1、1一次函数与几何图形综合专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用
2、函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形） （3）既是一个方程，也是一个坐标 4）藏有那些数据，含有什么些关系 （5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几
3、个 （2）图象之间有怎样关系 （3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因
4、如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通2过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；3.注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数
5、的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。4.用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解5.运用转化的思想。转化的数学思想是解
6、决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。知识规律小结 ：（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即- 0 时，直线与 x 轴正半轴相交；k当 b=0 时，即- =0 时，直线经过原点
7、；当 k，b 同号时，即- 0 时，直线与 x 轴负半轴相交kb当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=
8、kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k 10 ，k 20）的位置关系k 1k 2 y1与 y2相交； y1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；21k3 y1与 y2平行； y1与 y2重合.21,bk21,bk例题精讲：1.已知，如图，在平面直角坐标系内，点 A 的坐标为（0，24），经过原点的直线 l1 与经过点 A 的直线 l2 相交于点 B，点 B 坐标为（18，6）（1）求直线 l1，l 2 的表达式；（2）点 C 为线段 OB 上一动点（点 C 不与点 O，B 重合），作 CDy 轴交直线 l2 于点 D，过点 C，D 分别向
9、y 轴作垂线，垂足分别为 F，E，得到矩形 CDEF设点 C 的纵坐标为 a，求点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示）；若矩形 CDEF 的面积为 108，求出点 C 的坐标 l2l1y xBAO解：（1）设直线 l1 的表达式为 y=k1x点（18，6）在直线 l1 上6= 18k 1k 1= 3y= x设直线 l2 的表达式为 y=k2x +b点 A（0，24），B（18，6）在 l2 上待定系数法可得直线 l2 的解析式为 ：y =-x+24（2）点 C 在直线 l1 上，且点 C 的纵坐标为 a x=3a，点 C 的坐标为（3a，a）CDy 轴点 D 的横坐标为 3a点 D 在直线
10、l2 上，y=-3a+24D（3a，-3a+24 ）C（3a，a），D（3a，-3a+24）CF=3a，CD=-3a+24-a= -4a+24FEDCl2 l1yxBAO4矩形 CDEF 的面积为 108S 矩形 CDEF=CFCD=3a（- 4a+24）=108，解得 a=3当 a=3 时，3a=9C 点坐标为（9，3）2如图所示，直线 L： 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 A、B 两点。5ymxy（1）当 OA=OB 时，试确定直线 L 的解析式；（2）在(1)的条件下，如图所示，设 Q 为 AB 延长线上一点，作直线 OQ，过 A、B 两点分别作 AMOQ 于M，BNOQ 于 N，若
11、AM=4，BN=3，求 MN 的长。(3)当 取不同的值时，点 B 在 轴正半轴上运动，分别以 OB、AB 为边，点 B 为直角顶点在第一、二象限my内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE，连 EF 交 轴于 P 点，如图。问：当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，y试猜想 PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。考点： 一次函数综合题；直角三角形全等的判定专题： 代数几何综合题分析： （1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由 OA=OB 得到启发，证明AMO ONB，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求 PB 的长解答
12、： 解：（1）直线 L：y=mx+5m，A（-5，0），B（0，5m），由 OA=OB 得 5m=5，m=1，直线解析式为：y=x+5（2）在AMO 和OBN 中 OA=OB，OAM=BON，AMO=BNO，AMOONBAM=ON=4，BN=OM=3（3）如图，作 EKy 轴于 K 点先证ABO BEK，OA=BK，EK=OB再证PBF PKE，PK=PBPB= BK= OA= 2125第 2 题图第 2 题图第 2 题图5点评： 本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题3.如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两
13、点，直线 与直线 关于 x 轴对称，已知直线 的解析式为1l 2l1l 1l（1）求直线 的解析式；（3 分）3yx2l（2）过 A 点在ABC 的外部作一条直线 ，过点 B 作 BE 于 E,过点 C 作 CF 于 F 分别，请画出图形3l3l 3l并求证：BECFEF （3）ABC 沿 y 轴向下平移，AB 边交 x 轴于点 P，过 P 点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q，与 y 轴相交与点 M，且 BPCQ，在ABC 平移的过程中，OM 为定值；MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6 分）考点： 轴对称的性质；全等三角形的判定与性质分
14、析： （1）根据题意先求直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线 l2 的上点 C 的坐标，用待定系数法求直线 l2 的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明BEA AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过 Q 点作 QHy 轴于 H，证明QCHPBO ，然后根据全等三角形的性质和QHMPOM，从而得 HM=OM，根据线段的和差进行计算 OM 的值解答： 解：（1）直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（-3，0），B（0，3），直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称，C（0，-3 ）直线 l
