1、惠州市 2018 届高三第二次调研考试 理科数学 一、选择题： 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1 若 21z ii (i 为虚数单位 )，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知集合 A x x a， 2 3 2 0B x x x ，若 A B B ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1a B 1a C 2a D 2a 3 设 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是 （ ） 若 ，则 与 相交； 若 则 ； 若 ml/ ， nm/ ， l ，则 ；
2、若 ml/ ， ， ，则 nl/ A 1 B 2 C 3 D 4 4 “ 不等式 在 上恒成立 ” 的一个必要不充分条件是 （ ） A B C D 5 设随机变量 服从正态分布 4,3N ，若 51P a P a ，则实数 a 等于 （ ） A 7 B 6 C 5 D 4 6 周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识， 是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻 “ ” 当作数字 “ 1” ，把阴爻 “ ” 当作数字 “ 0 ” ，则八卦所代表的数表示如下： 依次类推，则六十四卦中的 “ 屯 ” 卦，符号
3、“ ” 表示的十进制数是 （ ） A 18 B 17 C 16 D 15 7 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且9 121 62aa， 2 4a ，则数列 1nS的前 10 项和为 （ ） A 1112 B 1011 C 910 D 89 8 旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能 最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为 （ ） A 24 B 18 C 16 D 10 9 已知 A ， B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在双曲线 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120 ， 则双曲线 E 的离心率为
4、（ ） A 5 B 2 C 3 D 2 10 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 xy 最大值为 （ ） A 32 B 327 C 64 D 647 11 函数 ( ) sin (2 )f x A x ,02 A部分图像如图所示，且 ， 对不同的 ，若 ，有 ，则 （ ） nml , l l ， nlmlnm ln m n2 0x x m R41m 10 m 0m 1m0)()( bfaf baxx , 21 )()( 21 xfxf 3)( 21 xxf卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 A 在 上
5、是减函数 B 在 上是增函数 C 在 上是减函数 D 在 上是增函数 12 函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数 ， 当 0x 时 ， | 1 |21 02() 12( 2)2x xfx xfx ， 则函数 1)()( xxfxg 在 ),6 上的所有零点之和为 （ ） A 8 B 32 C 81 D 0 二填空题：本题共 4小题，每小题 5分， 共 20分 13 已知 1tan 2 ，且 3,2，则 cos2_ 14 某班共有 56 人，学号依次为 56,3,2,1 ，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知学 号为 2 ， 30 ， 44 的同学在样本中，则还有一位同学的学号
6、应为 _ 15 已知数列 na 满足 )(22,1 11 Nnaaa nnn ，则数列 na 的通项公式为 na _ 16 在四边形 ABCD 中， AB DC ，已知 8, 5AB AD， AB 与 AD 的夹角为 ，且 11cos =20 ， 3CP PD ，则 AP BP_ 三解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 2 c o s c o s c o s 0C a C c A b （ 1） 求角 C 的大小； （ 2） 若 2b ， 23c ， 求 ABC 的面积 )(xf )1
7、2,125( )(xf )12,125( )(xf )65,3( )(xf )65,3( 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60ABC， PA PB ， 2PC （ 1）求证：平面 PAB 平面 ABCD ；（ 2）若 PA PB ，求二面角 A PC D的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背 诵正确加 10 分，背诵错误减 10 分，背诵结果只有 “ 正确 ” 和 “ 错误 ” 两种。其中某班级背诵正确的概 率为 23p ，背诵错误的
