1、12018 年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数:y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、x 2
2、D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调增加( );若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调减少( );若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调增加( );若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称偶函数:f(-x)=f(x)奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x(-,+)周期:T最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x
3、 n , (n为实数)3.指数函数: y=a x , (a0、a1)4.对数函数: y=log a x ,(a0、a1)25.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极
4、限: Aynlim称数列 以常数 A 为极限;ny或称数列 收敛于 A.定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限:当 时, 的极限:x)(xfAfAxfxx )(lim)(lim当 时, 的极限:0)(fxfx)(li0左极限: Afx)(lim0右极限: 0函数极限存的充要条件:定理: AxfxfAxfxx )(lim)(li)(li 0002 无穷大量和无穷小量31.无穷大量: )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。X 再某个变化过程是指:, xxx 000, xxx2.无穷小量: 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。x3.无穷大量与无穷小量的关系:定理: )
5、0(,)(1li0)(li xfxff4.无穷小量的比较: lim,li若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量;0lim若 (c 为常数) ,则称 与 同阶的无穷小量;若 ,则称 与 是等价的无穷小量,记作:;1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理:若: ;, 21则: 212limli两面夹定理1 数列极限存在的判定准则:设: ( n=1、2、3)nnzxy且: alimli则: xn2 函数极限存在的判定准则:设:对于点 x0的某个邻域内的一切点(点 x0除外)有: )()()(xhfg4且: Axhxgx )(lim)(li00则: f0极限的运算规则若: BxvAxu)(li
6、m,)(li则: BAxvu)(lim)(li xxv )(lim BAuli)( )0(liv推论: )(21 xuxn)(lim(liliu )(lim xcxuc nn(li两个重要极限1 或 1sinlm0xx 1)(sinlm0)( xx2 ex)(li exx10li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续: 在 的邻域内有定义,0x)(xf01o 0)(limli xfyxx2o )()(00ff左连续: li00xffx右连续: )()(lim00ffx52. 函数在 处连续的必要条件:0x定理: 在 处连续 在 处极限存在)(f)(xf03. 函数在 处连
7、续的充要条件:0x定理: )()(lim)(li)()(lim00 000 xffxfxff xxx 4. 函数在 上连续:ba,在 上每一点都连续。)(xf在端点 和 连续是指:左端点右连续;)(limafxfax右端点左连续。bba+ 0 b- x5. 函数的间断点:若 在 处不连续,则 为 的间断点。)(xf00)(f间断点有三种情况:1o 在 处无定义;)(xf02o 不存在;lim0x3o 在 处有定义,且 存在,)(f )(lim0xfx但 。)(li0ffx两类间断点的判断:1o第一类间断点:特点: 和 都存在。)(lim0xfx)(li0xf可去间断点: 存在,但)(li0fx
8、6,或 在 处无定义。)()(lim00xffx)(xf02o第二类间断点:特点: 和 至少有一个为,)(lim0xfx)(li0xf或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点: 和 至少有一个为)(li0xfx)(lim0xf函数在 处连续的性质01. 连续函数的四则运算:设 ,)()(lim00 xfxfx )()(li 00 xgx1o )()()()(li0 fgfx 2o )()()(li 000 xgfxfx 3o )()(lim00xgffx )(lim0x2. 复合函数的连续性:)(),(),( xfyxufy )lili 0)(000 fuxxux 则: (lim)(lim00
9、0 xfffxx3. 反函数的连续性:)(),(),( 001xfyxfxfy lim)lim11000 yffyx 7函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理:在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,)(xf,bay y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b xa) 有界定理:在 上连续 在 上一定有界。)(f,ba)(xf,ba3.介值定理:在 上连续在 内至少存在一点)(xf,),(,使得: , cf)(其中: Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm80 a 1 2 b x推论:在 上 连 续 , 且 与 异 号 在 内 至 少 存
10、 在 一 点 , 使 得 :)(xf,b)(af)(f),(ba。0b) 初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数: 在 的某个邻域内有定义,)(xfy0xfxx )()limli 0000)()(li0ffx00)(0xxdyfy2左导数: 00)()(lim)(0xfffx右导数: 00)()(li)(0ffxfx定理: 在 的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在;则: )(lim)(00xfxf(或: )li0x3.函数可导的必要条件:定理: 在 处可导 在 处连续)(f0)(xf04. 函数可导的充要
11、条件:定理: 存在 ,)(00xfyx )()(00ff且存在。5.导函数: ),(f ),(ba在 内处处可导。 y )(xf,ba )(0xf )(xf96.导数的几何性质: y是曲线 上点 )(0xf )(xfy x处切线的斜率。 o x0 x,M求导法则1.基本求导公式:2.导数的四则运算: 1o vuv)(2o (3o 2vv )0(v3.复合函数的导数:)(),(),( xfyxufy ,或 dx )( xf 注意 与 的区别:)(f)(x表示复合函数对自变量 求导;表示复合函数对中间变量 求导。)(xf )(4.高阶导数: ),(,)3(xfxff或4,2)()1( nfnn函数
12、的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分: 在 的某个邻域内有定义,)(xf)(xoAy其中: 与 无关, 是比 较高)( x阶的无穷小量,即: 0)(lim0x则称 在 处可微,记作:)(fyAd10dxAdy)()0(x2.导数与微分的等价关系:定理: 在 处可微 在 处可导,)(f )(f且: x3.微分形式不变性:dufdy)(不论 u 是自变量,还是中间变量,函数的微分 都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理: 满足条件:)(xf.0)(,).()(3;,210. fbabfaf使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在 上 连 续 ;在y )(f)(xf)(xfa o b x a o b x2.拉格朗日定理: 满足条件:)(fabffba)()(,),(210 , 使 得 :在 一 点 内 至 少 存在内 可 导 ;在 上 连 续 ,在罗必塔法则:( 型未定式),0定理: 和 满足条件:)(xf)(g