1、 化工数学各章习题选解 （仅供参考） 第一章习题 1. （ ） 在一个有效容积为 V 的半连续式搅拌反应器中，由原料生产物质，若浓度为 c0 流量为 Q 的溶液加入空反应器，反应遵循以下连串 -可逆步骤 CBA kkk 321 且所有的反应均为一级，证明在反应器中的克分子数 NB 是以下微分方程的解 CRNdtdNPdtNd BBB 22 式中 1031321kQcCkkRkkkP 证明 ： 对 A、 B 分别作质量衡算，有 A： )1(210 dtdNNkNkQc ABA B： )2(321 dtdNNkNkNk BBBA 由（ 2）得到： 1 0 2 ( 3 )AAB dNk N c Q
2、k N dt （ 3）代入（ 2），得： 21 0 1 3 1 2 3 2( ) ( 4)BBB d N d Nk c Q k k N k k k d t d t 令 1 2 3 1 3 0,P k k k R k k C c Q 得 22 ( 5 )BB Bd N d NP R N Cd t d t 证毕。 2. 冬天的池塘水面上结了一层厚度为 l 的冰层，冰层上方与温度为 Tw 的空气接触，下方与温度为 0的池水接触。当 Tw 0时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为 Lf，冰的密度为，导热系数为 k，导温系数为，求： 1) 当气温 Tw
3、 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若 Lf 3.35 105J/kg， 913kg/m3， k 2.22W/m K， Tw 10，问冰冻三尺，需几日之寒？ 2）当气温随时间变化时，设 Tw Tw (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。 解： (1) 冰层的温度为 0，水通过冰层向空气散发热量，记为 Q，该热量用于水结成冰。假设冰层面积 为 s，厚度为 l 根据导热方程，可得： s d lLdtlsTkQ fw )0( 代入数值， Lf 3.35 105J/kg， 913kg/m3， k 2.22W/m K， Tw 10， l 1m， 求解积分上式得： 100 5 11035
4、.3913 2.22 dtdttt 79.7 天 80 天 若冰冻三尺，在 Tw 10时，需要约 80 天。 (2) 若 Tw Tw (t)，冰层厚度为 l 根据热量守恒： s d lLdtlsTkQ fw )0( dtkTldlL wf 两边积分： dtkTld lL t wl f 00 tf T wd tklL 025.0 厚度变化与 Tw 的关系为： t wf dtTL kl 02 3. （ ） 在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应，反应速率常数由 Arrhenius 关系式给出，反应热由釜内的冷却盘管移出，请自行设定有关的参数，导出该反应器的数学模型。 解： 设物料以恒定的
5、体积流量 F 加入，则反应器中反应物浓度 CA 与温度 T 由以下物料衡算与热量衡算方程给出 1 物料衡算方程 000()(1 )e x p ( )AAAAd V CF C V rdtr k CV V F tEkkRT 2 能量衡算方程 0 ()( ) ( ) ( 2 )pp c A r d C T VF C T K T T A k C V H dt 1 2 合并，得数学模型为 00000()()( ) ( )( 3 )e x p ( )( 0 ) 0 , ( 0 )AApp c A rAd V Ck V C F Cdtd C TVF C T K T T A k C V HdtV V F tE
6、kkRTc T T 式中 K(T Tc)A 为冷却移热， kCAV(- Hr)为反应热。 4 （ ）采用微元分析法推导出柱坐标系中的不定常热传导方程。 解： 考虑柱坐标系中热传导 方程的形式。柱坐标系下的三个空间变量：向径 r，经度角 ，高度 z。在这三个方向上，与自变量的微分变化所对应的线段微元长度分别是 ( , , ) d d r r d d z （4）r 由偏导数的定义，温度梯度 T 在三个方向的分量即温度在每个方向上的微元增量除以相应的线元长度，即 ( , , ) TTTT r r Z （ 5 ） 于是 Fourier 热传导定律在柱坐标系中的分量形式为 , , - ( , , ) r
