1、高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题11 / 4APBCDH专题一：立体几何大题中有关体积的求法角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法1正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的 矩形，则它的体积为 2.（2011 广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）A B434C D22练习3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为_.4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面
2、积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积 与这个球的体积之比为 来二、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积5例 在边长为 的正方体 中， 分别是棱a1ABCDMNP， 11ABD，上的点，且满足 ， ， （如图1），试求三112M2N134A 棱锥的体积1ANP6练习（2013年高考江西卷（文）如图 ,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,AD AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD 上一点,DE=1,EC=3. 求点B1 到平面EA1C1 的
3、距离2三、割补法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法7例 已知三棱锥 ，其中 , ,ABCP4P2CB求：三棱锥 的体积60AA 。8练习 如图2，在三棱柱 中， 分别为 的中点，平面 将1ABCEF，BC，1EBCF三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分，已知 ，12,8,5,3,4CGBFAEC求几何体 的体积。HB10四面体 的三组对棱分别相等，且依次为 ，ABCS 5,132求四面体 的体积。巩固练习ABCSCDAHE BGF高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关
4、问题 专题12 / 4FAECOBDMAB C DA1B1 C1 D1PABCD1A1B1C1DEF图311. 如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， 垂直于底面 ，ABCDP/,90ADBCPABCD分别为 的中点。NMADP,2P,(1) 求四棱锥 的体积 ；（2 ）求截面 的面积。VN12. 如图 , 在直三棱柱ABCA 1B1C1中，AC 3 ，BC4， 5AB，AA 1 4，点D是AB 的中点.求多面体 的体积. 13. 如图3，直四棱柱 的底面 是菱形，1DCBAA，其侧面展开图是边长为 的正方形。 、 分别是侧棱06ABC8EF、 上的动点， 1 FE问多面体 的体积 是否为常
5、数？若是，求这个常数，若不1V是，求 的取值范围 V14. 如图，已知 中， ， ， 平面 ， ， 、 分别是BCD901CDBABCD60ABEF、 上的动点，且 ACD)10(ADFCE(1)求证：不论 为何值，总有 EF平面 ；ABC(2)若 ，求三棱锥 的体积21B15. 如图，已知 是底面为正方形的长方体， ， ，点 是 上的动点1ABCD 160D141A试求四棱锥 体积的最大值；1P16. 如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面ABOEFOEFAB/和圆 所在的平面互相垂直，且 ， .2D设平面 将几何体 分成的两个锥体的体积分别为 ， ，求 CFABCAB
6、DFVBEFABCDFVE:DCBA A1B1C1高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题13 / 4专题一：立体几何大题中有关体积的求法1-4略5解：111 3112133234AMNPANAMNVShANPaa67解：作 的中点 ，连接 、 ，BCDPA过 作 ，垂足PH易证 即为三棱锥 的高，BC由棱锥体积公式 HSVAAP31即得 三棱锥 的体积 。42PBC8设棱柱的底面积为 ，高为 ，其体积 hVh则三角形 的面积为 EF14S由于 ，1 732ABCV则剩余不规则几何体的体积为 ，17521AEFBCVShSh 所以两部分的体积之比为 1:7:5AEFBC9首先通过梯形 的中位线重合，我们可以求得 ,HDG, 9DH分别延长 到 ,使得 ,DHCGBFAE, ,BA17 DCBA则我们可得 故长方体 的体积是几何 体 的二倍。 8,5,9,12 HGFEEFGHABC故 07432121 DCBAEFGHABCDV10 把四面体 补形成一个长方体 ，SSCAB三度分别是 则 4,3 84321432FFSGCABESV1112GBECSAFD高二（上）数学专题系列 立体几何-体积有关问题 专题14 / 413141516
