1、第一节 变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y x 2，y x 3，y 的导数1x4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf (axb)的复合函数) 的导数1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数设函数 yf(x) ，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数值 y 关于 x的平均变化率为 .yx fx1 fx2x1 x0 fx0 x fx0x当 x1 趋于 x0，即 x 趋于 0 时，
2、如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 yf( x)在 x0 点的瞬时变化率 在数学中，称瞬时变化率为函数 yf(x)在 x0 点的导数通常用符号 f(x 0)表示，记作 f( x0)li li .mx1 x0fx1 fx0x1 x0 m x 0fx0 x fx0x(2)导数的几何意义函数 yf(x) 在 x0 处的导数， 是曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处的切线的斜率函数 yf(x )在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义(3)函数的导函数一般地，如果一个函数 f(x)在区间(a，b) 上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x) ：f(x)li ，则 f(x
3、)是关于 x 的函数，称 f(x) 为 f(x)的导函数，通常也mx 0 fx x fxx简称为导数2导数公式及运算法则(1)导数公式表原函数 导函数f(x)c(c 为常数 ) f(x)0f(x)x n(nQ) f( x) nxn1f(x)sin x f( x)cos _xf(x)cos x f(x)sin _xf(x)a x f(x)a xln_af(x)e x f( x)e xf(x)log ax f( x)1xln af(x)ln x f(x)1x(2)导数的运算法则f(x)g(x) f(x )g(x)；f(x)g( x)f(x)g(x )f(x)g( x)； (g(x)0)fxgx f
4、 xgx fxg xgx2(3)复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为 yxy u ux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积自 我 查 验 1判断下列结论的正误(正确的打 “” ，错误的打“”)(1)f(x 0)与f(x 0)表示的意义相同 ( )(2)f(x 0)是导函数 f( x)在 xx 0 处的函数值( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( )(4) cos .( )(sin 3) 3(5)若(ln x) ，则 ln x( )1x (1x)(6)函数 f(x)sin (x)的导数为
5、 f(x) cos x( )(7)ycos 3x 由函数 ycos u， u3x 复合而成( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2曲线 ysin xe x 在点(0,1)处的切线方程是( )Ax3y30 Bx 2y20C2x y10 D3x y10解析：选 C y sin x e x，ycos xe x，yx0cos 0e 02，曲线 ysin xe x 在点(0,1)处的切线方程为 y12( x0)，即 2xy10.故选 C.3求下列函数的导数：(1)yx nex；(2)y .x3 1sin x答案：(1)ye x(nxn1 x n)(2)y .3x2sin x
6、 x3 1cos xsin2x典题 1 求下列函数的导数：(1)y(1 ) ；x(1 1x)(2)y ；ln xx(3)ytan x；(4)y3 xex2 xe ；(5)y .ln2x 3x2 1听前试做 (1)y(1 ) x x ，x(1 1x) 1x x 12 12y(x ) ( x ) x x .12 12 12 32 12 12(2)y .(ln xx) ln x x x ln xx2 1xx ln xx2 1 ln xx2(3)y (sin xcos x)sin x cos x sin xcos xcos2x .cos xcos x sin x sin xcos2x 1cos2x(4
7、)y(3 xex) (2 x)e(3 x)e x3 x(ex)(2 x) 3 x(ln 3)ex3 xex2 xln 2(ln 31)(3e) x2 xln 2.(5)yln2x 3 x2 1 ln2x 3x2 1x2 122x 32x 3 x2 1 2xln2x 3x2 12 .2x2 1 2x2x 3ln2x 32x 3x2 12导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转
8、化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导典题 2 (1)(2015天津高考 )已知函数 f(x)axln x，x(0 ，) ，其中 a 为实数，f ( x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_(2)已知 f(x) x22xf(2 016)2 016ln x，则 f(2 016)_.12听前试做 (1)f ( x)a a(1ln x)由于 f(1)a(1 ln 1)a，又 f(1)(ln x x1x)3，所以 a3.(2)由题意得 f( x)x2f(2 016) ，2 016x所以 f(2 016)2 0162f(2 016) ，2 0162 016
9、即 f(2 016) (2 0161)2 017.答案：(1)3 (2)2 017在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1若函数 f(x)ax 4bx 2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于( ) A1 B2 C2 D0解析：选 B f(x )ax 4bx 2c，f(x )4ax 32bx .又 f(1)2，4a2b2，f(1) 4a2b2.2在等比数列a n中，a 12，a 84，函数 f(x)x(xa 1)(xa 2)(xa 8)，则 f(0)的值为_解析：因为 f(x )x (x a1)(xa 2)(xa 8)(xa 1)(xa 2)(xa 8)x(
10、 xa 1)(x a2)(xa 8)( xa 1)(xa 2)(xa 8)x，所以 f(0)(0 a 1)(0a 2)(0a 8)0a 1a2a8.因为数列 an为等比数列，所以a2a7a 3a6a 4a5a 1a88，所以 f(0)8 42 12.答案：2 12导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程典题 3 (1)(2016宜春模拟) 曲线 ye xln x 在点(1 ，e)处的切线方程为( )A(1e)xy10 B (1 e)x y10C(e1) xy 10 D(e1
11、) xy10(2)(2016铜川模拟)设曲线 ye x ax 在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则12实数 a( )A3 B1C2 D0(3)已知函数 f(x)x 34x 25x4.求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；求经过点 A(2，2) 的曲线 f(x)的切线方程听前试做 (1)由于 ye ，所以 y x1 e1，故曲线 yexln x 在点(1 ，e)处1x的切线方程为 ye (e1)(x1)，即(e1) xy10.(2)与直线 x2y10 垂直的直线斜率为 2，f(0)e 0 a2，解得 a2.12(3)f(x) 3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线
