1、 1 【作业 1】 2、一幅 8 灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。（计算中采用 向上 取整方法，图中的 8 个不同灰度级对应的归一化直方图为 0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02） 【解答】直方图均衡采用公式 = ()=0 1 式中， G 为灰度级数，取 8， pr(w)为灰度级 w 的概率， Sr为变换后的灰度，计算过程如下表所示： 灰度级 r 各级概率 Pr(r) 累积概率 ()=0 累积概率 8 1 向上取整 sr 0 0.17 0.17 0.36 1 1 0.25 0.42 2.3
2、6 3 2 0.21 0.63 4.04 5 3 0.16 0.79 5.32 6 4 0.07 0.86 5.88 6 5 0.08 0.94 6.52 7 6 0.04 0.98 6.84 7 7 0.02 1 7 7 则新灰度级的概率分别是： Ps(0) = 0 Ps(1) = Pr(0) = 0.17 Ps(2) = 0 Ps(3) = Pr(1) = 0.25 Ps(4) = 0 Ps(5) = Pr(2) = 0.21 Ps(6) = Pr(3) + Pr(4) = 0.23 Ps(7) = Pr(5) = Pr(6) = Pr(7) = 0.14 2 编写 matlab 程序并绘
3、制直方图： s=0:1:7; p=0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14; bar(s,p); axis(-1 8 0 0.3); 可以看出，此图较题目原图更加“均匀”。 【作业 2】 1、完成课本数字图像处理第二版 114页，习题 3.10。 【解答】 由图可知 ()= 2+ 2,(0 1) () = 2,(0 1) 将两图做直方图均衡变换 3 1 = 1()= ()0= (2 +2)0= 2 + 2 2 = 2()= ()0= (2)0= 2 令上面两式相等，则 2 = 2 + 2 因为灰度级非负，所以 = 2 + 2 2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。 （
4、 1） 1 2 3 4 5 4 3 2 1 * 2 0 -2 （ 2） 1 0 12 0 21 0 1 1 3 2 0 41 0 3 2 30 4 1 0 52 3 2 1 43 1 0 4 2【解答】 （ 1）设向量 a= 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ，下标从 -4 到 4，即 a(-4)=1， a(-3)=2 a(4)=1；设向量 b= 2 0 -2 ，下标从 -1 到 1，即 b(-1)=2， b(0)=0， b(1)=-2；设向量 c=a*b，下标从 -5 到 5。根据卷积公式可知 () = ()()= ()( )4=4其中， 5 5，则 c(-5)=a(-4)b(-1)=1*
5、2=2 c(-4)=a(-4)b(0)+a(-3)b(-1)=1*0+2*2=4 c(-3)=a(-4)b(1)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-1)=1*(-2)+2*0+3*2=4 c(-2)=a(-3)b(1)+a(-2)b(0)+a(-1)b(-1)=2*(-2)+3*0+4*2=4 c(-1)=a(-2)b(1)+a(-1)b(0)+a(0)b(-1)=3*(-2)+4*0+5*2=4 c(0)=a(-1)b(1)+a(0)b(0)+a(1)b(-1)=4*(-2)+5*0+4*2=0 c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)+a(2)b(-1)=5*(-2)+4*0+3*2
6、=-4 c(2)=a(1)b(1)+a(2)b(0)+a(3)b(-1)=4*(-2)+3*0+2*2=-4 c(3)=a(2)b(1)+a(3)b(0)+a(4)b(-1)=3*(-2)+2*0+1*2=-4 c(4)=a(3)b(1)+a(4)b(0)=2*(-2)+1*0=-4 c(5)=a(4)b(1)=1*(-2)=-2 所以卷积结果为： 2 4 444 0 -4 -4 -4 -4 -2 4 （ 2）设矩阵 = 1 0 12 0 21 0 1 下标从 (-1,-1)到 (1,1)，即 b(-1,-1)=-1， b(-1,0)=0 b(1,1)=1； 设矩阵 =1 3 2 0 41 0
7、 3 2 30 4 1 0 52 3 2 1 43 1 0 4 2下标从 (-2,-2)到 (2,2)，即 a(-2,-2)=3， a(-2,-1)=2 a(2,2)=4； 设矩阵 c=a*b=b*a，下标从 (-3,-3)到 (3,3)。根据卷积公式可知 (,) = (,)( , )= (,)( , )2=22=2其中， 3 3， 3 3，则 c(-3,-3)=a(-2,-2)b(-1,-1)=3*(-1)=-3 c(0,0)=a(-1,-1)b(1,1)+a(-1,0)b(1,0)+a(-1,1)b(1,-1) +a(0,-1)b(0,1)+a(0,0)b(0,0)+a(0,1)b(0,-
8、1) +a(1,-1)b(-1,1)+a(1,0)b(-1,0)+a(1,1)b(-1,-1) =3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*(-1)+0*(-2)+2*(-1) =8 c(3,3)=a(2,2)b(1,1)=4*1=4 所以卷积结果为： -1 -3 -1 3 -2 0 4 -3 -6 -4 4 -4 2 11 -3 -7 -6 3 -6 4 15 -3 -11 -4 8 -10 3 17 -7 -11 2 5 -10 6 15 -8 -5 6 -4 -6 9 8 -3 -1 3 -3 -2 4 2 【作业 3】 1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是 H(u,v)
