1、智浪教育普惠英才文库12008 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间：3 月 20 日 8：3010：30）一 二 三 总 分题 号(110) (1117) 18 19 20得 分一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案1. 若 为实数，则化简 的结果是a2aA. B. C. D. | |aa2如果 是完全平方式，则 的值为1)(2xmmA1 B1 C1 或1 D. 1 或3
2、3. 如图 1，点 A、B、C 顺次在直线 l 上，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC的中点.若想求出 MN 的长度，那么只需条件AAB12 BBC4CAM 5 D. CN24在平面直角坐标系 内，已知 A(3，3) ，点 P 是 轴上一点，则使AOP 为yoxy等腰三角形的点 P 共有A2 个 B3 个 C4 个 D. 5 个图 1NM CBA l智浪教育普惠英才文库25已知关于 的方程 无解，那么 的值是x01)2(xbabaA负数 B正数 C非负数 D非正数6一次函数 的图像经过点 M(1，2) ，则其图像与 轴的交点是)(ky yA （0，1） B （1，0） C （0
3、，0） D （0，1）7如图 2，在线段 AE 同侧作两个等边三角形ABC 和CDE(ACE120)，点P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，则CPM 是A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形8某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有 20 名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码 38 39 40 41 42人数 5 3 2下列说法中正确的是A这组数据的中位数是 40，众数是 39 B这组数据的中位数与众数一定相等C这组数据的平均数 P 满足 39P 40 D以上说法都不对9如图 3，A、B 是函数 图像上两点，xky点
4、 C、D、E、F 分别在坐标轴上，且与点 A、B、O构成正方形和长方形. 若正方形 OCAD 的面积为 6，则长方形 OEBF 的面积是A. 3 B. 6 C. 9 D. 1210. 某商店有 5 袋面粉，各袋重量在 2530 公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称图 3图 2ABC DEPM智浪教育普惠英才文库35070 公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A4 次 B5 次 C6 次 D. 7 次二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）11如果不等式组 无解，则 a 的取值范围是_01ax12已知 ， ，则 _ba2208b13如图 4，在菱形 ABCD 中
5、，AEBC，E 为垂足，若 cosB ，EC2，P 是 AB 边上的一个动点，则线段5PE 的长度的最小值是_14小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_15已知 、 为实数，且 ， ，设 ， ，则ab1ba1baM1baN的值等于_NM16. 如图 5，在ABC 中， ABAC ，BC 2，以 AB 为直径的O 分别交5AC、BC 两边于点 D、E，则 CDE 的面积为_17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图图 5AB CDEO图 4AB CDEP图 6
6、主视图 左视图智浪教育普惠英才文库46 所示，要摆成这样的图形，至少需用_块小正方体18. 若直线 （ 为实数）与函数 的图象至少有三个公共点，则by342xy实数 的取值范围是_b三、解答题(本大题满分 30 分，每小题 15 分)19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过 100 元的不给优惠；超过 100 元而不超过 300 时，按该次购物全额 9 折优惠；超过 300 元的其中 300 元仍按 9折优惠，超过部分按 8 折优惠.小美两次购物分别用了 94.5 元和 282.8 元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？智浪教育普惠英才文库5
7、20. 如图 7，正方形 ABCD 的边长为 1，点 F 在线段 CD 上运动，AE 平分BAF 交BC 边于点 E（1）求证： AFDF BE（2）设 DF （0 1） ，ADF 与ABE 的面积和 S 是否存在最大值？若存在，x求出此时 的值及 S. 若不存在，请说明理由图 7AB CDEF智浪教育普惠英才文库62008 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B二、11. a 1 12. 1 13. 4.8 14. 15. 0 16. 1 17. 18. 0b 127152解答提示
