1、 26 第三章习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数 (s)。 tetk 25.10125.0)( 解 ( ) ( ) . / ( . )s L k t s 0 0 1 2 5 1 25 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述 T c t c t r t r t ( ) ( ) ( ) ( ) 其中， 0(T- )1。试证系统的动态性能指标为 TTTt d ln6 9 3.0t Tr 22. TTTts )ln (3 解 设单位阶跃输入 ssR 1)( 当初始条件为 0 时有 :11)( )( TsssR sC 11111)( TsTssTsssC C t h
2、 t TT e tT( ) ( ) / 1 1) 当 t td 时 h t T T e t td( ) . / 0 5 1 12 TT e t Td / ; TtTT d ln2ln TTTtd ln2ln2) 求 tr （即 )(tc 从 0.1 到 0.9 所需时间 ) 当 TteTTth /219.0)( ; t T T T2 0 1 ln ( ) ln . 27 当 TteTTth /111.0)( ; t T T T1 0 9 ln ( ) ln . 则 t t t T Tr 2 1 0 90 1 2 2ln . .3) 求 ts Tts seTTth /195.0)( t T T
3、Ts ln ln . 0 05 T T Tln ln 20 T TT ln 3 3-3 一阶系统结构图如题 3-3 图所示。要求系统闭环增益 2K ，调节时间 4.0st（ s），试确定参数 21,KK 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211KKsKKKsKsKKsKs 令闭环增益 212 KK， 得： 5.02 K 令调节时间 4.03321 KKTts，得： 151K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 题 3-4 图（ a）和（ b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的 K 值为 1。 （ 1） 若 )(1)( ttr
4、， 0)( tn 两种系统 从开始达到稳态温度值的 63.2 各需多长时间？ （ 2） 当有阶跃扰动 1.0)( tn 时，求扰动对两种系统的温度的影响。 28 解 （ 1）对（ a）系统： 110 1110)( ssKsGa， 时间常数 10T 632.0)( Th （ a）系统 达到稳态温度值的 63.2%需要 10 个单位时间； 对（ b）系统：11 0 1101 0 11 0 01 0 1101 0 0)(sssb ， 时间常数 10110T 632.0)( Th （ b）系统达到稳态温度值的 63.2%需要 0.099 个单位时间。 （ 2）对（ a）系统： 1)( )()( sN
5、sCsGn1.0)( tn 时，该扰动影响将一直保持。 对（ b）系统： 1 0 1101101101 0 01 1)( )()( s sssNsCsn1.0)( tn 时， 最终扰动影响为 001.010111.0 。 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的 50%或 63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如题 3-5 图）和所测数据 ,并假设传递函数为 )()( )()( ass KsV ssG 可求得 K 和 a 的值。 若实测结果是：加 10 伏电压可得每分钟 1200 转的稳态转速，而
6、 达到该值 50%的时间为 1.2 秒，试求电机传递函数。 提示：注意)()(sVs= asK ，其中 dtdt )( ，单位是弧度 /秒 解 依题意有： 10)( tv （伏） 29 4060 21 2 0 0)( （弧度 /秒） （ 1） 20)(5.0)2.1( （弧度 /秒） （ 2） 设系统传递函数 asKsV ssG )( )()(0应有 401010lim)()(lim)(000 aKas KsssVsGs ss（ 3） atea KassLa Kass KLsVsGLt 1101110)(10)()()( 1101由式（ 2），（ 3） 20140110)2.1( 2.12.1
7、 aa eeaK 得 5.01 2.1 ae 解出 5 7 7 6.02.1 5.0ln a （ 4） 将式（ 4）代入式（ 3）得 2586.74 aK 3-6 单位反馈系统的开环传递函数)5( 4)( sssG，求单位阶跃响应 )(th 和 调节时间ts 。 解：依题，系统闭环传递函数 )1)(1(4)4)(1(4454)(212TsTssssss 25.0121TT )4)(1( 4)()()( ssssRssC= 41 210 sCsCsC 1)4)(1( 4lim)()(lim 000 sssRssC ss34)4( 4lim)()()1(lim 011 sssRssC ss30 3
8、1)1( 4lim)()()4(lim 042 sssRssC sstt eeth 431341)( 421 TT ， 3.33.3 111 TTTtt ss 。 3-7 设角速度指示随动系统结构图如题 3-7 图。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益 K 应取何值，调节时间 st 是多少？ 解 依题意应取 1 ，这时可设闭环极点为02,1 1T 。 写出系统闭环传递函数 Kss Ks 101010)(2 闭环特征多项式 2002202 1211010)( TsTsTsKsssD 比较系数有 KTT101102200 联立求解得 5.22.00KT 因此有 59.075