12、 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y( 2)x2，即 xy40.设切点坐标为(x 0，x 4x 5x 04) ，30 20f(x 0)3x 8x 05，20切线方程为 y( 2)(3x 8x 05)( x2) ，20又切线过点(x 0，x 4x 5x 04) ，30 20x 4x 5x 02(3 x 8x 05)(x 02) ，30 20 20整理得(x 02) 2(x01)0，解得 x02 或 x01，经过 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy 40 或 y20.答案：(1)C (2)C角度二：求切点坐标典题 4 (2015陕西高考)设曲线 ye x 在点(0,1)处的
13、切线与曲线 y (x0)上点 P 处1x的切线垂直，则 P 的坐标为_听前试做 ye x，曲线 ye x 在点(0,1)处的切线的斜率 k1e 01，设 P(m，n) ，y (x 0)的导数为 y (x0)，曲线 y (x0) 在点 P 处的切线斜率 k2 (m0)，1x 1x2 1x 1m2因为两切线垂直，所以 k1k2 1，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1)答案：(1,1)角度三：求参数的值典题 5 (1)若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x 2bx1 在交点(0，m )处有公切线，则ab( ) A1 B0 C1 D2(2)(2015新课标全国卷)已知函数 f(x)
14、ax 3x 1 的图像在点(1，f(1) 处的切线过点(2,7)，则 a_.(3)(2015新课标全国卷)已知曲线 yx ln x 在点(1,1) 处的切线与曲线 yax 2( a2)x1 相切，则 a_.听前试做 (1)两曲线的交点为(0 ，m) ，Error! 即 a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则 f(0)0，f(0) 1.又 g(x) 2x b，g(0) b，b0，ab1.(2)f(x) 3ax 21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y( a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a 2)3a1，解得 a1.(3)法一：yxln x，y1 ，y x1
15、2.1x曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为y12( x1) ，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax 2(a2) x1 相切，a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行)由Error! 消去 y，得 ax2ax20.由 a 28a 0，解得 a8.法二：同法一得切线方程为 y2x1.设 y2x1 与曲线 yax 2(a2) x1 相切于点(x 0，ax (a2)20x01) y2ax (a2)，yxx 02 ax0(a2)由Error! 解得Error!答案：(1)C (2)1 (3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf( x)在点 P(x0，
16、f(x 0)处的切线方程是 yf( x0)f( x0)(xx 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(如角度一 )(2)已知斜率 k，求切点 A(x0，f(x 0)，即解方程 f( x0)k.(如角度二)(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(如角度三)课堂归纳感悟提升方法技巧1f(x 0)代表函数 f(x)在 xx 0 处的导数值；(f(x 0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x 0
17、)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范1曲线 yf(x)“在点 P(x0，y 0)处的切线”与“过点 P(x0，y 0)的切线”的区别：前者P(x0，y 0)为切点，而后者 P(x0，y 0)不一定为切点2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线
18、是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线 yx 3 在其过(0,0)点的切线 y0 的两侧全 盘 巩 固 一、选择题1曲线 ye x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A1 B2 Ce D.1e解析：选 A 由题意知 ye x，故所求切线斜率 ke xx0 e 01.2(2016抚州模拟)已知函数 f(x) cos x，则 f()f ( )1x (2)A B C D32 12 3 1解析：选 C f(x ) cos x (sin x )，f ()f (1) .1x2 1x (2) 1 2 33设曲线 y 在点 处的切线与直线 xay 10 平
19、行，则实数 a 等于( )1 cos xsin x (2， 1)A1 B. C2 D212解析：选 A y ，yx 1，由条件知 1，a1. 1 cos xsin2x 2 1a4(2016西安模拟)设直线 y xb 是曲线 yln x( x0)的一条切线，则实数 b 的值为( )12Aln 21 Bln 22C2ln 21 D2ln 22解析：选 A 设切点坐标为(x 0，ln x0)，则 ，即 x02，切点坐标为(2，ln 2)，又1x0 12切点在直线 y xb 上， ln 21b，即 bln 21.125(2016上饶模拟)若点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点，则点 P 到直线
20、 yx2 的最小值为( )A1 B. C. D.222 3解析：选 B 因为定义域为(0，)，所以 y2x 1，解得 x1，则在 P(1,1)处1x的切线方程为 xy 0，所以两平行线间的距离为 d .22 2二、填空题6已知函数 f(x)xln x，若 f(x 0)2，则 x0_.解析：f(x) ln x 1，由 f(x 0)2，即 ln x012，解得 x0e.答案：e7若直线 l 与幂函数 yx n 的图像相切于点 A(2,8)，则直线 l 的方程为_解析：由题意知，A(2,8)在 yx n 上，2 n8，n3，y3x 2，直线 l 的斜率k32 212，又直线 l 过点 (2,8)y
21、812( x2) ，即直线 l 的方程为 12xy160.答案：12xy1608(2016商洛模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在曲线 C：y x 3x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，则点 M 的坐标为_解析：y3x 21，曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，3x 212，x1，又点 M 在第二象限，x1，y(1) 3(1)0，M 点的坐标为(1,0) 答案：(1,0)三、解答题9已知函数 f(x)x 3x 16.(1)求曲线 yf(x )在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线 ，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标解：(1)可判定点(2，6)在曲线 yf (x)上f(x )(x 3x16)3x 21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf (2)13.切线的方程为 y613( x2)，即 y13x32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线 l 的斜率为 f(x 0)3x 1，y 0x x 016，20 30