15、2 的解析式为：y=-x-3；（2）如图 1答：BE+CF=EF直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称，AB=BC，EBA=FAC，BEl 3，CFl 3BEA=AFC=90BEA AFCBE=AF，EA=FC ，BE+CF=AF+EA=EF；（3）对，OM=3过 Q 点作 QHy 轴于 H，直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称POB=QHC=90，BP=CQ，又 AB=AC，ABO=ACB=HCQ，则QCHPBO（AAS ），QH=PO=OB=CHCBA 0 xyQMPCBA 0 xy CBAl2l10 xy6QHMPOMHM=OMOM=BC-（OB+CM ）=BC-（CH+CM）
16、=BC-OMOM= BC=3214.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0) ，B(0 ， b)，且 a、 b 满足 .04)2b（(1)求直线 AB 的解析式；(2)若点 M 为直线 y=mx 上一点，且 ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形，求 m 值；(3)过 A 点的直线 交 y 轴于负半轴于 P，N 点的横坐标为-1，过 N 点的直线 交kx2 2kxyAP 于点 M，试证明 的值为定值PN考点： 一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析： （1）求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标
17、，设直线 AB 的解析式 y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当 BMBA，且 BM=BA 时，过 M 作 MNY 轴于 N，证BMN ABO（AAS），求出 M 的坐标即可；当 AMBA，且 AM=BA 时，过 M 作 MNX 轴于 N，同法求出 M 的坐标；当 AMBM，且AM=BM 时，过 M 作 MNX 轴于 N，MHY 轴于 H，证 BHM AMN，求出 M 的坐标即可（3）设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，求出 H、G的坐标，证AMGADH，AMG ADH DPCNPC，推出 PN=PD=AD=AM
18、代入即可求出答案解答： 解：（1）要使 有意义，04)2ab（必须（a-2） 2=0， =0，4-ba=2，b=4，A（2 ，0），B（0，4），设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，7解得：k=-2 ，b=4，函数解析式为：y=-2x+4 ，答：直线 AB 的解析式是 y=-2x+4（2）如图 2，分三种情况：如图（1）当 BMBA，且 BM=BA 时，过 M 作 MNY 轴于 N，BMNABO（AAS ），MN=OB=4，BN=OA=2，ON=2+4=6，M 的坐标为（4 ，6 ），代入 y=mx 得：m= ，23如图（2）当 AMBA，且 AM=BA 时，
19、过 M 作 MNX 轴于 N，BOA ANM（AAS），同理求出M 的坐标为（6 ，2），m= ，1当 AMBM，且 AM=BM 时，过 M 作 MNX 轴于 N，MH Y 轴于 H，则BHM AMN，MN=MH，设 M（x，x）代入 y=mx 得：x=mx，（2）m=1，答：m 的值是 或 或 123（3）解：如图 3，结论 2 是正确的且定值为 2，设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为G，HD 交 MP 于 D 点，由 y= x- 与 x 轴交于 H 点，2kH（1，0），由 y= x- 与 y=kx-2k 交于 M 点，M（3 ，K），而 A（2 ，0
20、），A 为 HG 的中点，AMGADH（ASA），又因为 N 点的横坐标为-1，且在 y= x- 上，2k可得 N 的纵坐标为-K，同理 P 的纵坐标为-2K，8ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1N 与 D 关于 y 轴对称，AMGADHDPCNPC ，PN=PD=AD=AM， =2AMP-点评： 本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键5. 如图，直线 AB 交 X 轴负半轴于 B（m，0），交 Y 轴负半轴于 A
21、（0，m），OCAB 于C（-2，-2）。(1 求 m 的值；(2 直线 AD 交 OC于 D，交 X 轴于 E，过 B 作BFAD 于 F,若 OD=OE，求的值；ABF(3 如图，P 为 x 轴上 B 点左侧任一点，以 AP 为边作等腰直角APM，其中 PA=PM，直线 MB 交 y 轴于 Q，当 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。解答：（1）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，将点（m,0）代入方程得 k= -1，则方程可写为 y= -x+m再将点 C(-2,2)代入方程得-2(-1)(-2)+m,即 m= -4 -4m2CGOB,5
22、AGOBC都 是 等 腰 直 角 三 角 形为 等 腰 直 角 三 角 形的 垂 线 ， 垂 足 为作过（2）直线 AD 交 OC 于 D，交 X 轴于 E，过 B 作 BFAD 于 F,若 OD=OE，求 的值；AEBF921BFHAESAO90EBH)(FASB)90FHFEBADC)(OFHDEAC等 ）（ 全 等 三 角 形 对 应 边 相）（ 已 知 ）（ 已 证 ）中 ，和在 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）（ 已 证（ 公 共 边 ）中和在 对 顶 角 相 等，（ 同 角 的 余 角 相 等 ）（3）如图，P 为 x 轴上 B 点左侧任一点，以 AP 为边作等腰直角APM
23、，其中 PA=PM，直线 MB交 y 轴于 Q，当 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。10线段 OQ 的长 度不变如图，过 P 作 x轴的垂线交 AB 的延长线为 N，PM=PA,PB=PN,NPA=BPM,NPABPM（ 边角边），则有 PMB=PAN=PAB，由题意可知OAB=ABO=45，OAP+ APO=OAB+PAB+APB=90 MPA，在PMB 中 PMB+MBP+MPB=PMB+MBP+MPA+APB=180PMB+MBP+APB=180-MPA=90MBP=90-PMB-APB=90-PAB-APB=90-(90-OAB)45所以 MBA=180-ABO-MBP=180-45-45=90故直线 MB 与直线 AB 互相垂直，所以 线段 OQ值不变（直线 AB 固定）。向左转|向右转
