1、1概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1填空题（1）假设 是两个随机事件，且 ，则 ， ；BA, BAAB解： 即 与 互为对立事件，又所以 , .（2）假设 是任意两个事件，则 .BA, PABAB 解： P .0B（3）.已知 ， ， 。则事件 、41)()(CPBA0)(AB16)()(BCPA、 全不发生的概率为 BC解：所求事件的概率即为 ,又 从而,则 ，所以00,PAB0PA1CBC311 .48PABC2选择题（1）设 ， ， ，则下列结论正确的是 .8.0)(AP7.0)(B8.0AP（A）事件 与事件 相互独立；（B）事件 与事件 互逆；B（C） ；（D） .B()解：
2、因为 ，而 ，即 ，56.0)(AP56.0)(PA)()(BPA所以事件 与事件 相互独立，选（A）.2（2）设 为两个互逆的事件，且 ， ，则下列结论正确的是 .BA, 0)(AP)(B（A） ；（B） ；（C） ；（D） .0P0)()(BPA解：因为 为两个互逆的事件，所以当事件 发生时，事件 是不会发生的，故,.选（C）.（3）设 ， ， ，则下列结论正确的是 .1)(0AP1)(0B1BAP（A）事件 与事件 互不相容；（B）事件 与事件 互逆；（C）事件 与事件 不互相独立；（D）事件 与事件 互相独立.解：因为 111PABPABP1ABBPABPPP 1，所以事件 与事件 互
3、相独立.选（D）.)()(BA3从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双” ，则A.410251)(CP34 （找次品问题）盒中有 只次品晶体管， 只正品晶体管，随机地抽取一只进行测6试，直到 只次品晶体管都找到为止，求第 次品晶体管在第五次测试中被发现的概4率.解：设 表示“第 次找到次品晶体管” ，则所求概率为：iAi 5,321i 5432145432154321 AAAP 3432153214213121 APAPAPA 4321532142131
4、21 APAPAPA 6178291067891067891067894106 .5235 （讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金 元.比赛规定：10谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲 胜2负.由于特殊原因必须中止比赛.问这 元应如何分配才算公平?1 10解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜.甲获胜的预期概率为： .432154454 APAP于是，甲应分得 元奖金中的 元，乙分得 元.10701306(彩票问题) 一种福利彩票
5、称为幸福 35 选 7，即从 01，02，35 中不重复地开出 7 个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.幸福 35 选 7 的中奖规则中奖级别 中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7 个基本号码全中中 6 个基本号码及特殊号码中 6 个基本号码中 5 个 基本号码及特殊号码中 5 个基本号码中 4 个基本号码及特殊号码中 4 个基本号码，或中 3 个基本号码及特殊号码(1)试求各等奖的中奖概率 (1,27);ip(2) 试求中奖的概率.4解：(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间 含有 个样本点.要735C中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码
6、：7 个基本号码；第二类号码：1 个特殊号码；第三类号码：27 个无用号码。在三类号码中抽取，若记 为第 等奖的概率 可得各等奖的中奖概ip(1,27);i率如下：7 613510.491;62Cp61 67235.041;C0173358.0;1 57243578.30;p02 37153571.96;64Cp12 376351.2;640C4031 271272505.480.(2) 若记 为事件“中奖” ，则 为事件“不中奖”则AA71250.3485.6iPp7甲从 中任取一个数，乙从 中任取一个数，求甲取得的数大于乙10,86429,753取得的数的概率.解：设 表示甲取得的数大于乙
7、取得的数， 表示“甲取的数为 ”，AiA10,8642i表示“乙取的数为 ”，则所求概率为：kB9,7531k 214613581357PPBPBPAB975310A241436163658183BA PAB 907105030107858 BAPBPP 由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知： ，且kiki5， ， .51iAP51kB9,7531;0,8642ki.328从数字 中可重复地任取 次，每次取一个数，求 次所取数的乘积能被9,3,1 nn整除的概率.0解： 次取得的数的乘积能被 整除，相当于取得的 个数中至少有一个是偶数，另n10一个是 .5设 表示“所取的数是 ”，
8、 表示“所取的数中至少有一个是偶数 ”，则所求概率为：A5B8541119nnPBPAPBA.n94589向正方形区域 中随机地投一个点，如果 是所投点 的1,yx yx,M坐标，试求：（1） 有两个实根的概率；（2）方程 有20pq 20pq两个正实根的概率.解：（1）设 表示“ 有两个实根” ，A2x有两个实根的充要条件是20xpq， 即 .42,40pq故 .12013dPA（2）设 表示“方程 有两个正实根” ，则方程 有两个B20xpq20xpq正实根的条件是： ， ， ，即4.2,0,pq041,1,4p6故 .02148pdPB10将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球
