1、温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。 课时提升作业 六十六 二项式定理 (25 分钟 50 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分 ,共 35 分 ) 1.(2016济宁模拟 )二项式 展开式中的常数项是 ( ) A.180 B.90 C.45 D.360 【解析】选 A. 展开式的通项为 Tk+1 = ( )10-k =2k , 令 5- k=0,得 k=2, 故常数项为 22 =180. 2.(2016枣庄模拟 )在 x(1+x)6的展开式中 ,含 x3项的系数是 ( ) A.30 B.20 C.
2、15 D.10 【解题提示】先用通项公式求 (1+x)6展开式中 x2项的系数 ,再求 x(1+x)6展开式中 x3项的系数 . 【解析】选 C.(1+x)6展开式中通项 Tr+1= xr, 令 r=2 可得 T3= x2=15x2, 所以 (1+x)6展开式中 x2项的系数为 15, 在 x(1+x)6的展开式中 ,含 x3项的系数为 15. 3.(2014湖北高考 )若二项式 的展开式中 的系数是 84,则实数 a= ( ) A.2 B. C.1 D. 【解题提示】考查二项式定理的通项公式 . 【解析】选 C.因为 Tr+1= (2x)7-r = 27-r ar x7-2r, 令 7-2r
3、=-3,得 r=5, 所以 22 a5=84,解得 a=1. 4.若 (x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( ) A.-16 B.16 C. -1 D. +1 【解析】选 B.令 x=1 得 :a0+a1+a2+a3+a4=(1+ )4, 令 x=-1 得 :a0-a1+a2-a3+a4=(-1+ )4, 则 (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) =(1+ )4(-1+ )4 =24 =16. 5.在 的展开式中 ,只有第 5 项的二项式系数最大 ,
4、则展开式中常数项是 ( ) A.-7 B.7 C.-28 D.28 【解题提示】由只有第 5 项的二项式系数最大 ,可得出 n 的值 ,利用二项展 开式求出常数项 . 【解析】选 B.由题意可知 n=8, Tr+1= = (-1)r . 令 8- r=0,得 r=6, 所以 (-1)6 =7. 【 加固训练】 (2- )8展开式中不含 x4项的系数的和为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选 B.二项式的通项 Tk+1= 28-k(-1)k( )k= 28-k(-1)k , 令 k=8,则 T9= (-1)8x4=x4, 所以 x4的系数为 1, 令 x=1,得展开式的所有项系
5、数和为 (2-1)8=1, 所以不含 x4项的系数的和为 0. 6.(2016保定模拟 ) 展开式中的常数项为 ( ) A.-8 B.-12 C.-20 D.20 【解析】选 C.因为 = , 所以 Tr+1= x6-r = (-1)rx6-2r, 令 6-2r=0,即 r=3, 所以常数项为 (-1)3=-20. 7.(2016吉林模拟 )(1+x)10 (x0)展开式中的常数项为 ( ) A.1 B.( )2 C. D. 【解析】选 D.因为 (1+x)10 = = = (x0), 所以 Tr+1= ( )20-r = x10-r, 由 10-r=0,得 r=10, 故常数项为 T11=
6、. 【 加固训练】 的展开式中 x2y2的系数是 ( ) A.56 B.84 C.112 D.168 【解题提示】展开式中 x2y2的 项是由 (1+x)8展开式中 x2项与 (1+y)4展开式中 y2项相乘得到的 . 【解析】选 D.x2y2的系数为 =168. 二、填空题 (每小题 5 分 ,共 15 分 ) 8.(2015北京高考 )在 (2+x)5的展开式中 ,x3的系数为 (用数字作答 ). 【解题提示】利用二项展开式的通项可以求出 x3的系数 . 【解析】含有 x3的项为 22x3=40x3.所以 x3的系数为 40. 答案 :40 9.(1+x)(1-x)4的展开式中 x4的系数
