1、数学 13 种典型例题口诀及解析1.正方体展开图正方体有 6 个面，12 条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11 种， 11 种展开图形又可以分为 4 种类型：141 型中间一行 4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6种基本图形。231 型中间一行 3 个作侧面，共 3 种基本图形。222 型中间两个面，只有 1 种基本图形。33 型中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有 1 种基本图形。2.和差问题已知两数的和与差，求这两个数。【口诀】：和加上差，越加越大；除以 2，便是大的
2、；和减去差，越减越小；除以 2，便是小的。例：已知两数和是 10，差是 2，求这两个数。按口诀，则大数=（10+2）/2=6 ，小数=（10-2）/2=4 。3.鸡兔同笼问题【口诀】：假设全是鸡，假设全是兔。多了几只脚，少了几只足？除以脚的差，便是鸡兔数。例：鸡免同笼，有头 36 ，有脚 120，求鸡兔数。求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=124.浓度问题（1）加水稀释【口诀】：加水先求糖，糖完求糖水。糖水减糖水，便是加糖量。例：有 20 千克浓度为 15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为 10%
3、？加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）糖完求糖水，含 3 千克糖在 10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）（2）加糖浓化【口诀】：加糖先求水，水完求糖水。糖水减糖水，求出便解题。例：有 20 千克浓度为 15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为 20%？加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）水完求糖水，含 17 千克水在 20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克 )5.路程问题（1）相遇问题【
4、口诀】：相遇那一刻，路程全走过。除以速度和，就把时间得。例：甲乙两人从相距 120 千米的两地相向而行，甲的速度为 40 千米/小时，乙的速度为 20 千米/小时，多少时间相遇？相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离 120 千米。除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和 40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）（2）追及问题【口诀】：慢鸟要先飞，快的随后追。先走的路程，除以速度差，时间就求对。例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为 3 千米/小时，先走 2 小时后，弟弟骑自行车出发速度 6 千米/小时，几时追上？先走的
5、路程，为 3X2=6（千米）速度的差，为 6-3=3（千米/小时）。所以追上的时间为：6/3=2 （小时）。6.和比问题已知整体求部分。【口诀】：家要众人合，分家有原则。分母比数和，分子自己的。和乘以比例，就是该得的。例：甲乙丙三数和为 27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。分母比数和，即分母为：2+3+4=9 ；分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为 27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9 ，丙数为：27X4/9=12。7.差比问题（差倍问题）【口诀】：我的比你多，倍数是因果。分子实际差，分母倍数差。商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便
6、可求得。例：甲数比乙数大 12，甲:乙=7 ：4，求两数。先求一倍的量，12/（7-4 ）=4，所以甲数为：4X7=28 ，乙数为：4X4=16。8.工程问题【口诀】：工程总量设为 1，1 除以时间就是工作效率。单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。1 减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。例：一项工程，甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成。甲乙同时做 2 天后，由乙单独做，几天完成？ 1-（1/6+1/4 ）X2/（1/6）=1（天）9.植树问题【口诀】：植树多少颗，要问路如何？直的减去 1，圆的是结果。例 1：在一条长为 120 米的马路上植树，
