1、1与傅立叶变换调制性质有关的几个工程应用问题于慧敏浙江大学 信息学院 信电系傅立叶变换的调制性质是非常重要的一个性质，在通信和信号处理方面有着重要的应用，由它所得出的一些理论和概念，成为了现代通信和信号处理基础理论的一部分。这里我想就调制性质在抽样定理、信号调制和信号处理等方面的应用和相关的工程问题，谈谈我的在信号与系统课程教学中的一些体会和想法。通过这个例子说明我在教学中的一些理念：注重课程的核心知识，强调贯彻课程的主要方法和思路，强调教会学生能利用基本方法思路去获取知识。一、信号抽样、调制的数学模型信号抽样、调制的都可以表达为统一的一个数学问题：xp(t)= x(t) p(t) (1)其中
2、，x(t)是被处理的信号，如被抽样信号，调制信号；p(t )是周期信号。针对 p(t)取不同的周期信号形式，可以分别对应以下几种不同的应用1当 p(t)=T(t)时这是冲激串抽样，由此可得出著名的抽样定理，这是构建现代通信和数字化系统的基本理论之一。2当 p(t)是周期脉冲时，对应的是脉冲幅度调制，脉冲幅度调制也可看成是一种信号抽样的物理实现形式。由此可引生出频分复用技术、PCM/ADPCM 调制等技术。3当 p(t)=cos0txp(t)是双边带幅度调制信号，由此可引生出频分复用技术。进一步扩展可得正交调制信号：xp(t)= a(t)cos0t+ b(t)sin0t = (a2(t)+ b2
3、(t)1/2 cos(0t +(t) (2)2这是现代通信广泛采用的一种调制方法。上式表示在相同的频带上，能同时传输两路信号，容量扩大了一倍。上式中当(a 2(t)+ b2(t)1/2 是常数时，就是调频和调相；当 (t)是常数时，就是幅度调制。正交调制统一了传统意义上的幅度调制、调频和调相，幅度调制、调频和调相可分别看成是正交调制的一个特例。对于正交调制信号的解调，就可等效对正交调制信号进行幅度(a 2(t)+ b2(t)1/2 、频率 0 和相位 (t)的估计，这是信号估计一个永恒的问题，也是一个前沿课题，这就引伸出我要说明的另一个工程技术问题：信号处理和信号估计的信号时间有限长问题，以及
4、相关的处理技术-窗函数法。二、信号截取时间的有限长问题在信号的频谱分析、信号估算的工程应用中，我们会面临信号截取时间的有限长问题，即，我们只能获取信号在时域上有限长的一段信号-一个时间窗口的信号，这样的信号频谱与原先的就不同了，产生了所谓的频谱泄露现象。例如，要分析信号 cos0t，我们只能截取一段时间上的 cos0t 信号：x(t)=cos0, 0tT (3)上式可等价表示为：x(t)=cosC0g(t) (4)其中 g(t)是时宽为 (0,T)的矩形窗函数。因此，可等效为 cos0 与一矩形窗函数相乘。根据调制性质，截取信号 x(t)=cos0g(t)的频谱为X(j)=(G(-0)+ G(
5、-0)/2，G( )=T e-jT/2 sa(T/2) (5)因此，截取的余弦信号的频谱不再是两冲激信号，而是被两抽样函数信号所替代，而抽样函数的傍瓣占整个频域（主要能量集中在主瓣内，傍瓣呈衰减趋势。），傍瓣造成所谓的频谱泄露现象，会影响信号分析和估计。例如，我们要估计余弦信号 Acos(0t +(t)的幅度、频率和相位，或进行信号的频谱分析，必须要研究信号截取时间的有限长问题的影响，具体涉及的问题有：1 如何利用 X(j)=(G(-0)+ G(-0)/2 的频谱结构，实现幅度、频率和相位的最佳估计。利用信号与系统课程的知识完全可以解决上述的问题，至少可以求得估算方法，2 截取时间 T 的大小
6、对信号分析和估计性能的影响，或 T 中包含的信号的周期数目对信号分析和估计性能的影响。33 研究 g(t)是否可以采用其他的窗函数，如三角窗、汉明窗等窗函数，改善频谱泄露问题，提高信号分析和估计性能，由此引伸出信号处理中的窗函数法。上述问题，用信号与系统课程的知识完全可以解决，这部分内容可以作为课程的扩展内容或课程的研究课题，我们就将该内容作为课程设计的题目之一，并要求用 Matlab 仿真，今年（ 2008）我就该问题，请声学信号处理专家宫先仪院士做了一个关于信号谱分析的课程讲座：主要讨论的问题就是余弦信号的幅度、频率和相位的估算问题。用同样的方法和思路，可直接应用与离散时间信号（数字信号）
7、，如数字正交调制信号 x(n)= a(n)cos0n+ b(n)sin0n 的的幅度、频率和相位的估计问题。因此，在方法上，信号抽样、调制问题可表达为同一个数学问题，在式（1 的框架下进行阐述。信号截取时间的有限长问题同样可以用傅立叶变换的调制性质来进行分析。如果，课程要涉及以上内容，可以将它们安排在一起，这样可以通过调制性质将这些内容串在一起，使授课内容更紧凑，节约课时，也揭示了这些内容的内在联系，同时也是说明如何将一个工程问题描述为一个数学问题，并用数学工具进行求解的一个很好的例子。由于时间仓突，可能在推导、内容安排和措辞等方面没有仔细斟酌和推敲，如有错误和不妥之处，敬请指正和批评。200816 晚
