03bfff满足题设， 的最大可能值为 .)(xxf211解：（）设 22121,40,410,xxtxt则2 14()(),()t则 2121212122()() tfxfxx又 111221()0()0tt ffx故 ()f在区间 ,上是增函数。.5 分 ,4t22()()max()in()1tgffxf10225181(5)6tt.10 分（）证： iiii uug2cos91)3()(tan221646(,)9cosi i33 32 211 11cs(69)sin)(tan)i ii ii ugu .15 分33211s,(0,),siniii ii u且，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立， 123(759)6(tan)(t)(tan)346gugu.20 分