7、z TTTq q q k r r Z （ ） （ 6 ） 接着考虑各方向输入和输出的微元通量，首先考虑 r 方向 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tk rd d zrTTk rd d z k r d rd d zr r r 输 入 项 ： （ 7 ）输 出 项 ： （ 8 ）于是 r 方向的净输入通量为： ()Tk r drd dzrr （ 9） 对 方向作同样的分析， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tk dr dzrTTk dr dz k drd dzrrTk drd dzr 输 入 项 ： （ 10 ）输 出 项 ： （ 11 ）净 输 入 通 量 ： （ 12
8、）z 方向的分析，( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tk rd drzTTk rd dr k r drd dzz z zTk r drd dzzz 输 入 项 ： （ 13 ）输 出 项 ： （ 14 ）净 输 入 通 量 ： （ 15 ）微元体内的积累项： ()p TC dr rd dzt（ 16） 将三个方向输入微元的热流净增量加和并令其等于积累项，就得 到 222 2 211 ( ) T T T Trt r r r r z （ 17） 5. 风吹过皮肤表面时，人会有干燥凉爽的感觉，这是因为风的吹拂强化皮肤表面的对流传热与传质，形成一个速度，温度，浓度（含水量）的边界层，设流
9、动为层流（微风），考虑出汗的蒸发潜热，求： 1）列出皮肤表面的三传问题的边界层方程，根据实际情况适当简化并给出问题的边界条件； 2）将上述问题无量纲化，并解释所得到的各无量纲参数的物理意义； 3）试分析速度分布，温度分布，含水量分布分别与哪些无量纲参数有关，并用简单的函数关系 示意； 4）根据所得结果定性的解释一些经验常识：为什么风越大越感觉到冷？为什么出汗后擦了汗感觉更凉快？当空气中湿度变化时，对表面散热会带来哪些影响？在冬天和夏天，人体对空气湿度的增加会有什么样的感觉？ 解： 1）同时考虑流动传热传质时的边界层传递方程是 2222pi 22ii 2( ( ) ( )TTC ( k ( )
10、H ryycc(Dyyxxiu u p uu g T T g C Cx y x yTuuxycux i) -) ) xg 表示重力在 x 方向的分量， 为热膨胀系数， 为 密度变化系数 H 水汽化潜热 ir 水蒸发速度 由于 px 可忽略， 0xg ， 2()uy可忽略， 化简后 222pi22ii 2(TTC ( k H ryycc(Dyyiu u uux y yTuxcux i) ) ) 边界条件 y 0， u 0（皮肤表面气流速度） T T0（皮肤表面温度） c c0（皮肤表面的含水量） y 1 u u（速度边界层外气流速度） y 2 T T（温度边界层外气流温度） y 3 c c（浓度
11、边界层外气流中含水量浓度） 1， 2， 3 分别为速度边界层，温度边界层，浓度边界层的厚度。 2）无量纲化 0000xTcuuTTTTcccc无量纲物理性质的比值 1PrvTciScD 无量纲化后 222T T i2pp2cci2Hrky C y CDyyv v vvvvTTTTcccux y v yuxTuxc 边界条件 在 0, 0,1yy 对于较大的 Pr 或 Sc，热传导与扩散效应与黏性比较相对较弱，热边界层和扩散边界层位于速度边界层内部，反之，对于较小的 Pr 或 Sc，热传导与扩散速率大于黏性传递速率，热和扩散边界层就有可能扩展到速度边界层之外。 3）速度分布，温度分布，含水量分布