9、= Ae(u2+v2) 22 根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为 5 h(x,y) = A22e222(x2+y2) 这些闭合形式只适用于连续变量情况。 在证明中假设已经知道如下结论：函数 e(x2+y2)的傅立叶变换为 e(u2+v2) 【解答】 IDFT(H(u,v) = Ae(u2+v2) 22 2(+)= Ae222+2222+2= Ae122(242) 122(242)= Ae122(2424242+4242) 122(2424242+4242)= Ae(22)222 2222(22)222 2222令 = 22， = 22，则 du=dr， dv=ds，上式写成： =
10、 Ae2222222 2222222= A222(2+2) e222 222= A222(2+2)22 4 12 e22254 12 2225 因为后两项是高斯分布，在 到 积分为 1，故上式等于： = A22222(2+2) = h(x,y) 命题得证。 2、第二版课本习题 4.6（ a） 【解答】 先 来证明结论 (1)+ = (+) 根据欧拉公式展开等式右边 (+) = cos,(+)- + sin,(+ )- 因为 x， y均为整数，故 sin,(+)- = 0， 当 x+y为奇数时， cos,(+)- = 1 当 x+y为偶数时， cos,(+)- = 1 6 故 (1)+ = (+
11、) 再来证明题中等式 (,)(1)+) = (,)(+) = 1 (,)(+)2.+ /1=01=0= 1 (,)2.22/2.+ /1=01=0= 1 (,)2.2 / +.2/ 1=01=0= ( 2 , 2) 3、 观察如下所示图像。右边的图像这样得到： (a)用左侧 图像乘以 (1)x+y； (b)计算离散傅里叶变换(DFT)； (c)对变换取复共轭 ； (d)计算 离散 傅里叶反变换 ； (e) 结果的实部再乘以 (1)x+y。用数学方法解释为什么会产生右图的效果。 （忽略中间和右侧的黑白条纹，原题没有） 【解答】 已知 (,) = 1 (,)2.+ /1=01=0= (,) 则傅里
12、叶变换的共轭复数进行傅里叶反变换的结果如下： (,) = 1 (,)2.+ /1=01=0= 1 (,)2.() +() /1=01=0= (,) 设原始图像为 (,)，经过 (a)变换后得到 (1)+(,) 经过 (b)变换后得到 (,) = 1 (1)+(,)2.+ /1=01=07 经过 (c)变换后得到 (,) = 1 (1)+(,)2.+ /1=01=0经过 (d)变换后得到 (,) = 1 1 (1)+(,)2.+ /1=01=02.+ /1=01=0其实部为 (1)+(,)，经过 (e)变换后得到 (1)+(1)+(,) = (,) 最终效果是将原图像上下颠倒，左右颠倒，实现了旋
13、转 180度的效果。 【作业 4】 1、请用公式列举并描述出你所知道的有关傅里叶变换的性质。 【解答】 1、时移性 2、频移性 3、均值 4、共轭对称性 5、对称性 6、周期性 7、线性 8、微分特性 9、卷积定理 8 10、相关定理 11、相似性 12、几种特殊函数的傅里叶变换 2、 中文课本 173页习题 4.21 【解答】 没有区别。补 0 延拓的目的 是在 DFT相邻 隐藏周期之间 建立一个 “ 缓冲区”。如果把 左边的图像无限复制多次，以覆盖 整个 平面 ，那么 将形成一个棋盘，棋盘 中的每个 方 格都是本图片和黑色的扩展部分 。 假如将右边的图片做同样的处理，所得结果也是一样的。因
14、此，无论哪种形式的延拓，都能达到 相同的 分离 图像 的 效果 。 3、 （ 1） 假设我们有一个 0,1上的均匀分布随机数发生器 U(0,1)， 请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。 （ 2） 若我们有一个标准正态分布的随机数发生器 N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成方程。 【解答】 （ 1）设 U(0,1)可生成随机数 w，用它来生成具有指数 CDF 的随机数 z，其 CDF 具有下面的形式 () = 1 0 , 0, 0 时， (,)对 (,)有增强作用，由于 “胡椒”噪声 值较小，对加权平均结果的影10 响较小，所以滤波后噪声点处 (x,y)取值和周围
15、其他值更接近，有利于消除 “胡椒”噪声 。 （ b）当 Q0 时， (,)对 (,)有削弱作用，由于“盐 ”噪声 值较大，取倒数后较小，对加权平均结果的影响较小，所以滤波后噪声点处 (x,y)取值和周围其他值更接近，有利于消除“盐 ”噪声 。 【作业 5】 1、请证明带通与带阻的频域关系公式，即课本中的关系公式 Hbp(,) = 1 Hbr(,) 【解答】 证法一 设 D0是带宽的径向中心， W 是带宽， D 是 D(u,v)距滤波器中心的距离。 理想带通滤波器的频域公式为： (,) = 1, 0 2 0 +20, 理想带阻滤波器的频域公式为： (,) = 0, 0 2 0 +21, 由此可知 (,) = 1 (,) 图形化表示即为： 图中黑色代表 0，白色代表 1，左图是 带阻滤波器 ，右图是 带通滤波器 。可以发现两图是“互补”的，若将对应点数值相加，则全为 1。 证法二 一张图像 f (x, y)可拆分为带阻部分 fr (x, y)和带通部分 fp (x, y)，即 (,) = (,)+ (,) 也可看做由带阻滤波器和带通滤波器分别卷积后叠加所得： (,) = (,)(,)+ (,) (,)
