1、第 1 页 共 10 页第 2 讲 与三角形有关的角一、知识重点1三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于 180.(2)证明方法：(3)理解与延伸：因为三角形内角和为 180，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：一个三角形中最多只有一个钝角或直角；一个三角形中最少有一个角不小于 60；直角三角形两锐角互余；等边三角形每个角都是 60等(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数谈重点 三角形内角和定理的理解 三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛【例 1】 填 空：(1)在AB C 中，若A80 ，C20，则B_；(2)若A80
2、，B C ，则 C_；(3)已知ABC 的三个内角的度数之比AB C235，则B _，C_.2直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余如图所示，在 RtABC 中，如果C90 ，那么A B90.【例 21】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43，则 的度数是( )A43 B47 C30 D60.第 2 页 共 10 页答案：B(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，在ABC 中，如果A+B=90，那么C=90，即ABC 是直角三角形【例 22 】 如图所示，ABCD，直线 EF 分别交 AB， CD 于点 E，F，BEF 的平分线
3、与DFE 的平分线相交于点 P，求证：EPF 是直角三角形3三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角如图，ACD 就是ABC 其中的一个外角(2)特点：三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带一个 三角形有 6 个外角，其中两两互为对顶角，如图所示破疑点 三角形外角的 理解 外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意【例 3】 在ABC 中，A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B 的两倍，那么A_，B_，C _.
4、4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和如图所示：第 3 页 共 10 页1BC(或B1C ，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等析规律 三角形外角的性质的理解 三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是 180和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽
5、性，所以应用时要注意观察图形【例 4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12_.5三角形外角和(1)定义(规定) ：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如1，2，3，它们的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于 360.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和【例 5】 如图所示用两种方法说明123360.点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据6.三角形内角和定理应用三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知
6、识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：(1)已知两角求第三角这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用 180减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系(2)已知三角的比例关系求各角这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为 x 度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是 180列方程求解，然后再求出每一个角的度数 有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后第 4 页 共 10 页从比例关系中可以直接确定三角形的形状(3)已知三角之间相互关系求未知角这类题目一般是已知各
7、角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是 180列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组 )求角的度数解技巧 利用三角形内角和求三角形的内角 运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用7三角形外角性质的应用外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理如图所示，1 是ABC 的一个外角，在1，B，C 三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角1BC；B1C；C1B.破疑点 利用三角形外角的性质求一个角的方法 因三角形外角的性质
8、是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题8三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系( 两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等解技巧 三角形内角和、外角性质的综合运用 因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过
9、图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系【例 61】 在ABC 中，A80，B60，则C_.【例 62】 已知在ABC 中， A40，BC 40 ，则B _，C_.【例 63】 在ABC 中，ABC532，那么ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形【例 64】 锐角三角形的三个内角是A，B，C.如果 A B， B C，CA，那么， 这三个角中( )A没有锐角 B有 1 个锐角C有 2 个锐角 D有 3 个锐角【例 7】 填空：(1)如图(1)，P 为ABC 中 BC 边的延长线上一点，A50 ，B
10、 70，则ACP_.(2)如图(2)所示，已知ABE 142，C72，则A_，ABC _.(3)如图(3)，3120，则12_.第 5 页 共 10 页【例 81】 如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后， 12 等于( )A120 B240 C300 D360【例 82】 如图，ab，则下列式子中值为 180的是( ) A BC D9.运用三角形内角和定理判断三角形形状判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判定三角形形状方法多样，其中运用三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法因为三角形按角分类可以分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，此外根据角的度数还能判定等
