1、信号处理习题 第一章 Z Transform and Digital Filter 1 已知 )()21()( nunx n ，求其 z 变换反收敛域 2 已知21 ,81431211)(211zzzzzX ，请用部分分式法或留数法求其反变换 x(n)。 3 已知 m mnymxnynxnw )()()(*)()(，式中， x(n)、 y(n)和 w(n)的 Z 变换分别以X(z)、 Y(z)和 W(z)表示。 求证： W(z)=X(z).Y(z)。 4 已知数字信号 , , 1 , 0 , )( abna nbnx nn 求其 z 变换 X(z)和收敛域。 5 已 知一线性非移变离散稳定系统
2、的差分方程为： )2(81)1(43)1(31)()( nynynxnxny 试求： 1） 传递函数 H(z)的表达式； 2） 画出该系统的信号流图； 3） 画出该系统的脉冲响应 h(n)，试问该系统若作为数字滤波器，是 IIR还是FIR滤波器？ 第二章 Hilbert Transform 1 在 2.1 节我们已经看到，单位圆外部的 z 变换完全由其在单位圆上的虚部值和 h(0)值确定。 (a) 试由 )()0()()()( 0 nhnunhnh ，导出 c l hdvvvz vzvHzH )0()( )(21)( ， |z|1。 (b) 当 1)0(c o s21 s in)( 2 heH
3、 jwl 时，试利用 (a)的导出求 H(z)。 2 利用 )( jwe eHR 推导 H(z)在单位圆之上的积分表示式，条件是 h(n)为一个稳定的实序列， n0 时， h(n)=0。 3 研究 一个 z 变换为的非最小相位因果 信号 x(n)。 X(z)的零点是 Zk， k=1, 2, , M, 并且|Z1|Z2| |ZM|。我们建议把序列 x(n)予以指数加权，求得一个最小相位的新序列y(n)，即 )()( nxny n 试问 应该如何选择才能使 y(n)是最小相位的？ 4 试证明 下面两种说法的正确性： (a) 两个最小相位序列之卷积仍是最小相位序列。 (b) 两个最小相位序列之和未必
4、是最小相位序列。（举一例来说明最小相位序列和非最小相位序列都可由两个最小相位序列之和组成。） 5 令 hmin(n)表示 z 变换为 Hmin(z)的最小相位序列。如果 h(n)是一个非最小相位的因果序列，其傅立叶变换的幅度等于 | Hmin(ejw)|，试证明： |)0(|)0(| minhh （提示：利用初值定理） 6 序列 x(n)的偶部定义为： 2 )()()( nxnxnxe ，假设 x(n)是一个有限时宽实序列，定义为 n0 和 n N 时， x(n)=0。令 x(k)表示 x(n)的 N 点离散傅立叶变换。（提示：)1(,0()(),1,0()( NnxNnx ） ，则 xe(n
5、)的长度为 2N-1） (a) xe(n)的离散傅立叶变换是否等于 ReX(k)？ (b) 试求出以 x(n)表示的 ReX(k)的离散傅立叶反变换。 7 研究 一个复序列 )()()( ),( nxjnxnznz ，其中 x(n)和 (nx 是实序列。序列 z(n)的 z变换 Z(z)在单位圆的下半部分为零。即 2 时， Z(ejw)=0。 z(n)的实部为 其它 , 02 , 410 , 21)( nnnx试求 Z(ejw)的实部和虚部。 第三章 Discrete Random Signals 1 令 x(n)和 y(n)是不相关的随机信号，试证：若 )()()( nynxnw 则 yxw
6、 mmm 和 222 yxw 2 研究 一个随机过程，它的取样序列 x(n)的形式为 )c o s ()( 0 nwnx 式中 是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数如图 3.1 所示。试计算它的均值和自相关序列 ),( nmxx 。这个随机过程是否为广义平稳过程？ 图 3.1 3 一个 如图 3.2 所示的单位冲激响应为 0 , 00 , )2/(s in2)( 2nnn nnh 的理想希尔伯特变换器，受到时域离散随机信号 xr(n)的激励。 图 3.2 (a) 求自相关序列 )(miixx的表示式。 (b) 求互相关序列 )(mirxx的表示式。证明这时 )()( mmirir xxxx