12、的简单函数关系式 000000( 1 )1 ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )xxTTTcccuuuuTTTTTTcccccc 4）风越大，皮肤表面的气体更新速度越快，水的蒸发速度变快，传热越快，感觉到冷 出汗后感觉更凉快，是因为减小了汗水层的厚度，蒸发速度加快 当空气中湿度变大时，皮肤表面水的蒸发速度变慢，不利于传热 夏天空气湿度增 加，汗水蒸发困难，人感觉闷热 冬天空气湿度增加，少量的汗水在皮肤表面使人感觉温暖。 6（ ）在管式反应器模型（ 1.4.15）中，当 Pe0 时，相当于完全返混的情况。试从方程（ 4.15）出发，通过适当的
13、体积积分和取极限 Pe0，导出均相釜式反应器模型。 解： 当 Pe0 时，由原方程（ 4.15）及边界条件可知， c=const，说明在完全返混的情况下，反应器内具有均匀的浓度。对于任意的 Peclet 数，对方程 4.15 进行体积积分 得到21 1 1 120 0 0 0110011c c cd z D a c d z d z d zP e z zccD a c cP e z （ 31） 式中 c 为反应器内的平均浓度。 将边界条件（ 4.15）代入（ 31），得到 1 10 c 0zdc D a c cd =， (0)=（ 32） 上式对任意 Peclet 数均成立，仅当 Pe0 时，反
14、应器内浓度均匀， 1c zc ，上式成为无量纲的理想混合釜式反应器数学模型。 7. （ ） 烯烃在 Zieglar Natta 催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述，如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒（图中阴影部分）表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部，外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求： （ i）证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述 221 ()MMDrt r r r RrsW rMDMdtdR |式中为单体浓度 (mol/m3)， s 为聚合物壳层的密度 (kg/m3), 为单体在壳
15、层中的扩散系数(m2/s), M 为单体的分子量， R 为聚合物颗粒的半径。 （ ii）设催化剂核半径为 rc，单体在外部气相本体中的浓度为 ，以上述参量为 r 和 M 的特征尺度，并引入适当的时间尺度，将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别 ( s/ g 103)将问题进一步简化。 （ iii）设单体在催化剂核表面的浓度恒为 0（瞬时反应）， R 的初始值为 R0(R0 rc)，求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径 R 随时间的变化关系。 提示：对单体的浓度分布可采用拟稳态假定。 解： 为简化计算，令单体分子量 Mw 的单位是 kg （ 1） 问题建模 如图
16、1 所示，对微元 dr 作物料衡算 2( ) ( ) 0(18 ),4M A dr A J drtrMJ D A rr 得 221 ( ) (1 9 )MMDrt r r r 如图 2.对微元 dR 作物料衡算 2 24 4 ( 2 0 )sw rRR d R MR M Dd t r 得 ( 2 1 )wrRsMDd R Md t r Rrr d r+RR d R+图 1 图 2 （ 2） 无量纲化与简化 分析：本问题存在着两个特征时间尺度，一个是单体组分内扩散通过聚合物壳层的时间尺度21 crD，该尺度可以从内扩散方程（ 19）中得出，为此，近似取1M 代替 Mt ， M/r 代替 Mr ，
17、M/r2 代替 22Mr，就可估算出 21 crD；另一个是聚合物颗粒生长的特征时间尺度 2，可以从方程（ 20）中用类似的比值代替微分的办法估算出2 1 1sg 。在对问题进行无量纲化时，不同时间尺度的选择代表着所关注的不同过程。 1 如果选取 21 crD为时间尺度，式（ 20）和（ 21）可分别无量纲化为（仍然 用当前变量表示无量纲变量）： 221 ( ) ( 2 2 )( 2 3 )cRrrMMrt r r rd R Md t r ,1gg B w sMM 此时式（ 23）中出现一个小参数 。时间尺度 1 称为快时间尺度，选择这一尺度所得到的方程（ 22）中不含有小参数 ， 表示我们关
