1、1第三章 习题解答3.1参看图 3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子20200exp)(expMydkjydkj ii试问（1）物平面上半径多大时，相位因子 )(2exp200ydkj相对于它在原点之值正好改变 弧度？（2） 设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是多少？（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么 a， 和 do之间存在什么关系时可以弃去相位因子 )(2exp200ydkj解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是，2200()krkxydd00d（2）根据（3.1.5）式
2、，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点 0(,)xy 220 00201(,;),exp()()i iiihxyPjxydxydd12 20 0i iaJrcaB式中 ，而rxy2（1）22200()()iixyd在点扩散函数的第一个零点处， ，此时应有 ，即1Ja3.8a（2）0.6将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点 ，于是得(0)iixy（3）00.1dra（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献 。按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以0(,;)hxy外的影响，即只考虑 h 的中
3、央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子00.61/rda变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小2exp/jk区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如 ）就满足以上要求，则/16， ，也即20/16rd20/16rd（4）0.4a例如 ， ，则光瞳半径 ，显然这一条件是极易满nm0n1.6am足的。3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 002cos1),(xfyxt放在图 3.5 所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 x0z平面内，与 z 轴夹角为 。透镜焦距为 f，孔径为
4、D。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大 角等于多少？求此时像面强度分布；(3) 若 采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与 =0 时的截止频率比较，结论如何？3解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 ，为确定起见0exp(sin)Ajk设 ，则物平面上的透射光场为000(,)exp(sin)(,UyAjktxy00 0si1sin1sine2e2()exp2()jxjxfjf 其频谱为0(,)(,)AUxyF0 0sin1sin1sin222f f 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿 轴整体平移了 距离。i/（2）欲使像面有强度变化，至少要
5、有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率，于是要求/4cDf，sin4Df0sin4Dff由此得（1）0sin4ff角的最大值为（2）maxrcsin4Df此时像面上的复振幅分布和强度分布为 01(,)exp2exp(2)4ii i iAUyj jff05(,)cos4iiIxf4（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得04Dff即或 （3）02ff0max2Dff时，系统的截止频率为 ，因此光栅的最大频率/4c（4）0maxcff比较（3）和（4）式可知，当采用 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高max了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。3.3 光学传递
6、函数在 fx= fy =0 处都等于 1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1 吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？（1）在（3.4.5）式中，令1(,)(,)ii iihxyhxyd为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成(,)(,)exp2()i iiihyjydxH而(0,)1(,)iihxyd即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义（2）不能大于 1（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是 函数，其频谱为常数 1，即系统对任何频5率的传递都是无损的。3.4 当非相干成像系统的点扩散函数
7、hI（x i，y i）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。解：由于 是实函数并且是中心对称的，即有 ，(,)Iihxy *(,)(,)IiIixyh，应用光学传递函数的定义式（3.4.5）易于证明,IiIii，即 为实函数。(,)(,)*H(,)H3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为 di，光波长为 ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？解：用公式（3.4.15）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为
8、近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时 N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为 ，由于 很小，所以系统实现了低通滤波。2/iad2a3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像。解：如图图 3.6 题设 是透过率函数为 的物平面， 是与 共轭的像平面，即有1),(0yxt21fdi0),(0yxt ),(iyx0di),(x6式中 f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场 ；lU（2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位
9、相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场，这个场传到像面上形成物体的像。lU为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为 0002002 dyxjkdyxjkyxtdjyxkil )ep()ep(),()ep(这里假定 只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为 ，此积分可以看成),(0yxt 是函数 的傅立叶变换，记为 ，其中)ep(,020dyxjkt),(yxfF00fdxfy,在紧靠透镜后表面处 )exp(),()exp( fyjkfFdjykUyl 220 这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光场2 dxyjkfyxjkUdjyxkyxU ilii
10、iii )ep()ep()ep(),( 22 dxyjk dyxjkfyxjkjyxfFdjyxki iyxiii )ep( )ep()ep()(),)ep( 222207 dxyjkfdyxjkfFdyxjk iiyxiii )exp()(ep),()ep( 122 00由题设知， 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径010fdi的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为 dxyjkfFdyxjkyxU iyxiiiii )ep(),()ep(),(022 dxyxjfdyxFdyxjk iiyxiii )(ep),()ep( 2200注意 于是得, 000ffxyi yx
11、yxyxiiii dffjfFdjkyxU )(ep),(/)ep(),( 22002020 dyxjkyxtdxjkdii e(),(ep( ),(exp()ex(00220 yxtdjkdyjkdii 再考虑到 和 之间的关系得到0i),(iiii dyxtdU000即得到像平面上倒立的，放大 倍的像。0i83.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数其传递函数为 )()(axrectxL1 xxaffH)sin()(对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰
12、动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为 a，细线的线扩散函数为)exp()(221axL对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数 )e()(2xxffH3.8 有一光楔（即薄楔形棱镜） ，其折射率为 n，顶角 很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1），试根据这一事实，导出光束的位相变换函数 t。解：如图所示，设入射平行光与 Z 轴成 角入射，按傍轴条件， 角很小，入射到光楔上的光场为)exp()sinexp(jkAjkAU1通过光楔后的出射光场为 njxj 112 si其中 (n-1) 表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔(x,y)=-(n-1)9变换函数三者的关系 有 12tU)exp(expjktAnjkA1于是有 。)(expnjkt
