1、1直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题1两异面直线在平面 内的射影（ ）A相交直线 B平行直线C一条直线个点 D以上三种情况均有可能2若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面（ ）A有且只有个 B可能存在也可能不存在C有无数多个 D定不存在3在空间，下列哪些命题是正确的（ ）平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同个平面的两条直线互相平行A仅不正确 B仅、正确 C仅正确 D四个命题都正确4若平面 的斜线 l 在 上的射影为 l，直线 b，且 bl，则 b 与 l（ ）A必相交 B必为异面直线 C垂直
2、 D无法确定5下列命题平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长其中，正确的命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 n 4 个6在下列四个命题中，假命题为（ ）A如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内D如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平
3、面7已知 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点且 P 在平面 ABCD 内的射影在四边形 ABCD 内，若 P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A圆内接四边形 B矩形 C圆外切四边形 D平行四边形8在ABC 中，AB AC 5，BC 6，PA平面 ABC，PA8，则 P 到 BC 的距离等于（ ）A 5 B 2 C3 D4 5 二、填空题9AB 是平面 的斜线段，其长为 a，它在平面 内的射影 AB 的长为 b，则垂线AA_10如果直线 l、m 与平面 、 满足：l，l ，m 和 m，现给出以下四个结论： 且 lm； 且 m 且 lm； 且 lm ；其中正确的为“_” （写出
4、序号即可）11在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_个12如图，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一点，且 PA平面 ABCD 则在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC 及PBD 中，为直角三角形有_个13给出以下四个命题2（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角其中假命题的共有_个14若一个直角在平面 内的射影是一个角，则该角最大为_三、解答题15已知直线 a平面 ,直线 b平面 ，求证：ab16如图，在长方体 AC1 中，
5、已知 ABBC a，BB 1b（ba） ，连结 BC1，过 Bl 作 B1BC 1 交CC1 于 E，交 BC1 于 Q，求证： AC平面 EBlD117如图在ABC 中，已知ABC 90，SAABC 所在平面，又点 A 在 SC 和 SB 上的射影分别是 P、Q求证：PQSC18已知在如图中，BAC 在平面 内，点 P， PEAB ，PFAC ，PO ，垂足分别是E、F、O，PEPF，求证：BAOCAO，19已知：点 P 与直线 a，试证；过点 P 与 a 垂直的直线共面20四面体 ABCD 的棱 ABCD 的充要条件是 AC2BD 2AD 2BC 2四、思考题对于一个三角形，它的三条高线总
6、相交于点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展3参考答案一、选择题1D 2B 3B 4C 5A 6A 7C 8D二、填空题9 ba 10、 114 125 134 14 180三、解答题15证明：设 为过 a 的平面，且 la，albl，ba16证明：AB面 B1C，BC 1 为 AC1 在平面 B1C 上的射影，且 B1EBC 1，由三垂线定理知B1EAC 1又AA 1面 A1C1，AB BC ，A 1C1B 1D1，A 1C1 是 AC1 在面 A1C1 上的射影由三垂线定理
7、得 AC1B 1D1又B 1EB 1D1B 1，AC 1平面 EB1D117证明：SA面 ABC，BC 面 ABC，SABC又ABBC 且 SAABA，BC面 SAB，AQ 面 SABBCAQ，又 AQSB ，BCSBBAQ面 SBCPQ 是斜线 AP 在平面 SBC 上的射影，又AQSC，由三垂线定理的逆定理可得 PQSC18证明：PO，PE PF，OEOF ，又PEAB、PFAC，OEAB、OFAC故 Rt AOERtAOF，BAOCAO19证明：如图，在点 P 和直线 a 所在的平面 内，过点 P 作直线 a 的垂线 b，设垂足为 A设过点 P与 垂直的直线为 c，则必有 ca，再设由
8、b、c 确定的平面为 ，则必有 a设 l 是过点 P 与 a 垂直的直线，下证：l若 l，设由 l 与 c 确定的平面为 ，则由 al，ac ，lc P，a，这样平面 与 都是过点 P 与直线 a 垂直的平面这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有 l，也就是说过点 P 与 a 垂直的直线均在平面 内，于是本题获证20证明：先证必要性：过 B 作 CD 的垂线，垂足 E，连 AE，4CDAB ，CD平面 ABE，CDAE AC 2AE 2 CE2、BD 2BE 2DE 2；又有 AD2AE 2DE 2、BC 2BE 2CE 2AC 2BD 2AE 2BE 2CE 2DE 2，而 AD2BC
9、 2AE 2BE 2CE 2DE 2AC 2BD 2AD 2BC 2再证充分性：过 A 点作 CD 的垂线，垂足设为 F，于是有：AD2AF 2DF 2、BC 2BE 2CE 2；AC2AF 2CF 2、BD 2BE 2DE 2；AD 2BC 2AC 2BD 2；AF 2DF 2BE 2CE 2AF 2CF 2BE 2DE 2DF 2CE 2CF 2DE 2，DF 2CF 2DE 2CE 2，（DFCF） （DFCF）（DECE） （DECE） ，DFCFDECEDFCEDECFE、F 只能重合于一点，故有 CD平面 ABE，CDAB 四、思考题我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体
