1、第一章1.矢量 ， ， 构成简单正交系。证明晶面族 的面间距为abc)(hkl22)()(1clbadhkl 解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为： kajic321由此可求得其倒格子基矢为： kabjiicbac2)(2)(31231321根据倒格子矢量的性质有： 321Klkhdklhkl 22)()(12 clbkahlcbaji2.平面正六角形晶格（见图 5.30） ，六角形 2 个对边的间距是 ，其基矢为；jiaa321ji2试求：（1）倒格子基矢；（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区；（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？解：（1）由题意可取 ，那么根据倒格子基矢的
2、定义有ka3yxO1a2a图 5.30)31(2)(23211 jiab)()(3212 ji（2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图 5.2 所示第 一 布 里 渊 区第 二 布 里 渊 区第 三 布 里 渊 区图 5.2 平面正六边形晶格的布里渊区示意图（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为)(21*321 kbV238)( aaajiji3.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为： )(2)(31kjiaji根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：1b2b)(22)(13
3、321 jiabkj由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。第二章1.在一维双原子链中，如 ，1/mM（1）求证：；qasin21。212 )co(Mm（2）画出 与 的关系图（设 ） 。q10/解：（1）在一维双原子链中，其第 个原子与第 个原子的运动方程为nn)2(122112 nnnnxxdtMm（1）为解方程组（1）可令)12(12tqaninBexA（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos(cos2BMAqaqam（3）从 、 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出
4、发，可得ABsin4)(2224 qa可解出得qamMmM222 sin4)()( （4）当（4）式中取“”号时，有21221 )sin)(41)( qa（5） ，（5）式中有/mM，)( 1sin4sin4sin)(4 222 qaMmqaqamM那么（5）式可简化为qaqaqa 222121 sin)sin41()sin4( Mi1当（4）式中取“”号时，有2122 cos)(41)()( qamMm（6） ，（6）式中有1/，M)( )(1cos4cos4cos)(4 222 qaqaqam那么（6）式可简化为)cos1(2)cos421()cos41( 2212 qaMmqaMmqa
5、212 )(Mm（2）当 时，则（4）式可化为0/ qam222 sin510此时， 与 的关系图，即色散关系图如下图 3.5 所示：q图 3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线2.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界 处，声学支格波中所有aq2轻原子 静止，而光学支格波中所有重原子 静止。画出这时原子振动的图像。mM解：设第 个原子为轻原子，其质量为 ，第 个原子为重原子，其质量为 ，n2m1nM则它们的运动方程为)2(122112 nnnnxxdt（1）为解方程组（1）可令)12(12tqaninBexA（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos(cos2BMAqaqa
6、m（3）从 、 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得ABsin4)(2224 qa可解出得qO a2aa2am5/25/1qamMmM222 sin4)()( （4）令 ，则可求得声学支格波频率为 ，光学支格波频率为aq2m由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子 与重原子 的振幅之比为mM0/2/cosqaBA由此可知，声学支格波中所有轻原子 静止。而在光学支中，重原子 与轻原子 的振幅之比为M0/2/cosmqaA由此可知，光学支格波中所有重原子 静止。此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：(a) (b)轻 原 子重 原 子图 3.6 （a ）声学支格波原子振动图；（
7、b）光学支格波原子振动图3.从一维双原子晶格色散关系出发，当 逐渐接近 和 时，在第一布里渊区中，mM晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。解：一维双原子晶格的色散关系为 qamM222 sin4)()( 由此可做出如下图 3.7 的一维双原子链振动的色散关系曲线图 qO a2aa2a图 3.7 一维双原子链振动的色散关系曲线由上图可以看出，当 逐渐接近 时，在第一布里渊区边界，即 处，声学mMaq2波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当 时，则声学波的频率和光学m波的频率在 处相等，都等于 。aq22而在一维单原子链中，其色散关系为 ，由此可
8、见，在一维单原子链2sin42qa中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即 处，其格波频率为 ，是双原子链的格波在布里aqM渊边界的频率值的 2 倍。第三章1.一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理。若晶格常数为 ，电子的波函)(xka数为（1） ；xaksin)(（2） ；3co（3） （其中 为某个确定的函数） 。ikixf)()(f试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成 ，其中， 或写成)()(xuekik)(xuaxkk)()(xeaxkik（1） )(sinsinxak故 1ikaek)(sin)( xuexx
9、kaixaik 显然有 )(ukk故 的波矢是 。xaksin)(（2） )(3cos)(3cos xaiak所以 1ikaek)(3cos)( xuexixkaixaik 显然有 )(ukk故 的波矢 。xaixk3cos)(（3） )()1()( xmaxfaixfiaf kiik 故 1ikae0k)( )( )(0 xueixfxkiik 故 的波矢为 0。ikaf)()(2.已知一维晶体的电子能带可写成：。)2cos817()(2kamakE式中 是晶格常数。试求a（1）能带的宽度；（2）电子在波矢 的状态时的速度；k（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）在能带底 处，电子能
10、量为0)(E在能带顶 处，电子能量为ak2)(ma故能带宽度为 2)0(E（2）电子在波矢 的状态时的速度为k)sin41(i1)( kamadv（3）电子的有效质量为kakE2cos1s/2*于是有在能带底部电子的有效质量为 m*1在能带顶部电子的有效质量为 323.限制在边长为 的正方形中的 个自由电子，电子的能量为LN。)(),(22yxyxkmkE试求：（1）能量 之间的状态数；Ed（2）此二维系统在绝对零度的费米能量；（3）电子的平均能量。解：（1）K 空间中，在半径为 和 的两圆面之间所含的状态数为kdkLZ242（1）这也就是能量在 之间的状态数，由电子的能量表达式可得EddEm
11、mE22k（2）将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳 2 个自旋相反的电子，这样可得能量在 之间的状态数为Ed dEmLdZ2（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为2)(dE在绝对零度下，由下式0202000)( FEmLdNFF 由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为20mLEF（3）电子的平均能量为00 21)(1FFEEdLNd0222)(FmLN4.用紧束缚方法处理面心立方的 s 态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为 )2cos2cos2co(4)(0 akakakJAEk xzzyyx 并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的 s 态电子，其能带 的表达式可写为)(k近 邻sskJeAEkR0)(上式中 ， ，s0 0)()(2dVUi（其中 表示晶体中的周期性(* Jisi )(U势场，也即各格点原子势场之和； 为最近邻格点的原子势场； 为最近邻格点的位)(sR矢） 。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的 12 个格点的位矢坐标值为（ ， ，0） ， （ ， ， 0） ， （ ， ，0） ， （ ， ，0）2a2a2a2a