7、间距为 4 米，植树多少颗？路是直的。所以植树 120/4-1=29（颗）。例 2：在一条长为 120 米的圆形花坛边植树，间距为 4 米，植树多少颗？路是圆的，所以植树 120/4=30（颗）。10.盈亏问题【口诀】：全盈全亏，大的减去小的；一盈一亏，盈亏加在一起。除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。例 1：小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个；每人 8 个多 7 个。求有多少小朋友多少桃子？一盈一亏，则公式为：（9+7）/（10-8 ） =8（人），相应桃子为 8X10-9=71（个）例 2：士兵背子弹。每人 45 发则多 680 发；每人 50 发则多 200 发，多少士兵多少子
8、弹？全盈问题。大的减去小的，则公式为：（680-200）/（50-45）=96（人）则子弹为 96X50+200=5000（发）。例 3：学生发书。每人 10 本则差 90 本；每人 8 本则差 8本，多少学生多少书？全亏问题。大的减去小的。则公式为：（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为 41X10-90=320（本）11.牛吃草问题【口诀】：每牛每天的吃草量假设是份数 1，A 头 B 天的吃草量算出是几？M 头 N 天的吃草量又是几？大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，结果就是草的生长速率。原有的草量依此反推。公式就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘以草的生长速率。将未
9、知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。例：整个牧场上草长得一样密，一样快。27 头牛 6 天可以把草吃完；23 头牛 9 天也可以把草吃完。问 21 头多少天把草吃完。每牛每天的吃草量假设是 1，则 27 头牛 6 天的吃草量是27X6=162，23 头牛 9 天的吃草量是 23X9=207；大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。所以草的生长速率是 45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。公式就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘以草的生长速率。所以原有的草量
10、=27X6-6X15=72（牛/天）。将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；这就是说将要求的 21 头牛分为两部分，一部分 15 头牛吃新生的草；剩下的 21-15=6 去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）12.年龄问题【口诀】：岁差不会变，同时相加减。岁数一改变，倍数也改变。抓住这三点，一切都简单。例 1：小军今年 8 岁，爸爸今年 34 岁，几年后，爸爸的年龄的小军的 3 倍？岁差不会变，今年的岁数差点 34-8=26，到几年后仍然不会变。已知差及倍数，转化为差比问题。26/（3-1） =13，几年后爸爸的年龄是 13X
11、3=39 岁，小军的年龄是 13X1=13 岁，所以应该是 5 年后。例 2：姐姐今年 13 岁，弟弟今年 9 岁，当姐弟俩岁数的和是 40 岁时，两人各应该是多少岁？岁差不会变，今年的岁数差 13-9=4 几年后也不会改变。几年后岁数和是 40，岁数差是 4，转化为和差问题。则几年后，姐姐的岁数：（40+4）/2=22，弟弟的岁数：（40-4 ）/2=18，所以答案是 9 年后。13.余数问题【口诀】：余数有（N-1）个，最小的是 1，最大的是（ N-1）。周期性变化时，不要看商，只要看余。例：如果时钟现在表示的时间是 18 点整，那么分针旋转1990 圈后是几点钟？分针旋转一圈是 1 小时
12、，旋转 24 圈就是时针转 1 圈，也就是时针回到原位。1980/24 的余数是 22，所以相当于分针向前旋转 22 个圈，分针向前旋转 22 个圈相当于时针向前走 22 个小时，时针向前走 22 小时，也相当于向后 24-22=2 个小时，即相当于时针向后拔了 2 小时。即时针相当于是 18-2=16（点）。名称 含义（方法）棱 两个面相交的边叫棱顶点 三条棱相交的点叫做顶点长方体的长宽高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长宽高特殊长方体 长宽高都相等的长方体叫立方体体积的概念 物体所占空间的大小叫做物体的体积体积单位 立方米.立方厘米.立方分米长方体的体积 长宽高=abh立方体的体积
13、 棱长棱长棱长=aaa通用的体积求法 底面积高sh体积单位换算 1 立方米1000 立方分米 1 立方分米1000 立方厘米容积单位换算 1 升1000 毫升 1 升1 立方分米 1 毫升1 立方厘米约数 一个数最小的约数是 1 一个数最大的约数是它本身一个数的约数个数是有限的倍数 一个数最小的倍数是它本身一个数没有最大的倍数一个数的倍数个数是无限的能被二整除的数 个位是:0，2，4，6，8奇数 不能被二整除的数叫做奇数偶数 能被二整除的数叫做偶数能被五整除的数 个位是:0，5能被三整除的数 一个数各个数位上的数字的和能被三整除素数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数合数 一个数除了 1
