1、 转自 qq 群 339444963一、极值点偏移的判定定理对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大 （小）值点 ，方程 的解分别为)(xfy),(ba0x0)(xf，且 ，21,xba21（1）若 ，则 ，即函数 在区间 上极（小）大值)()20xff021)(x)(xfy),(21x点 右（左）偏；0x（2 ）若 ，则 ，即函数 在区间 上极（小）大值)()201xfxf021)(x)(xfy),(21x点 右（左）偏 .0x证明：（1）因为对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 ，则函数)(xfy),(ba0x的单调递增（减）区间为 ，单调递减（增）区间为 ，由于 ，有 ，)(x
2、f ,(0a),0xba2101x且 ，又 ，故 ，所以 ，即函数极（小）020)2)1xfxf201)(021)(x大值点 右（左）偏；x（2）证明略.左 快右慢（极值点左偏 ） 左慢右快（极值点右偏 ）21xm21xm转自 qq 群 339444963左快右慢（极值点左偏 ） 左慢右快（极值点右偏 ）21xm21xm二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数 的极值点 ；)(xf0（2）构造一元差函数 ；)()(0xfxfF（3）确 定函数 的单调性；)(x（4）结合 ，判断 的符号，从而确定 、 的大小关系.0)( )(0xf)(0xf口诀：极值偏离对称轴 ，构造函
3、数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： .)(xf)(21xff0)(xf 021x（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ； f假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增 )(x),0),(0x（2）构造 ；(xffF注：此处根 据题意需要还可以构造成 的形式. )2()(0xfxF（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与)(x)( )(0xf的大小关系；)(0xf假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而(xF),0 )()(000xffxF得到： 时， .0)(0xff（4）不妨
4、设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出21x)(21xff)0xf)(0xf结论；接上述情况，由于 时， 且 ， ，故0)()(00fxf201)(21ff，又因为 ， 且)()()( 2221 xfxfxff 0x02x在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证.),001x021转自 qq 群 339444963（5）若 要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从0)2(1xf 21x021x而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 ，故 ，由于 在 上单调递减，故021x021x)(xf),0.0)2(1xf【说明】（1）此类试题由于思路固
5、定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 的单调性、极值点，证明)(xf与 （或 与 ）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如)(0xf)(0xf)(f)20xf或 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题 2121三、对点详析，利器显锋芒已知函数 .)()(Rxef(1)求函数 的单调区间和极值；(2)若 ，且 ，证明： .21x)(21xff 21x ， ， 在 上单调递增， ， . 12x12x)(f)1,21x21转自 qq 群 339444963函数 与直线 交于 、 两点.34)(xf)31(a
6、y),(1axA),(2B证明： . 21x已知函数 ，若 ，且 ，证明： .2()lnfx1x2)(21xff421x【解析】由函数 单调性可知：若 ，则必有 。所以 ，而 ，241x )4ln(ln)4() 11111 xxxff 令 ，则ln)(h0)4(28 )4()4(2)4(1 222 x xxxx所以函数 在 为减函数，所以 ，h,( 0)2(hx所以 即 ，所以 ， 所以 .0)(11xff 4)(11ff)4()22xfxf421x已知函数 有两个零点.设 是 的两个零点，证明： .22xea1,12转自 qq 群 339444963四、招式演练已知函数 ，其中 为自然对数的
7、底数， 是 的导函数.2xage,2.718Re fxg（）求 的极值；f（）若 ，证明：当 ，且 时， .1a12x12fxf120x【答案 】(1) 当 时， 无极值; 当 时, 有极小值 ;(2)详0f0alnlnfaa见解析. 【解析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数 f（x）的导数，设函数 F（x）=f（x） f（x） ，求出函数的导数 ，根据函数的单调性证明即可试题解析：（） 的定义域为 ， xfxgea ,xfea当 时， 在 时成立， 在 上单调递增， 无极值.0a0,fx当 时， 解得 ，由 得 ；由 得xf
8、elnxa0fxlnx0，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 有极小值lnx,lln,afx.lnfaa转自 qq 群 339444963（）当 时， 的定义域为 ， ，1axfe,1xfe由 ，解得 .当 变化时， ， 变 化情况如 下表：0xfe fx,0 0,fx0 +f单调递减 极小值 单调递增 ，且 ，则 （不妨设 ）12x12fxf120x12x已知函数 ，其中2lnfxaR（1）若函数 有两个零点，求 的取值范围；（2）若函数 有极大值为 ，且方程 的两根为 ，且 ，证明： .fx12fxm12,x12x124xa【答案】 （1） ;（2）见 解析. 0ae转自 qq 群 339444963（1）当 时， 函数 在 上单调递增，不可能有两个零点0a0fxfx0,（2）当 时， 1,2fax10,2a1,2af0 -fxA极大值 A的极大值为 ，由 得 ；f11ln22fa1ln02a12ae因为 ，所以 在 必存在一个零点；ln0a afeeefx,ae显然当 时， ，所以 在 上必 存在一个零点；xff1,2转自 qq 群 339444963
