1、 分式方程的解法及应用（提高） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程 2. 会列出分式方程解简单的应用问题 【要点梳理】 要点一、 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程 . 要点诠释： （ 1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数 . （ 2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数） .分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程 . （ 3）分式方程和整式方程 的 联系：分式方程可 以转化为整式方程 . 要点二、 分式方程的解法 解分式 方程 的基本思想
2、： 将分式方程转化为整式方程 .转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母 .在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根 .因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根 . 解分式方程的一般步骤： （ 1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （ 2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （ 3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等 于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解 . 要点三、 解分式方程产生增根的原
3、因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 . 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘 的 最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根 . 要点诠释： （ 1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的 .根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所 得方程是原方程的同解方程 .如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这 时 求得的根就是原方程的增根 . （ 2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解
4、方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的 . 要点四、 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题 . 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （ 1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （ 2）设未知数； （ 3）找出能够表示题中全部含 义的相等关系，列出分式方程； （ 4）解这个分式方程； （ 5）验根，检验是否是增根； （ 6）写出答案 . 【典型例题】 类型一、判别分式方程 【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 1】 1、 下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？ （ 1） 2 1 7 53
5、99 7xx （ 2） 352yy（ 3） 31422yy （ 4）22153 1x x x【答案 与解析 】 解：（ 1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程； （ 2）具备分式方程的三个特征，是分式方程； （ 3） 31422yy 没有等号，所以不是方程，它是一个代数式； （ 4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程 特别提醒：（ 3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误； 【 总结升华 】 整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程 类型二、 解 复杂 分式方程 的技巧 2、 解方程： 1 3 1 0 4 1
6、4 3 5 1x x x x 【答案 与解析 】 解：方程的左右两边分别通分， 得 3 1 3 1( 4 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 )xxx x x x ， 3 1 3 1 0( 4 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 )xxx x x x ， 11( 3 1 ) 0( 4) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 )x x x x x ， 3 1 0x ， 或 11 0( 4 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 )x x x x ， 由 3 1 0x ，解得 13x ， 由 11 0( 4 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 )x x x x ，解得 7x 经检验： 13x ， 7x 是原
7、方程的根 . 【 总 结升华 】 若用常规方法，方程两边同乘 ( 4 )( 3 )( 5 )( 1)x x x x ，去分母后的整式方程的解很难求出来注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解 举一反三： 【变式】 解方程 1 1 1 14 7 5 6x x x x 【答案】 解：移项得 1 1 1 14 5 6 7x x x x ， 两边同时通分得 ( 5 ) ( 4 ) ( 7) ( 6 )( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7)x x x xx x x x ， 即 11( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7)x x x x ， 因为两个分 式
8、分子相同，分式值相等，则分式分母相等 所以 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7)x x x x ， 229 2 0 1 3 4 2x x x x ， 229 2 0 1 3 4 2 0x x x x ， 4 22 0x ， 112x 检验：当 112x 时， ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7) 0x x x x 112x 是原方程的根 类型三、分式方程的增根 【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】 3、 （ 1）若分式方程2232 4 2mxx x x 有增根，求 m 值； （ 2）若分式方程2 2 21 1 51kkx x x x x 有增根 1x ，求 k 的值 【思
9、路点拨】 （ 1） 若分式方程产生增根，则 ( 2)( 2) 0xx ，即 2x 或 2x ，然后把2x 代入由分式方程转化得的整式方程求出 m 的值 （ 2）将分式方程转化成整式方程后，把 1x 代入解出 k 的值 . 【答案 与解析 】 解：（ 1）方程两边同乘 ( 2)( 2)xx，得 2 ( 2 ) 3 ( 2 )x m x x ( 1) 10mx 101x m 由题意知增根为 2x 或 2x ， 10 21 m 或 10 21 m 4m 或 6m （ 2）方程两边同乘 ( 1)( 1)x x x，得 ( 1 ) ( 1 ) ( 5 ) ( 1 )k x x k x 34xk 43kx
