1、圆周率的性质摘要：圆周率 带着它的奥秘从书本的公式中走出，向已经习惯了“ =3.14”的我们展示它的神奇魅力与强大的功能，例如看似无限不循环的 值中蕴藏的规律、计算机技术发展的强大助推力。本文主要介绍圆周率 性质，以此来带领大家一步步揭开 的面纱，感受它的魅力。 关键字：圆周率 性质 值 1、 是无理数 无理数最早是由古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯（约公元前 5世纪）发现的。他发现边长为 1的正方形的对角线（ ）不是有理数，即不能用任何两个整数的比表示，是无限不循环小数。当时叫“没有比”或“不能表达” ，后来叫“不可通约量” 。 而对 的无理性的证明是由德国数学家 Lambert在 18世纪给
2、出的。1794年，法国数学家 Legendre（17521833）在巴黎出版了初等几何一书。此书对 Lambert的不严格证明予以补证，从而给出了 和 是无理数的严格证明。 以下，是用反证法比较简洁地证明 是无理数。 假设 是有理数，令 ，其中 均是整数且 。对于任意自然数 ，构造多项式 。 现令 ，即 ，则 显然是一个 次整系数多项式，它的最低次项为 ；又有 ，其中 和 分别表示 和 的 阶导数。 对 求 阶导，当 时， ，即 ；当 时， 为整数，即 为整数，此时 必为整数。因此，对任意 ， 总是整数。 又因 ，不难看出 ，可知 ，从而 ，因此， 也总是整数。 从 出发，再构造一个多项式：
3、， 不难看出 。因为 在 和 时均为整数值，所以 和 也都是整数。 现在有 ，所以，根据微积分基本定理， 也是一个整数。 但在另一方面，对于 ，有不等式 。 显然当 时， 。所以当一开始就把 取得充分大，使得 ， 则得相应的积分值 ，说明 不是整数，这与（3）矛盾。 因此， 是一个无理数。 2、 是超越数 Legendre 在证明 是无理数的同时，提出 可能不是有理系数方程的根的猜测，这是 是超越数14的最早猜测。 1873 年，法国数学家 Hermite证明了自然对数的底 是超越数。1882年，Lindemann 在连续函数的意义下，借助于 Euler著名公式 ，终于证明了 是超越数。188
4、5 年，Lindemann 的证明被德国数学家 Weierstrass化简；1893 年又被德国数学家 Hilbert化得更简；最后被德国数学家Gordan和美国数学家 Hurwicz化为初等证明。 以下，是用 Lindemann-Weierstrass 定理15对 是超越数的简单证明。 Lindemann-Weierstrass 定理 设 是一个非零的代数数，那么 在有理数范围内是一个线性独立的集合。因此根据 Lindemann-Weierstrass 定理， 是一个代数独立的集合，也就是说 是超越数。特别地， 是超越数。 另外，如果 是一个非零的代数数，那么 就是一个不同代数数的集合。因此
5、根据 Lindemann-Weierstrass定理，集合 在代数数范围内是线性独立的。特别地， 不是代数数，而是一个超越数。 现在证明 是超越数： 假设 是代数数，则 是代数数，那么根据 Lindemann-Weierstrass定理， 是超越数，这与 1是代数数的事实矛盾。因此 是超越数。 至此，对 是超越数的认识大致完成。 3、 值背后的统计规律 一个实数在它的小数展开式中，所有 10种数字（指0，1，2，9）以相等的概率出现时，被称为是“简单正态”的；如果所有同样长的数字块以相等的概率出现时，被称为是“正态的” 。 “简单正态”又称为“单纯正态”或“简单正规” 。 “正态”又称为“正则
6、”或“正规” 。分别具备以上性质的数被称为“简单正态数”和“正态数” 。这些概念由法国数学家波莱尔提出。 “正态的”也可以解释成任意长为 的一串数字出现的平均概率为 。 3.1 与简单正态数 1973 年，法国女数学家吉劳德和芳旦娜小姐一起，对 的前 100万位值做了统计，如下表 3-1，发现最大的相对偏差率发生在数字“6”上，但也仅仅为 0.452%，即不到 1/200，这就使人们有理由相信， 是简单正态数1。 表 3-1 100万位 值中各数出现的（频率）偏差（ 实际出现的次数）数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 偏差 -41 -242 +26 +229 +230 +359 -4
7、52 -200 -15 +106 说明：相对偏差=（频率）偏差/ 此外，表 3-2给出 小数点后 2000亿位中各数出现的次数。从表 4-2中可以看出，各数出现的频率偏差很小，其中偏差最大的数“8”的相对频率偏差也不到 0.0015%。 表 3-2 2000亿位 小数值中各数出现的次数 数字 该数字出现的次数 数字 该数字出现的次数 0 20 000 030 841 5 19 999 917 053 1 19 999 914 711 6 19 999 881 515 2 20 000 136 978 7 19 999 967 594 3 20 000 069 393 8 20 000 291 014 4 19 999 921 691 9 19 999 869 180 有人将 的前 126位值做成图 3-1，并且在数 4与 5之间画一条线，则可以看到该线上下的点大致一样多。这说明 04 这 5个数和 59 这5个数出现的概率大致相同。 图 3-1 的前 126位值域分布1 然而 是不是简单正态数，这至今仍然 下转第 131页