8、概率为 13q ，现记 “ 该班级完成 n 首背诵后总得分为 nS ” （ 1） 求 6 20S 且 0 1, 2,3iSi 的概率； （ 2） 记 5S ，求 的分布列及数学期望 20 （本小题满分 12 分） 已知点 C 为圆 22( 1) 8xy 的圆心， P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A (1,0) 和 AP 上的点 M ，满足 0MQ AP， 2AP AM （ 1） 当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程； （ 2） 若斜率为 k 的直线 l 与圆 221xy相切，与（ 1）中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 HF, ， O 是坐标原点，且 3445O
9、F OH 时，求 k 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 223xf x e x a ， aR （ 1）若函数 y f x 的图象在 0x 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （ 2）若 0x ， 0fx 恒成立，求 a 的取值范围 选考题：共 10分。 请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 （ 本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 2 cos:3 sinxCy（ 为参数）和定点 (0, 3)A ， 1F 、 2F 是此曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）
10、求直线 2AF 的极坐标方程； （ 2）经过点 1F 且与直线 2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于 M 、 N 两点，求 11| | | |MF NF 的值 23 （本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | 1 |f x m x x （ 1） 当 时，求不等式 的解集； （ 2） 若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围 5m ( ) 2fx2 23y x x y f x m惠州市 2018 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案 一、选择题： （每小题 5 分，共 60 分） 1【解析】由题意知 1 2 3z i i i ，其对应点的坐
11、标为 3,1 ，在第一象限 2【解析】 集合 2 3 2 0 1 2B x x x x x ，由 A B B 可得 BA ， 2a. 3【解析】 错， 正确 . 4【解析】 “不等式 在 上恒成立 ” 0 即 1 4 0m， 14m， 同时要满足 “必要不充分 ”，在选项中只有 “ ”符合 . 5【解析】 由随机变量 服从正态分布 4,3N 可得对称轴为 4x ，又 5Pa 1Pa ， 5xa 与 1xa关于 4x 对称， 5 1 8aa ， 即 6a . 6【解析】 由题意类推，可知六十四卦中的 “屯 ”卦符合 “ ”表示二进制数的 010001， 转化为十进制数的计算为 0 1 2 3 4
12、 51 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 7 7【解析】由9 121 62aa及等差数列通项公式得 1 5 12ad，又 2 4a ， 1 2a， 2d ，2nS n n ， 1 1 1 111nS n n n n ， 1 2 1 01 1 1 1 1 1 1 1=1 2 2 3 1 0 1 1S S S 1 01 11 11 8【解析】第 1 种：甲在最后一个体验，则有 33A 种方法；第 2 种：甲不在最后体验，则有 1222CA 种方法，所以小明共有 3 1 23 2 2 10A C A . 9【解析】设双曲线方程为 2222 1 0 , 0xy abab ，不妨设点 M在
13、第一象限，所以 2AB BM a，120MBA，作 MH x 轴于点 H ，则 60MBH，故 BH a ， 3MH a ，所以 2 , 3M a a ，将点 M 代入双曲线方程 221xyab，得 ab ，所以 2e . 10【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥 P ABC(如图所示 )， 其中底面 ABC 是直角三角形， AB BC ， PA 面 ABC， 27BC ， 2 2 210PA y， 2 2227 PA x，因此 2222 2 2 1281 0 2 7 1 2 8 6 42xxx y x x x x ， 当且仅当 22128xx，即 8x 时取等号，因此 xy 的最大值是 64
14、. 11【解析】由题意 22T ， 2A ， 2ba ，又 ，有 ， 12 3s in 2 2xx ，即 12 22 3xx ，且 12si n 2 12xx ，即2 0x x m R0m)()( 21 xfxf 3)( 21 xxf题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C C B B B D D C B A 122 22xx ，解得 3 ， 2 sin 2 3f x x ， 2 2 2 ,2 3 2k x k k Z ， y f x 单调递增 .解得5 ,1 2 1 2k x k k Z .所以选项 B 符合 . 12【解析】令 ( ) ( ) 1 0g