10、 增根为 1x ， 4 13k 1k 【 总结升华 】 (1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根 做 作原方程的增根在分式方程中，使最简公分 母为零的根是原方程的增根； (2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值 举一反三： 【变式】 已知关于 x 的方程 3 2 2 133x axxx 无解，求 a 的值 【答案】 解：方程两边同乘 ( 3)x 约去分母， 得 ( 3 2 ) ( 2 ) ( 3 )x a x x ，即 ( 1) 2ax 30x ，即 3x 时原方程无解， ( 1) 3 2a ， 53a 当 10a 时，整式方程 (
11、1) 2ax 无解， 当 1a 时，原方程无解 综上所述 ，当 53a 或 1a 时，原方程无解 类型 四 、分式方程的应用 【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】 4、 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同 (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米 ? (2)如果要求完成该项工程的工期不超过 10 天，那么为两工程队分配工程量 (以百米为单位 )的方案有几种 ?请你帮助设计出来 【思路点拨】 (1)题中的等量关系
12、是 甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同 （ 2）由 工期不超过 10 天 列出不等式组求出范围 . 【答案 与解析 】 解： (1)设甲工程队每天能铺设 x 米，则乙工程队每天能铺设 20x 米 根据题意，得 350 25020xx 解得 70x 经检验， 70x 是原分式方程的解且符合题意 故甲、乙两工程队每天分别能铺设 70 米和 50 米 (2)设分配给甲工程队 y 米，则分配给乙工程队 1000 y 米 由题意，得10,701000 10,50yy 解得 500 y 700 方案一：分配给甲工程队 500 米，分配给乙工程队 500 米 方案二：
13、分配给甲工程队 600 米，分配给乙工程队 400 米 方案三： 分配给甲工程队 700 米，分配给乙工程队 300 米 所以分配方案有 3 种 【总结升华】 本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力 . 举一反三： 【变式】 一慢车和一快车 同时 从 A 地到 B 地， A， B 两地相距 276 公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达 2 小时，求快车，慢车的速度 . 【答案】 解： (2)设快车速度为 x /kmh ， 则慢车速度为 23x /kmh 依题意，得 276 276 223x x， 去分母，得 276 2 276 3 4x ，所以 69
14、x ， 经检验知 69x 是原方程的解，所以 2 463x ， 答： 慢车、快车的速度分别为 46 /kmh 、 69 /kmh 【巩固练习】 一 .选择题 1下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（ ） A 354xx B abbxbaax C 2( 1) 11xx D x n xn m n 2若分式方程 2( ) 8( 1) 5xaax 的解为 ,51x 则 a 等于（ ） A65B 5 C65D 5 3. 已知 111 , 1 ,abbc 用 a 表示 c 的代数式为（ ） A 11c b B 11a c C aac 1 D 1ac a 4若关于 x 的方程 0111 xxxm 有增根，
15、则 m 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 1 5将公式21111 RRR （ 12R R R， ， 均不为零，且 2RR ）变形成求 1R 的式子，正确的是（ ） A 21 2RRR RR B 21 2RRR RR C 121 2RR RRR RD 21 2RRR RR 6若关于 x 的方程 323 xmx x 有正数解，则 ( ) A.m 0 且 m 3 B.m 6 且 m 3 C.m 0 D.m 6 二 .填空题 7当 m _时，方程 213mx的解为 1 8已知分式方程 424 x ax x 有增根，则 a 的值为 _ 9关于 x 的方程 324 bxa 的解为 _ 10 一艘轮
16、船在静水中的最大航速为 20 千米 /时，它在江水中航行时，江水的流速为 v 千米 /时， 则它以最大航速顺流航行 s 千米所需的时间是 _ 11某人上山，下山的路程都是 s ，上山速度 1v ，下山速度 2v ，则这个人上山和下山的平均速度是 _ 12若一个分数的分子、分母同时加 1，得 12 ； 若分子、分母同时减 2，则得 13 ， 这个分数是 _ 三 .解答题 13.已知关于 x 的方程 233xmxx有一个正数解，求 m 的取值范围 14. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的 212 倍，他们同时加工 1500 个零件，甲比乙提前18 个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件 ?
17、15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600 千米的普通公路，另一条是全长 480 千米的高速公路，某客车 在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快 45 千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度 【答案与解析】 一 .选择题 1. 【答案】 C； 【解析】 分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数 . 2. 【答案】 B； 【解析】原式化简为 1 0 1 0 8 8x a ax a ，将 15x 代入解得 5a . 3. 【答案】 D； 【解析】 11c b ， 11b
18、a ， 1111 1 ac aa . 4. 【答案】 B 【解析】将 1x 代入 10mx ，解得 2m . 5. 【答案】 A； 【解析】 21 2 21 1 1 RRR R R RR ，所以 212RRR RR . 6. 【答案】 B 【解析】原方程化简为 23x x m ， 6xm ， 03xx且 ，解得 m 6 且 m 3. 二 .填空题 7. 【答案】 12 ； 【解析】将 1x 代入 213mx，解得 12m . 8. 【答案】 4； 【解析】原式化简得 24x x a ，将 4x 代入，解得 4a . 9. 【答案】 264abx ； 【解析】原方程化简为 2 6 4a b x
19、，所以 264abx . 10.【答案】 20sv ； 11.【答案】 12122vvvv ； 【解析】由题意 上山和下山的 平均速度为：12121222 vvsssvvvv . 12.【答案】 511 ； 【解析】设这个分数为 ab ， 1112ab ， 2123ab ，解之得： 5 11ab， ，所以这个分数是 511 . 三 .解答题 13.【解析】 解：方程两边同乘 ( 3)x 约去分母， 得 2( 3)x x m 整理，得 6xm 0,3 0,mx 6 0,6 3 0.mm 解得 6m 且 3m ， 当 6m 且 3m 时，原方程有一个正数解 14.【解析】 解：设乙工人每小时加工 x 个零件，甲工人每小时加工 52x 个零件， 由题意，得： 1500 1500 1852x x整理得， 551 5 0 0 1 5 0 0 1 822x ，解得 50x . 经检验，是 50x 原方程的根 . 5 1252x . 答：甲工人每小时加工 125 个零件，乙工人每小时加工 50 个零件 . 15.【 解析 】 解： 设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为 x 千米 /时， 列方程得： 600 4802 45xx 解得： 75x 经检验 75x 是原方程的解且符合题意 答：客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为 75 千米 /时
