1、第 1 页 共 7 页关于电源电动势和内阻的几种测量方法及误差分析 一、伏安法选用一只电压表和一只电流表和滑动变阻器，测出两组 U、I 的值，就能算出电动势和内阻。1 电流表外接法1.1 原理如图 1-1-1 所示电路图，对电路的接法可以这样理解：因为要测电源的内阻，所以对电源来说用的是电流表外接法。处理数据可用计算法和图像法：（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律 ，有：IrUE测测rIUE1测测rIE2可得： 12I测 12I测（2）图像法：用描点作图法作 U-I 图像，如图 1-1-2 所示：图线与纵轴交点坐标为电动势 E，图线与横轴交点坐标为短路电流 ，图线的斜率的rEI测大小表示电源内阻
2、 。IUr1.2 系统误差分析由于电压表的分流作用，电流表的示数 I 不是流过电源的电流 ，由电路图可知 I 。0I0【1】计算法：设电压表的内阻为 ，用 表示电动势的真实值， 表示内阻的真实值，VR测E测r则方程应修正为： ，则有：测测 rUIEVrRIUV11真 rRIV22测解得： ， 测测 EUIEV212 测测 rUIV212可见电动势和内阻的测量值都小于真实值。图 1-1-2I 短图 1-1-1第 2 页 共 7 页【2】图像修正法：如图 1-1-3 所示，直线 是根据 U、I 的测量值所作出的 U-I 图线，由于II0，而且 U 越大，I 和 I0 之间的误差就越大，即 VR随着
3、电压的减小而减小，而电压表的示数 U 就是电源的路端电压的真实值 U0，除了读数会有误差外，可以认为 UU 0，经过修正后，直线就是电源真实值的U-I 图线，由图线可以很直观的看出：， 。 测测E测测r【3】等效法：把电压表和电源等效为一新电源，如图 1-1-1 虚线框所示，这个等效电源的内阻 r 为 r 真 和 RV的并联电阻，也就是测量值，等效电源的电动势为电压表和电源组成回路的路端电压，也就是测量值，即：测测测 rrV 真真真测 ErREV由以上分析还可以知道，所选择的电压表内阻应适当大些，使得 ，减小系统误差，测rRV使得测量结果更接近真实值，综上所述，采用相对电源电流表外接法，由于电
4、压表的分流导致了系统误差，使得 ，测测E。测测r2 电流表内接法2.1 原理如图 1-2-1 所示电路图，对电源来说是电流表内接，数据的处理也可用计算法和图像法（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律 E=U+Ir，有测测rIUE1测测2可得： 12I测 12IUr测I I 短图 1-1-3E 真E 测图 1-2-1第 3 页 共 7 页（2）图像法：用描点作图法作 U-I 图像，其图像与图 1-1-2 所示图像相同，图线与纵轴交点坐标为电动势 E，图线与横轴交点坐标为短路电流 ，图线的斜率的大小表示内阻所以电rEI测源内阻为 。IUr2.2 系统误差分析由于电流表的分压，电压表的示数 U 不是电源
5、的路端电压 U0，有 UU0。【1】计算法：设电流表的内阻为 RA，用 E 真 表示电动势的真实值，r 真 表示内阻的真实值，方程应修正为： ，则有：)(测测 rIE)(1测测RIUA)(2测测 rIA解得： 测测I12 测测 rRIUIUr AA12121可见电动势的测量值等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。【2】图像修正法：如图 1-2-2 所示，直线 是根据 U、I 的测量值所作出的 U-I 图线，由于UU0，而且 I 越大，U 和 U0 之间的误差就越大，即：随着电流的减小而减小，而电流表的示数 I 就是流过AR电源的电流的真实值 I0，除了读数会有误差外，可以认为II 0，经过修正
6、后，直线 就是电源真实值的 U-I 图线，由图线可以很直观的看出 ， 。真测 E真测 r【3】等效法：把电流表和电源等效为一新电源，如图 1-2-1 虚线框所示，这个等效电源的内阻 r 为 r 真 和 RA的串联总电阻，也就是测量值；等效电源的电动势为电流表和电源串联后的路端电压，也就是测量值，即， 真真测 rrA真测 E由以上分析可知，所选电流表的内阻应很小，才能使得 ，减小系统误差，但是这真rRA个要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。综上所述，采用相对电源电流表内接法，由于电流表的分压导致了系统误差，使得 ，真测 E真测 r E 测 图 1-2-2第 4 页 共 7 页总之，相对电
7、源来说，电流表内、外接法总能测量电源的电动势 E 及内阻 r，尽管电流表外接法测量时， ， ，但它产生的百误差较小，尽管电流表内接法测量时，测测E测测r，但测量内阻 r 时产生的误差较大，因此我们一般选择相对电源外接法来测量电源的电真测E动势 E 及内阻 r。二、安阻法1 原理电路图如图 2-1-1 所示，调节电阻箱电阻 R，测出两组 I、R 的值，由闭合电路欧姆定律就能算出电动势和内阻。其中 I 是电流表示数，R 是电阻箱示数。)(rRIE1测测 )(2测测 rI解得： ，12IRE）（测 12IRr测2 系统误差分析这种方法产生的系统误差和图 1-2-1 所示的电流表内接法是一样的，因为上