15、x xf x ，所以求 y g x 的零点之和 y f x 和 1y x 的交点横坐标之和，分别作出 0x 时， y f x 和 1y x 图象，如图 由于 y f x 和 1y x 都关于原点对称，因此 6,6x 的零点之和为 0，而当 8x 时， 18fx ，即两函数刚好有 1 个交点，而当 8,x 时 1y x 的图象都在 y f x 的上方，因此零点之和为 8. 二填空题：本题共 4小题，每小题 5分。 13 55 14. 16 15. 12nn 16. 2 13【解析】 55 ； c o s si n2，由 3,2且 1tan 2 可得 5sin 5 . 14【解析】 由题意得，需要
16、从 56 人中分成 4 组，每组的第 2 位学号为抽出的同学，所以有 1 14 2 16 . 15【解析】 由 1 22nnnaa 两边同除 12n 可得 11 12 2 2nnaa ，又 1 122a ，2nna成以 12 为首，公差为 12 的等差数列， 1112 2 2 2nna nn ， 12nnan . 16 【解 析】 3CP PD ， 14AP AD AB ， 34P AD AB ，又 8AB ， 5AD21 3 14 4 2A P B P A D A B A D A B A D A D A B 2316AB ，代入式子可得2AP BP 三解答题：共 70分，解答应写出文字说明，
17、证明过程或演算步骤。 17.解：（ 1） 2 c o s c o s c o s 0C a C c A b ， 由正弦定理可得 2 c o s si n c o s si n c o s si n 0C A C C A B 2 分 2 c o s sin sin 0C A C B ，即 2 c o s s in s in 0C B B 又 0 180B ， sin 0B， 1cos 2C ，即 120C . 6 分 （ 2）由余弦定理可得 2 2 2 22 3 2 2 2 c o s 1 2 0 2 4a a a a ， 9 分 又 0a ， 2a ， 1 s in 32ABCS a b C
18、， ABC 的面积为 3 .12 分 18.解：（ 1）取 AB 中点 O ，连接 AC 、 CO 、 PO ， 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， 2AB BC 60ABC， ABC 是等边三角形 CO AB ， 3OC 2 分 PA PB ， 1 12PO AB 2PC ， 2 2 2OP OC PC CO PO 4 分 AB PO O ， CO 平面 PAB CO 平面 ABCD ， 平面 PAB 平面 ABCD 5 分 （ 2） 2 2 2 2 2 21 1 ( 2 )O P O A P A ， PO AO 由（ 1）知，平面 PAB 平面 ABCD ， PO 平面 ABCD ，
19、 直线 ,OC OB OP 两两垂直以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz ，如图， 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 3 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 )O A B C D P ( 0 , 1 , 1 ) , ( 3 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 0 )A P P C D C 6 分 设平面 APC 的法向量为 ( , , )x y zm ， 由 00APPC mm，得 030yzxz，取 1x ，得 (1, 3, 3)m ， 8 分 设平面 PCD 的法向
20、量为 ( , , )x y zn ，由 00PCDC nn，得 3020xzy ， 取 1x ，得 (1,0, 3)n ， 10 分 27c os ,7 mnmn mn，由图可知二面角 A PC D为锐二面角， 二面角 A PC D的的余弦值为 277 12 分 19.解：（ ）当 6 20S 时，即背诵 6 首后，正确个数为 4 首，错误 2 首； 由 0 1, 2,3iSi 可得： 若第一首和第二首背诵正确，则其余 4 首可任意背诵对 2 首； 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余 3 首可任意背诵对 2 首， 此时的概率为： 2 2 2 222432 2 1 2 1 2
21、2 1 1 63 3 3 3 3 3 3 3 8 1p C C ； 4 分 （ ） 5S 的取值为 10， 30， 50，又 23p ， 13q ， 3 2 2 332552 1 2 1 4 010 3 3 3 3 8 1p C C ， 6 分 4 1 1 441552 1 2 1 3 030 3 3 3 3 8 1p C C ， 8 分 5 0 0 550552 1 2 1 1 150 3 3 3 3 8 1p C C 10 分 10 30 50 O yxzBCDAP 的分布列为： 4 0 3 0 1 1 1 8 5 01 0 3 0 5 08 1 8 1 8 1 8 1E 12 分 20.