18、注的是单体 M 通过聚合物壳层的不定常扩散而不是粒子的生长。略去（ 23）中的小参数项后得到 R const ，说明在考虑单体内扩散时，由于时间较短，可以将粒子半径作为常数考虑。 因此，选择 1 为时间尺度显然不妥，得到的不是我们希望关注的问题。 2 如果选取 22 csgrD 为时间尺度，（ 20）、（ 21）式可无量纲化为： 221 ( ) ( 2 5 )( 2 6 )cRrrMMrt r r rd R Md t r 此时粒子生长方程（ 26）不含小参数，粒径将随时间变化，表示我们关注的是颗粒的生长。而单体内扩散方程（ 25）中的时间导数项含小参数 ， 可以略去，说明在慢时间尺度 2 上考
19、虑粒子生长时，单体的内扩散过程可以忽略时间变化项，内扩散可以作为拟稳态过程来考虑。 从 1 和 2 中得到的不同简 化模型说明时间尺度的选择需要根据建模目的来考虑，使简化后的模型能够代表所关注的过程的主要特征。 （ 3）对单体的浓度分布作拟稳态（时间导数项为零）假设，即（ 25）中的 0Mt ，得 221 ( ) 01, 0 ( 2 7 ),1cMrr r rrMRrMr 解得 1(1 ) ( 2 8 )cRM r R r 代入（ 26），得 20() ( 29 )( 0)cccrdRdt R R rRRr 解得 2 3 23 2 0032 303 2 3 2c c ccR r R RR rt
20、 rr 8. 在缺乏数学模型的某些情况下， 仅仅根据量纲分析或尺度比较也可以获得一些很有价值的结果，考虑以下例子： 1） 对于固体颗粒在黏性流体中的 Stock 流动问题，颗粒受到的阻力 f 仅仅与颗粒尺度 d，动力学粘度和速度有关，即 f f（ d，） 根据量纲齐次化的要求，物理方程等式两边的量纲应该相同，而有参数 d，组成的具有离地量纲的参量只可能是 d，因此上述函数关系只可能取一下形式， f Ad 式中 A 是一个只与颗粒形状有关的常数，上式即为 Stock 定律。 现根据上述量纲分析方法分析湍流的消磁度运动。湍流中存在一系列大小不同的涡旋，能量从大尺度涡旋顺序传递给消磁度涡旋，同时将机
21、械能耗散为热能，其中最小的涡旋尺度称为Kolmogorov 尺度，在这个尺度上，黏性和能量耗散占优，因此只有运动学粘度 v (m2/s)和能量耗散速率 (W/Kg）两个产量起作用，其他物理量都可以用这两个量表示。试根据量纲齐次化原理推导出 Kolmogorov 尺度及局部速度 与 v，的关系（可相差一个常数） 2）流体在自由空间中的射流形成一个夹角为的圆锥型区域，如图所示，设 U U（ x）为距喷口 x 处的平均流速， R R（ x）为 x 处的射流半径，试根据总动量 22UR 沿 x 方向守恒的要求确定速度 U 和射流区总流量 2URQ 沿 x 的变化关系（可相差一个常数） 3）对于放热反应
22、，当反应器尺寸增大时，其体积按长度的三次方增长，而表面积却按平方增长，因此体积增大有利于热量的增加，而体积减小有利于冷却散热。这是化学工程中说明“放大效应”的一个典型例子。根据类似的道理解释为什么生活在寒冷地区的动物一般体型较大（例如北方人就比南方人高大），而且形状趋于圆滑，而热带地区的动物体型较小且趋于瘦长（例如南方人比 北方人相对较瘦，且身体凸出部分的轮廓更为明显）。 解： 1）分析：题中出现的符号意义如下 Kolmogorov 尺度 m 能量耗散速率 W/Kg 运动学粘度 v m2/s 局部速度 m/s 从 f Ad可知 f 量纲与 d相同， 又的量纲 W/Kg 与 fV的量纲相同 （ f 力 N，速度 m/s，密度 Kg/m3， V 体积 m3） 可知 V 与 3 量纲相同， f 与 v 量纲相同，与 量纲相同， 带入 fV中 3= v 22v 2）分析： 总动量 22UR 沿 x 方向守恒，设 22UR C（ C 为常数）。 又 R tg x ，将 R 带入总动量表达式中， 习题 8：湍动射流