7、 。 (c) 求如下复解析 信号的 自相关序列： )()()( njxnxnx ir 。 (d) 求上述复解析信号的 功率谱。 4 令 x(n)是白色随机序列，其均值为零、方差为 2x 。设有一个级联系统，由两个线性时域离散系统按图 3.3 的形式构成， x(n)是它 的输入。 (a) 02122 )(kxy kh是否正确？ (b) 02222 )(kyw kh是否正确？ (c) 令 )()(1 nuanh n 和 )()(2 nubnh n 。试确定图 3.3 的整个系统的单位取样 响 应，并由此求出 2w 。如果你认为 (b)是正确的，那么它与 (c)的答案是否一致？ 图 3.3 )(1
8、nh )(2 nh x(n) y(n) w(n) 2 21 0 )(0P 理想的希尔伯特变换器 xi(n) xr(n) 第四章 Homomorphic Signal Processing 1 如下表的每一个系统变换都是同态的，各输入运算业已指明。请确定各输出运算。 系统变换 Tx(n) 输入运算 n nznxnxTzx )()()( n nznxnxTzx )()()( )()()( 2 nxnxTny |)(|)()( nxnxTny 卷积 乘法 乘法 乘法 2 试确定 下列 哪几个系统不能构成以乘法为输入、输出运算的同态系统： (a) y(n)=3 x(n)。 (b) y(n)= x2(n
9、)。 (c) y(n)= x(n)/ x(n-1)。 3 研究 一类以卷积为输入和输出的同态 系统。试证明若输入 x(n)= )(n ，则输出y(n)= )(n 。 4 x1(n)和 x2(n)表示 两个序列， )(1nx 和 )(2nx 表示它们的复倒谱。若 )()(*)( 21 nnxnx ，试确定 )(1nx 和 )(2nx 之间的关系 5 设 x(n)表示一个最大相 位序列， )(1nx 表示它的复倒谱。证明 )0(log)0( xx 。 6 当 x(n)为最小相位型时，下式表示了 x(n)和 )(nx 之间的递推关系，请利用该递推式计算序列 )()( nuanx n 的复倒谱。 递推
10、式为：100 , )0( )()()0( )(0 , )0(lg 0 , 0)(nknx knxkxnkx nxnxnnx 第五章 Power Spectrum Estimation 上机 （一） 设输入音频信号 )2cos()( fttX a ，取 f=1KHz， fs=20KHz， N=128， W(n)为三角窗序列。用计算机求出功率谱估值 )( kPxx 及 不分段的 )(kBwxx ，打印出曲线图、列出程序（注明所用语言）。 测量流程图为： 注： K1 断开， K2 合上得 )(kBwxx ； K1 合上， K2 断开得 )( kPxx 用计算机求 )( kPxx 及 )(kBwxx
11、时的编程流程图如下（供参考）。 （二） 如 有兴趣，对上题求分段的 )(kBwxx 。用 2:1 覆盖分段，设各段的长度 M=32。请画出测量流程图、计算机流程图，打印出 )(kBwxx 曲线图。 开始 输入 N 及Ts=1/fs 对音视频信号取 N=128 个样点为 X(k) 三角窗加权 )()()(1 kWkXkX 求： 102 )(Nn nWU规范运算 NjneNnjxnxnu /)2/()()( 取实部 Y(N)，虚部 Z(N) N/2 点 ODFT，得偶数谱线，其实部为 A(k)，虚部 B(k) 求模的平方 R2+I2 除 N 由 ODFT 谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 )( kPx
12、x 结束 规范运算 NjneNnjxnxnu /11 )2/()()( 取实部 Y1(N)，虚部 Z1(N) N/2 点 ODFT，得偶数谱线，其实部为 C(k)，虚部 D(k) 求模的平方 R2+I2 除 NU 由 ODFT 谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 )(kBwxx取样 fs=20KHz 三角窗加权 规范运算 NjneNnjxnxnu /)2/()()( N/2 点ODFT R2+I2 除 NU或除 N 补奇数 谱线 内存 U K2 Xa(t) K1 )(kBwxx 或 )( kPxx D(2k) 第六章： 案例分析 请完成案例分析：就你所从事的专业方向，举出信号处理技术的应用实例。 要求：（ 1）给出案例题目；（ 2）原理分析（ 500 字以上）；（ 3）给出实现框图 和实验结果（附程序代码） 。