8、：1 当 0 时， | | . 故选 D2a2 ，解得 或 . 故选 Dm13m3. ，只要已知 AB 即可.故选ABCBACNM21A4. 分别以点 A、O、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑5. 关于 x 的方程 无解，则 . 有 或者 a、 b 异号，01)2(xba0ba0a故选 D6. 一次函数 的图像经过点 M(1，2)，则有 ，解得)(ky 21k.所以函数解析式为 .令 代入得 .故其图像与 y 轴的交点是(0，1).1k1x0y故选 A7.易得ACDBCE.所以BCE 可以看成是 ACD 绕着点 C 顺时针旋转 60而得到的.又 M 为线段 AD 中点，P 为线段 BE
9、中点，故 CP 就是 CM 绕着点 C 顺时针旋转 60而得.所以 CPCM 且，PCM60，故 CPM 是等边三角形，选 C8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是 40 时，众数必然是 40，所以 A 错误.（2）当 39 码与 40 码的人数都是 5 时，中位数与众数不等，所以 B错误.（3）假设剩余 10 人全部穿 39 码鞋，可得平均数为 39.35；假设剩余 10 人全部穿40 码鞋，可得平均数为 39.85.可以判断 C 正确.（或者设穿 39 码鞋的有 人，且由x0 10 也可得解） 故选 Cx智浪教育普惠英才文库79. ，621OCD21OCAkyxSA
10、正 方 形 ，故选 BFEB长 方 形10.拿 出 任 意 三 袋 ， 假 设 它 们 的 重 量 分 别 为 x 千 克 、 y 千 克 、 z 千 克 ， 两 两 一 称 ， 记 录 下相 应 的 重 量 ， 若 分 别 等 于 a 千 克 、 b 千 克 、 c 千 克 ， 则 有 方 程 组 容 易 求 出cxzbayx、 y、 z； 另 外 两 袋 分 别 与 已 知 重 量 的 其 中 一 袋 一 起 称 ， 即 可 求 出 其 重 量 .所 以 需 要 称 5 次 ，故 选 B11解不等式组 得 ，因为原不等式组无解，所以必有 a1 01axax112 ，又 ，则2bbab1a
11、，解得 . 故 1102082820813. 设菱形 ABCD 的边长为 x，则 ABBCx ，又 EC2，所以 BEx 2，因为 AEBC 于 E，所以在 RtABE 中，cosB ，又 cosB ，于是 ，解得 x 10，即 AB10x5454所以易求 BE8，AE 6，当 EPAB 时，PE 取得最小值故由三角形面积公式有： ABPE BEAE，求得 PE 的最小值为 4.8 2114用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果上面只画出树状图的一部分（列出 9 种结果） ，把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出 9 种结果，最后改为“锤”同样也列出 9 种结果，所以共有
12、27 种结果，故求得 P（布，布，布） 2115 ， ，1ba剪剪剪 布 锤剪布剪 布 锤锤剪 布 锤小丁小明小倩AB CDEP智浪教育普惠英才文库8 )1()(1abababMNb1 0N16. 如图，连结 AE、BD ，作 DFEC 于点 F AB 是O 的直径 ， ADBAEB90又 ABAC，CE BC1， AE222CEA ， BD ，BDACE2154 在 ABD 中，AD ， CD 53又 CDF CAE， ，可求得 DF . CDE 的面积为EF54521DFCE解法 2：如图，连结 AE、BD，DE . AB 是O 的直径 ， ADB AEB90又 ABAC， BECE1，
13、AE 22CA ， BD ，BDACB154 在 ABD 中，AD ， CD 53 S CDE SBDC 215254212C17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为 5 块18. y 24 3( 2)21， 此函数的大致图象如图所示，因些函数xxy | 2 4 3| 的图象如图所示，而当 b 取遍所有实数时，y b 表示所有与 y 轴垂直的直线，结合，易知 b 的取值范围为 0b 1 三、19因为 1000.99094.5100，3000.9270282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为 x 元，则（x 300）0.83000.9282.8
14、 解得，x 316俯视图212AB CDE FOy1O 3 xM(2,-1)图yy =11 3 xOM/(2,1)图AB CDEO智浪教育普惠英才文库9情况 1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过 300 元则小丽应付（31694.5300）0.83000.9358.4（元）情况 2： 小美第一次购物原价超过 100 元，第二次购物原价超过 300 元；则第一次购物原价为：94.50.9105（元）所以小丽应付（316105300）0.83000.9362.8（元） 20 （1）证明： 如图，延长 CB 至点 G，使得 BGDF，连结 AG. 因为 ABCD 是正方形，所以在 RtADF 和 RtABG 中，ADAB，ADF ABG90，DFBG RtADFRtABG （SAS） ，AFAG ，DAFBAG. 又 AE 是BAF 的平分线EAFBAE， DAF EAFBAGBAE 即EAD GAE ADBC， GEAEAD， GEAGAE， AGGE. 即 AGBGBE . AFDF BE，得证（2） ABEDFSABEDF21 ADAB 1， )(2由（1）知，AFDF BE， 所以 S在 Rt ADF 中，AD1，DFx ， ， 12xAF12xS由上式可知，当 x 2 达到最大值时，S 最大.而 0x 1，所以，当 x1 时，S 最大值为 12AB CDEFG