9、的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设 表示“前两个球放在不同的盒子中” ， 表示“有一个盒子中恰好有两个球”AB，则所求概率为 .样本空间含样本点总数为 含样本点总数为PB4,A个， 含样本点总数为 个,故214C214C.21448PAB11设 件产品中有 件不合格品，从中任取两件.Mm（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设 表示“取出的两件产品中有 件合格品” ，则 .iAi2MimiiCAP,10（1） .0201001
10、1 1mMPAP 或 10101010 APAPAA .21202 mMCmMm（2） .12112 21PAPAmPA M712口袋中有 20 个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设 表示“第 次取得红球 ”，则所求概率为：iAi3,21i 089.1297120813121321 CAPP1312 个乒乓球全是新的，每次比赛时取出 3 个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件 分别表示第一、二、三次比赛时取到 个新球 .ii
11、CBA, i3,210i（1）由全概率公式， .303i iiBCPP其中： ， .,213129iCBii 3,21031293ii故 .463031299033 i iii ii CPP（2）由贝叶斯公式， 3003 84;756CB3113 512;706PBC.3223 30;P333 8故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14 （有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问 ，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，CBA,并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失
12、业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.8用字母 分别表示顾问 的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些CBA, CBA,顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为： ， ， .假设总统采取了所提出的新政策，一61P321P年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设 表示“失业率上升 ”，则 构成了样本空间的一个划分.由全概率公式DCBA,有 PAPDP.302.1.038.61由 Bayes 公式得： ，10.84639AP， .10.239PBD1023.9PCD即总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为
13、： 4,9A,B3.9PCD15设 一枚深水炸弹 击沉一艘潜水 艇的概率为 ，31 击伤的概率为 ，击21不中的概率为 ，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放 枚深水炸弹能击沉潜水6 4失业率下降 失业率不变 失业率上升A 1.0 1.0 8.0B 6 2 C 2. 6. .9艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设 表示“施放 枚深水炸弹击沉潜水艇” ，依题意 击不沉一艘潜水艇只有以下A4两种互斥情形：“4 枚深水炸弹全击不中潜水艇”记为事件 “4 枚深水炸弹中 1 枚,B击伤潜水艇而另 3 枚击不中潜水艇”记为事件 由于各枚深水炸弹能袭击潜水艇是,C独立的，故有 又 互斥，从而431
14、41, ,626PB.434111 26AP16设有五个独立工作的元件 它们的可靠性均为 .将它们按本题图的方式,5432,1p连接（称为桥式系统） ，试求出该系统的可靠性.解：设 表示“第 个元件可靠 ”， 表示“系统正常工作”iAi5,4321iA则所求概率为： 12451354321245135()PAPAP43 1534A. 125234523451235P34pp另解 ：按元件 3 处于正常工作与失效两种状态，用全概率公式 33()PAPAPA，31425PA1245.14 14,p2252525PA23141425PAAPp 4252514.A2345110故 22433() 1P
15、APAPApp2452.pp17 （下赌注问题）17 世纪未，法国的 De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设 “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点” ， “两颗骰子连续掷二十四次A B至少出现一次双六点” ；再设 “第 次抛掷时出现六点 ”， “第 次抛iA4,321ikB掷时出现双六点” ，则1234123
16、41234PPAPA.58061432 APA此概率大于 ，故赢钱的可能性大.5012241224124PBBBPB .9036512421 P此概率小于 ，故赢钱的可能性小.50请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数 时，这时的概率大于 ，且抛掷次数超过 次越多越有利，这是因为2n5.025.13651limn18要验收一批 件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取 件测试（设0 3件乐器的测试是相互独立的） ，如果 件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐3 3器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 ，而95.0一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 ，如果已知这 件乐器中恰好01.1有 件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？4