9、.4 0 Tts 1 3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量 % 5 %，调节时间 st 3 （ s），峰值时间 1pt（ s），试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解 依题 % 5 %， )45(707.0 ； 31 35.3 nst ， 17.1n ； npt 21 1 ， n21 14.3 综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解 3-8 所示。 3-9 电子心律起博器心率控制系统结构图如题 3-9 图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节，要求： （ 1） 若 =0.5 对应最佳响应，问起博器增益 K 应取多大？ （ 2） 若期望心速为 60 次 /分钟，
10、并突然接通起博器，问 1 秒钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？ 解 依题，系统传递函数为 2222 205.005.0105.0)(nnnssKssKs nnK205.0105.0 令 5.0 可解出 2020nK 将 1t （秒）代入二阶系统阶跃响应公式 tethntn 22 1s in11)(可得 000024.1)1( h （次 /秒） = 00145.60 （次 /分） 5.0 时，系统超调量 % =16.3% ，最大心速为 163.1163.01( ）pth （次 /秒） = 78.69 （次 /分） 32 3-10 机器人控制系统结构图如题 3-10 图 所示。试确定参数 21
11、,KK 值，使系统阶跃响应的峰值时间 5.0pt（ s），超调量 % 2 %。 解 依题，系统传递函数为 222121212112.)1()1()1(1)1()(nnnssKKsKKsKsssKKssKs 由 5.0102.021 2npoote联立求解得 1078.0n 比较 )(s 分母系数得 1 4 6.012 1 0 01221KKKnn 3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如题 3-11 图所示。试确定系统的闭环传递函数。 解 依题，系统闭环传递函数形式应为 2222 .)( nn nss Ks 由阶跃响应曲线有： 21)(lim)()(lim( 00 KssssRssh ss）
12、33 oooonpet252 25.221212联立求解得 717.1404.0n ，所以有 95.239.1 9.57 1 7.17 1 7.14 0 4.02 7 1 7.12)(2222 sssss 3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为 )12.0( 5.12)( sssG试求系统在误差初条件 1)0(,10)0( ee 作用下的时间响应。 解 依题意，系统闭环传递函数为 5.625 5.62)(1 )()( )()( 2 sssG sGsR sCs当 0)( tr 时，系统微分方程为 0)(5.62)(5)( tctctc 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换 0)(5.62)0(
13、)(5)0()0()(2 sCcsCsccssCs 整理得 )0()0(5)(5.6252 ccssCss （ 1） 对单位反馈系统有 )()()( tctrte ， 所以 110)0()0()0( 101000()0()0( erc erc ）将初始条件代入式（ 1）得 222 5.7)5.2( 26)5.2(105.625 5110)( s sss ssC2222 5.7)5.2( 5.747.35.7)5.2( )5.2(10 ss s)8.705.7s i n (6.105.7s i n47.35.7c o s10)( 5.25.25.2 tetetetc ttt 34 3-13 设题
14、 3-13 图（ a）所示系统的单位阶跃响应如题 3-13 图（ b）所示。试确定系统参数 ,1K 2K 和 a。 解 由系统阶跃响应曲线有 oooopth3.333)34(1.03)(系统闭环传递函数为 22221221 2)(nnnss KKass KKs （ 1） 由 oooonpet3.331.01212联立求解得 28.3333.0n 由式（ 1） 222 110821nnaK 另外 3lim1)(lim)(212 2100 KKass KKsssh ss3-14 题 3-14 图是电压测量系统，输入电压)(tet 伏，输出位移 )(ty 厘米，放大器增益10K ，丝杠每 转螺距 1
15、 毫米，电位计滑臂每移动 1厘米电压增量为 0.4伏 .当对电机加 10伏阶跃电压时（带负载）稳态转速为 1000 转 /分钟，达到该值 63.2%需要 0.5 秒。画出系统方框图，求 35 出传递函数 )(/)( sEsY t ，并求系统单位阶跃响应的峰值时间 pt 、超调量 oo 、调节时间 st 和稳态值 )(h 。 解 依题意可列出环节传递函数如下 比较 点： )()()( sFsEsE t 伏 放大器： 10)( )( KsE sU a电动机： 15.03515.0 601010001)()(sssTKsUsmma(转 /秒 /伏 ) 丝杠： 1.0)( )( 1 KssY(厘米 转 ) 电位器： 4.0)( )( 2 KsY sF(伏 厘米 ) 画出系统结构图如图解 3-14 所示 系统传递函数为 342310)()()(2 sssEsYst8 66.02232nn 44.51 2 npt oooo e 433.021