7、是 . 【解析】 (1+x)(1-x)4=(1-x2)(1-x)3=(1-x2)(1-3x+3x2-x3),所以 x4的系数为 -3. 答案 :-3 10.设复数 z= ,则 + z+ z2+ z3+ z4+ z5+ z6+ z7 = . 【解析】由于复数 z= = =i, 所以 + z+ z2+ z3+ z4+ z5+ z6+ z7=(1+z)8- z8 =4-i8=(2i)4-(-1)4 =16-1=15. 答案 :15 【易错警示】解答本题时易出现以下错误 (1)在逆用二项定理时 ,误将待求式认为是 (1+z)8的展开式而致误 . (2)对复数的运算出错而致误 . (20 分钟 40 分
8、 ) 1.(5 分 )(2016临沂模拟 ) 的二项展开式 17 个项中 ,整式的项数是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.7 【解析】选 B.二项展开式的通项为 Tk+1 = =(-1)k 3k 38 16 kk 2216C x y(k Z,0 k 16), 要使得它为整式 , 则 -8 与 16- 均为非负整数 , 即 8 16,k=6,8,10,故有三项 . 2.(5 分 )(2016洛阳模拟 ) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 ( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 【解析】选 D.令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 1+a, 所以 1
9、+a=2,所以 a=1, 所以 = =x + , 所以展开式中常数项为 的 与 x 的系数和 , 因为 展开式的通项为 Tr+1=(-1)r25-r x5-2r, 令 5-2r=1 得 r=2;令 5-2r=-1 得 r=3, 所以展开式中常数项为 8 -4 =40. 3.(5 分 )72015+ 72014+ 72013+ + 7除以 9得余数是 . 【解析】原式 =(7+1)2015-1 =82015-1=(9-1)2015-1 =92015- 92014+ 92013- + 9-2,所以除以 9所得余数为 7. 答案 :7 【 加固训练】求证 :4 6n+5n+1-9 能被 20 整除
10、. 【证明】 4 6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1) =4+5 =20,是 20 的倍数 , 所以 4 6n+5n+1-9 能被 20 整除 . 4.(12 分 )已知 (a2+1)n 展开式中的各项系数之和等于 的展开式的常数项 ,而(a2+1)n的展 开式的系数最大的项等于 54,求正数 a 的值 . 【解析】设 的展开式中的常数项为 Tr+1,则 Tr+1= = , 令 20-5r=0,得 r=4,故常数项 T5= =16, 又 (a2+1)n展开式的各项系数之和为 2n, 由题意 ,得 2n=16,所以 n=4,所以 (a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项 T3,
11、从而 (a2)2=54,所以 a= . 5.(13 分 )已知在二项式 (axm+bxn)12中 ,a0,b0,mn 0 且 2m+n=0. (1)如果在它的展开式中 ,系数最大的项是常数项 ,则它是第几项 ? (2)在 (1)的条件下 ,求 的取值范围 . 【解析】 (1)Tk+1= (axm)12-k (bxn)k = a12-kbkxm(12-k)+nk, 令 m(12-k)+nk=0,即 m(12-k)-2mk=0. 因为 m 0,所以 k=4,所以常数项是第 5 项 . (2)因为第 5 项是系数最大的项 , 所以 由得 ,由得 ,所以 . 【 加固训练】在二项式 的展开式中 ,前三项系数的绝对值成 等差数列 . (1)求展开式的第四项 . (2)求展开式的常数项 . (3)求展开式的各项系数的和 . 【解析】第一项系数的绝对值为 ,第二项系数的绝对值为 ,第三项系数的绝对值为 , 依题意有 + = 2, 解得 n=8. (1)第四项 T4= ( )5 =-7 . (2)通项公式为 Tk+1= ( )8-k = ( )8-2k, 展开式的常数 项满足 8-2k=0,即 k=4, 所以常数项为 T5= = . (3)令 x=1,得展开式的各项系数的和为 = = . 关闭 Word文档返回原板块