14、 和它本身，还有别的约数，更多学习资料请关注ABC 微课堂质因数 一个和数可以写成几个素数相乘的形式，每个素数叫做这个和数之质因数分解质因数 把一个和数用质因数相乘的形式表现出来叫做分解质因数最大公约数 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数互质数 公约数只有 1 的两个数叫互质数约数时的最大公约数 小数是大数的约数，小数就是这两个数的最大公约数互质数最大公约数 两个数是互质数，它们最大公约数是 1最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数分数大小的比较 分子相同的两个数分母小的那个数比较大，分母相同的两个数分子大的那个
15、数比较大假分数 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于 1带分数 一个整数和一个真分数合成的数叫带分数分数的基本性质 分母或分子同时扩大或缩小相同的倍数分数的大小不变约分 把一个分数的分子和分母同时除以它们的公约数（1 除外）化成和原来分数相等的分数通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数同分母加减法 只把分子相加减分母不变异分母加减法 先通分然后按照同分母加减法进行计算带分数加减法 整数部分和分数部分分别相加减再把所得数合并起来计算顺序在一个算式里只有加减法或只有乘除法从左往右依次计算在一个算式里有加减法又有乘除法先算乘除法再算加减法有括号的先算括号里的有
16、括号的算式 有括号的算式要先算小括号里的运算再算中括号里的什么加加法 把两个数合并成一个数的运算叫加法什么叫减法 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算方法关系式单价数量总价速度时间路程工作效率工作时间工作总量本金利率时间利息保险金额保险费率保险时间保险费应纳税收入税率应缴税款商不变的性质 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变什么叫乘法 求几个相同加数的简便运算叫乘法什么叫除法 已知两个因数的积与其中一个因数求另一因数的运算叫除法面积单位 平方米，平方厘米，平方分米长方形面积 长宽=ab正方形面积 边长边长aa面积单位换算 1 平方分米 100 平方厘米1 平方米100 平
17、方分米长方形 长方形的对边相等，四个角都是直角正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角长方形周长 （长+宽） 2（a+b)2正方形周长 边长4a4长度单位换算 1 千米1000 米 1 分米10 厘米1 米 10 分米100 厘米 1 厘米10 毫米重量单位换算 1 吨1000 千克 1 千克1000 克小数的四则混合运算 小数的四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同土地面积单位换算 平方千米 100 公顷 1000 平方米 100 平方分米 100 平方厘米平行四边形面积 底高ab三角形面积 底高2 ab2梯形面积 （上底+下底） 高2 (a+b)h2什么叫方程 含有未知
18、数的等式什么叫方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值什么叫解方程 求方程的解的过程叫解方程什么叫百分比 表示一个数的百分之几的数叫做百分数百分数的写法 用带有百分号“”的数来表示小数化百分数 只要把小数点向右移动两位，在最后添上百分号就行了百分数化小数 只要把百分号去掉小数点向左移动两位百分数化分数 把百分数改写成分母是 100 的分数，再把能约分的约成最简分数分数乘整数 用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变分数乘分数 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母分数乘带分数 先把带分数化成假分数，然后按照分数乘法的法则进行计算分数乘小数 先把小数化成分数后再计算分数除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一因数的运算整数除分数的方法 整数乘这个分数的倒数分数除以带分数 先把带分数化成假分数然后计算小数除以分数 一般把小数化成分数再计算小数分数四则混合运算顺序 与整数四则混合运算顺序相同什么叫圆心 圆的最中心一点叫圆心什么叫半径 圆心到圆上任意一点的线段叫做半径用字母 R 表示什么叫直径 通过圆心并且两端都在圆心上的线段叫做直径用字母 D 表示直径与半径的关系 d=2r r=d/2 圆的周长是直径的三倍多一点这是一个固定的数，叫 3.14圆周长 直径圆面积 半径半径如何区分闰年 公历年份是四的倍数的都是闰年，公历年份是整百数时必须是四百的倍数才是闰年