22、解：（ 1）由题意知 MQ 中线段 AP 的垂直平分线，所以 2 2 2C P Q C Q P Q C Q A C A 所以点 Q 的轨迹是以点 C ， A 为焦点，焦距为 2，长轴为 22的椭圆， 2 分 2a ， 1c ， 221b a c 3 分 故点 Q 的轨迹方程是 2 2 12x y 4 分 （ 2）设直线 :l y kx b， 1 1 2 2, , ,F x y H x y 直线 l 与圆 221xy相切 222 111b bkk 联立 2 2 12x yy kx b 2 2 21 2 4 2 2 0k x k bx b 6 分 2 2 2 2 2 2 216 4 1 2 2 1
23、 8 ( 2 1 ) 8 0k b k b k b k 0k 7 分 21 2 1 2224 2 2,1 2 1 2k b bx x x xkk 8 分 221 2 1 2 1 2 1 21 ( )O F O H x x y y k x x k b x x b 9 分 22 222(1 ) ( 2 2 ) ( 4 )1 2 1 2k b k bk b bkk 2 2 2 2 222(1 ) 2 4 ( 1 ) 11 2 1 2k k k k kkk 22112kk 10 分 所以 223 1 44 1 2 5kk 21132k 3 2 2 3 3 23 2 2 3 3 2k k k 或为所求
24、. 12 分 21.解：（ 1） 2 xf x e x a ， y f x 的图象在 0x 处的切线与 x 轴平行， 即在 0x 处的切线的斜率为 0，即 0 2 1 0fa ， 1a 4 分 （ 2） f(x) 2(ex x a)，又令 h(x) 2(ex x a)，则 h(x) 2(ex 1)0， h(x)在 0， )上单调递增，且 h(0) 2(a 1) 5 分 当 a 1 时， f(x)0恒成立，即函数 f(x)在 0， )上单调递增， 从而必须满足 f(0) 5 a20，解得 5a 5，又 a 1， 1a 5. 8 分 当 a0，使 h(x0) 0 且 x (0， x0)时， h(x
25、)0，即 f(x)0，即 f(x)单调递增 f(x)min f(x0) 2ex0 (x0 a)2 30， 又 h(x0) 2(ex0 x0 a) 0，从而 2 ex0 (ex0)2 30, 解得 0x0ln 3. p 4081 3081 1181 由 ex0 x0 aa x0 ex0，令 M(x) x ex， 0xln 3， 则 M(x) 1 ex0， M(x)在 (0， ln 3上单调递减， 则 M(x)M(ln 3) ln 3 3，又 M(x)M(0) 1， 故 ln 3 3a 1. 11 分 综上， ln 3 3a 5. 12 分 （二）选考题：共 10分。 请考生在第 22、 23题中
26、任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 （ 22） 解：（ 1）曲线 C： 2cos3sinxy可化为 22 143yx ，其轨迹为椭圆， 焦点为 1 1,0F 和 2 1,0F 2 分 经过 0, 3A 和 2 1,0F 的直线方程为 13yx，即 3 3 0xy ， 4 分 极坐标方程为 3 c o s s in 3 . 5 分 （ 2）由（ 1）知，直线 AF2 的斜率为 3 ，因为 l AF2，所以 l 的斜率为 33 ，倾斜角为 30，所以 l的参数方程为31212xtyt （ t 为参数）， 6 分 代入椭圆 C 的方程中，得 21 3
27、1 2 3 3 6 0tt 8 分 因为 M， N 在点 F1 的两侧，所以1 1 1 2 1 2 3| | | | 13M F NF t t 10 分 23.解：（ 1）当 时， 5 2 1( ) 3 1 15 2 1xxf x xxx ， 3 分 由 得不等式的解集为 3322xx . 5 分 （ 2）由二次函数 ，该函数在 取得最小值 2， 因为 21( ) 2 1 121m x xf x m xm x x ，在 处取得最大值 ， 8 分 所以要使二次函数 与函数 的图象恒有公共点， 只需 ，即 . 10 分 5m( ) 2fx222 3 ( 1 ) 2y x x x 1x1x 2m2 23y x x ()y f x22m 4m
