1、1极坐标与参数方程一、极坐标与直角坐标之间的转换(,)(cos,in)Arqrqcos,inxyrqr=22xyr+=：表示半径为 圆心为原点的圆a=a：表示顶点在原点，与 轴的正半轴夹角为 的射线r表示圆心为 ，半径为 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不2cos()2pq-(,0)aa同）表示圆心为 ，半径为 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）in(0)ar=(,)二、常见的参数方程1、直线的参数方程形式一：（倾斜角）（ 为参数）0cosinxtyq=+t形式二：（向量式）（ 为参数）0xmtyl=+过定点 ，直线斜率0(,)Psincolkmq=两种形式的转化方法： （
2、 为参数） （ 为参数）0xtyl+ 02mxtlytl=+2、圆的参数方程（ 为参数） （ 为参数）cosinxryq= cosinxarybq=+3、椭圆的参数方程（ 为参数） （ 为参数）csixaybq= 0csixyq=+4、双曲线的参数方程（ 为参数） （ 为参数）sectanxy 0sectanxyb5、抛物线的参数方程2（ 为参数） （ 为参数） 2ypx=2tpy 2xpty=三、直线参数方程中 的几何意义的应用t（ 为参数）0cosinxytq+=t表示直线上任意一点到定点 的距离.t 0(,)Pxy直线参数方程 （ 为参数） ，椭圆方程 ，相交于 两点，直线上定点0cos
3、inxtyq+=t 2:1xyCab+=,AB0(,)Pxy将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于 的一元二次方程，则：t21211()4ABttt-+-21210Ptt=-12t若 为 的中点，则MAB12tPM+=1、以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已Ox知直线 经过点 ，倾斜角 ，圆的极坐标方程为 .l(,)6pa2cos6inrq=+（1）写出直线 的参数方程，并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）设 与圆相交于 两点，求弦 的长.lAB、答案：（1） （ 为参数） ， （2）312xty=+ 260xy+-=7AB3同类
4、型题 1：在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，它与曲线xOyl234xty=-交于 两点.2:()1Cy-=AB、（1）求 的长；AB（2）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 的极坐标为 ，求点 到Ox P3(2,)4pP线段 中点 的距离.M答案：（1） （2）107AB=30同类型题 2：（2010 福建）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.在极坐xOyl 235xty=-+标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为xy xC.25sinrq=（1）求圆 的直角坐标方程；C（2）设圆 与直
5、线 交于点 .若点 的坐标为 ，求 .l,ABP(3,5)PAB+答案：（1） （2）22(5)xy+-=4四、极坐标方程和参数方程的应用1、已知曲线 （ 为参数） ， （ 为参数）.14cos:3inxtCy=-+ 28cos:3inxCyq=（1）化 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；2、（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为1P2tp=Q2PQM32:xtCy=+-参数）距离的最小值.答案：（1） 为圆心是 ，半径是 的圆； 为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，短1C(4,3)-12Cx16轴长为 的椭圆.6（2）最小值为 85同类
6、型题 1：以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长Ox度单位.已知直线 的参数方程为 （ 为参数 ） ，曲线 的极坐标方程为l31cos:2intCya=+t0apC.2cosinqr=（1）求曲线 的直角坐标方程；C（2）设直线 与曲线 相交于 两点，当 变化时，求 的最小值.lAB、 aAB答案：（1） （2 ）当 时， 的最小值为 .2yx=p=25同类型题 2：（2013 新课标 2）已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为PQ、 2cos:inxtCy=与 ， 为 中点.ta=(0)tapM（1）求 的轨迹的参数方程；（2）将 到
7、坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点.daM答案：（1） （ 为参数） （2） 时过原点cos2inxya=+ p=2、 （2013 新课标 1）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半1C45cosinxty=+ x轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .22rq（1）把 的参数方程化为极坐标方程；1（2）求 与 交点的极坐标 .C2(0,)rqp答案：（1） （2）8cos1in6r-+=(,)24p6同类型题 1：（2013 辽宁）在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 和xOyx 1C直线 的极坐标方程
8、分别为 .2C4sin,co()24prqr=-=（1）求 与 交点的极坐标；1（2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点.已知直线 的参数方程为 （P1Q1C2 PQ312xtaby=+为参数） ，求 的值.tR,ab答案：（1） （2）(2,)(4p1,2b=-3、 （2010 新课标）已知直线 （ 为参数） ，圆 （ 为参数）.1cos:inxtCya=+t2cos:inxCyq=（1）当 时，求 与 的交点坐标；3pa=12（2）过坐标原点 作 的垂线，垂足为 ， 为 的中点.当 变化时，求点 轨迹的参数方程，并指出OAPOaP它是什么曲线.答案：（1） （2）圆心为 ，半径为的 圆13(,0)-1(,0)4147同类型题 1：在极坐标系中，曲线 与 的极坐标方程依次为 .1C2 2cos,()13prqr=-+=（1）求曲线 和 的公共点的个数.12（2）过极点作动直线与曲线 相交于点 ，在 上取一点 ，使 ，求点 的轨迹，并2QOP2OQAP指出轨迹是什么图形.答案：（1）没有公共点 （2）是以为 圆心， 为半径的圆13(,)2-1