8、式中的 就相当IR于图 1-2-1 中的电压表所测的变阻器两端的电压 U，误差产生的原因还是由于电流表的分压，的值并不是电源的路端电压，而只是 R 两端的电压。所以最终测得的电动势和内阻为电流表IR和电源串联后的新电源的电动势和内阻，即： ， 。真真测 rrA真测 E三、伏阻法1 原理用一只电压表和一只电阻箱测量，设计实验原理图如图 3-1-1 所示，调节 R，测出两组 U、R的值，由闭合电路欧姆定律 ，就能算出电动势和内阻，其中 U 是电压表示数，R 是rRUE电阻箱示数。则有： 测测 rRUE1测测 2解得： ， 121)(测 212)(RUr测图 2-1-1图 3-1-1第 5 页 共
9、7 页2 系统误差分析这种方法产生的系统误差和图 1-1-1 所示的电流表外接法是一样的，因为上式中的 就相当RU于图 1-1-1 中的电流表所测的流过变阻器的电流 I，误差产生的原因是由于电压表的分流， 的值并不是流过电源的电流，而只是流过 R 的电流。所以最终测得的电动势和内阻为电压表与电源并联后的新电源的电动势和内阻，所以测量值也都小于真实值，即： ， 。 测测E测测r四、伏伏法在“测定电源电动势和内阻” 的实验中，除待测电源（E ，r），足够的连接导线外，实验室仅提供：两只量程合适的电压表 及 的内阻 ，一只单刀双掷开关 S。实验原理图如图 4-21V、 1VR1-1 所示。电压表 的
10、内阻已知，则可用 测出它所在支路的电流，设当开关 S 与 1 接触时，电1压表 的读数为 ；当开关 S 与 2 接触时，电压表 的读数分别为 ，则由欧姆定1VU21、 2U、律 ，则有：IrE，R1 rRUE121可得： ， 12U12rV【说明】：此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。五、安安法用两只电流表，其中一只电流表已知内阻来测量，例如在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材： 干电池（电动势 E 约为 1.5V，内电阻 r 约为 1.0）；电流表 G（满偏电流 3.0mA，内阻 ）；10gR电流表 A（量程 00.6A ，内阻约为 0.5）；滑动变阻器 R（020 ，
11、10A ）； 滑动变阻器 ；)1,(A定值电阻 ；开关和导线若干。93 图 4-1-1图 5-1-1第 6 页 共 7 页为了准确地进行测量，实验电路图如图 5-1-1 所示。由闭合电路欧姆定律 可知，IrUE只要能测出两组路端电压和电流即可，但题目中只给出两个电流表且其中一个电流表 G 的内阻已知，可以把内阻已知的电流表和定值电阻 串联改装成一个电压表，分别测两组电流表 G 和 A3R的读数，便可求出电源电动势和内阻，由闭合电路欧姆定律rIRIEGAgG)()(131 rIRIEGAgG)()(232可得： 122AAII12AAIIr【说明】此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。六、两种
12、特殊的测量方法1 利用电桥平衡测量电源电动势和内阻如图 6-1-1 所示的电路，调节变阻器 R1 和 R2 使电流表 G 的读数为 0，此时电流表 A1 和 A2 的示数之和就是流过电源的电流 I（即干路电流），电压表 V1 和 V2 的示数之和就是电源的路端电压 U，则 ，两次调节 R1 和 R2，使电流表 G 的示数变为 0，读出四个电表的读数，便IrE可求出电源电动势和内阻。设第一次两电流表示数之和为 I1，两电压表示数之和为 U1，则 ；第二次两电流表示数之和为 I2，两电压表示数rI1之和为 U2，则 ，联立可得：rIE2， 12I12IU【说明】此方法同样无系统误差，并且不必考虑电
13、表带来的误差，因为此时电表相当于电源的外电路电阻，精确程度取决于电流表 G 的灵敏程度。2 用补偿法测量电源的电动势和内阻电源在没有电流通过时路端电压等于电源电动势的结论使我们有可能通过测量路端电压来测量电动势。但电压表的接入不可避免地会有电流流过电源，而电源或多或少总有内阻，因此这样测得的路端电压将略小于电动势。要精确地测定电动势，可以设法在没有电流流过电源的条件下测量它的路端电压。采用补偿法可以做到这一点，其原理电路图如图 6-2-1 所示。图 6-1-1图 6-2-1第 7 页 共 7 页其中 是被测电源， 是标准电池（其电动势非常稳定并且已知），E 是工作电源。AC 是xEs一段均匀的
14、电阻丝（上有一滑片 B），G 是灵敏电流计。2.1 测量电源电动势操作过程：先将开关 K 掷于 1，调节滑片 B 使灵敏电流计电流为零，这时 K 与 B 点等电势，故 。设流过 AB 的电流为 I，则：ABxUE（ 是 AB 段的电阻）IRAB再将开关 K 掷于 2，因一般 ，灵敏电流计的示数不会为零，调节滑片至另一点 以SxE B重新使灵敏电流计电流为零，由以上讨论，可得：（ 是 段的电阻）BASIRUEBA因两种情况下 G 都无电流，故式 与中 I 相同，合并两式得： 。BASxL SBAxEL2.2 测量电源内阻根据闭合电路欧姆定律 可知，为了测定电源内阻 r，必须要电源放出一定的电流IrUI，通常情况下 r 为常数，为了控制回路中 I 的大小，要在电路中串联一个电阻箱 R，电流的测量采用电流电压变换法，即测量阻值足够准确的电阻（ ）两端电压，根据电压除以电阻算出SR电流值，测量电池内阻。，由于待测电池电动势 为常量，rRUESx0xE)(0SSRUI因此有： ，解得：rRSxSS00)(rRUSx0式中 与 R 为变量，如果取 R 为自变量，并与待测量 r 分开，变换上式可以得到0U，显然， 与 R 成线性关系，其中斜率为 ，截距为 ErSxSx11001SxREb1则：)(rRbaSSx Sba【说明】此实验无系统误差，精确程度取决于电流表 G 的灵敏程度。