11、腰三角形、等边三角形，因此根据三角形内角和定理求出三角形某些角的度数，不仅可以按角分类判断三角形的形状，还可以按边分类判断三角形的形状，进而了解边的大小关系解技巧 利用三角形内角和确定三角形的形状 运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断【例 91】 一个三角形三个内角的度数之比为 237，这个三角形一定是( ) A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形【例 92】 在ABC 中，若A2B3C，试判断这个三角形的形状分析：根据A2B3C ，可设Ax，
12、那么B x，C x，根据三角形12 13内角和是 180列方程求出 x，再求出最大角的大小，即可判断出三角形的形状10角平分线的夹角与三角形内角关系的探究根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系如图，在ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的平分线交于点 O，求BOC 与A 之间的关系第 6 页 共 10 页结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于 90加上第三角的一半，即BOC90 A .12(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系如图，在ABC 中，BP ，CP 分别是ABC 的外角DBC 和
13、ECB 的平分线，试探究BPC 与A 的关系结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于 90减去第三个角的一半，即BPC 90 A.12(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系如图，在ABC 中，CE 平分ACB，BE 是ABC 的外角ABD 的平分线，试探究BEC 与A 的关系结论：三角形的一个内角平分线与外角平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半，即BEC A.12【例 101】 如图，已知ABC，ABC 的平分线与ACB 的平分线交于点 O，求BOC 与A 之间的关系分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由BOC180(OBC OCB)，经过代换得，
14、BOC180 ABC ACB 18012 12 (ABC ACB)180 (180A) ，化简得出结论12 12【例 102】 如图，BO，CO 分别是ABC ，ACB 的两条平分线，A100 ，则BOC 的度数是( )A80 B 90 C120 D 140【例 103】 如图所示，ABC 的平分线和ABC 的外角ACE 的平分线交于点D，D30， A 的度数是 _；当D_时，A 的度数是 90.第 7 页 共 10 页11.与三角形有关的角的问题的一题多解由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样
15、，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点 A，B，C，D，E 连接而成，求A B CDE 的度数是多少？由于每个角的度数 都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，如图(2)，连接 BC，根据三角形内角和定理和对顶角相等，可将A B CDE 转化到ABC 中求解；如图(3)，延长 BD，交 AC 于 F，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将ABCDE 转化到COF 中求解；如图(4)，也可以延长 CE 交 AB 于 G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将ABC DE 转化到BOG 中求解；向两方延长 DE 也能构造
16、出三角形求解【例 11】 如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求 BDC140才合格，小明通过测量得A90，B 19，C40后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？第 8 页 共 10 页2、综合练习一、选择题1三角形的三个外角之比为 ，则与之相应的三个内角之比为（ ）2:34 :345:1:352如图 4，工人师傅砌门时，常用木条 固定矩形门框 ，使其 不变形，这种做EFABCD法的根据是（ ）两点之间直线段最短 矩形的稳定性矩形四 个角都是直角 三 角形的稳定性3如图 5， ， ， ， 恒满足的关系式是（ ）1 2 3
17、 4 1243 4 4如图 6， 等于（ ）56 5如图 7，在 中， 是 上的一点， 是 上一点， 相交于 ，ABC DEACBED，F， ， ，则 的度数为（ ）0 20 28 F 6287906如图 2，以 为公共边的三角形的个数是（ ）BC 3457若三条线段中 ， ， 为奇数，那么由 为边组成的三角形共有（ a5bcabc，） 个 个 无数多个 无法确定18如果线段 能组成三角形，那么 它们的长度比可能是（ ）c， :241:343:472:349不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ）第 9 页 共 10 页 ， ， ， ，3753x450x ， ， ， ，01a2ab10已知有
18、长为 ， ， 的线段若干条，任取其中 样构造三角形，则最多能 构成形状或23大小不同的三角形的个数是（ ） 57810二、填空题11如图 1， 的平分线交 的平分线于 ，若 ，则ABC AB l60A_I12一个三角形中最多有_个内角是钝角，最多可有_个角是锐角13三角形两个外角的和等于第三个内角的 倍，则第三个内角等于 _414如图 2， _DE 15如图 3， _1234 16两根木棒的长分别为 和 要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，7cm10那么，第三根木棒长 （ ）的范围是_ _x17如图 1， _ 18 中， ， ，则周长 的取值范围是_ABC 6a8bP19 是 中 ，
19、， 的对边，若 ， ， ，则bc， A B C 4a3b14c的取值范围是_20若 为 的三边，则 _ （填“，” ） a， abc0三、解答题21 已知，如图 8，点 是 中 边上的一点，点 是 边延长线上一点，说DABC EBC明： ABE 22 已知，如图 9， 中， 的平分线与 的平分线交于 点，若ABC ACE D，求 的度数80A D第 10 页 共 10 页23 如图 10，已知折线 ，且 说明： ABCDE360CD ABCD24已知：如图 3， ， ， ，求 的度数ABCD 45 78BED 25已知，如图 4， ， ，垂足为 ，若 ，则 为多少度？ABCD EHAB 150 E26已知，如图 5，在 中， 是高 和 的交点，观察图形，试猜想 和ABC OADBEC之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想DOE
