1、 概率论与数理统计及其应用习题解答 1 第 1 章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （ 1） 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 （ 2） 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 （ 3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （ 4） 抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。 解 ：（ 1） 7,6,5,4,3,2S ；（ 2） ,4,3,2 S ；（ 3） , TTTHTTHTHHS ；（ 4） 6,5,4,3,2,1, TTTTTTHTHHS
2、 。 2，设 BA, 是两个事件，已知 ,125.0)(,5.0)(,25.0)( ABPBPAP ，求)(),(),(),( _ ABBAPABPBAPBAP 。 解 ： 625.0)()()()( ABPBPAPBAP ， 3 7 5.0)()()()( ABPBPBASPBAP ， 8 7 5.0)(1)( _ ABPABP ， 5.0)(625.0)()()()( _ ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在 100， 101， ， 999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。 概率论与数理统计及其应用习题解答 2 解 ： 在 100，
3、101， ， 999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3位数的个数为 648998 ，所以所求得概率为 72.0900648 4，在仅由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（ 1）求该数是奇数的概率；（ 2）求该数大于 330 的概率。 解 ：仅由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有 100455 个。（ 1）该数是奇数的可能个数为48344 个，所以出现奇数的概率为 48.010048 （ 2）该数大于 330 的可能个数为 48454542 ，所以该数大于330 的
4、概率为 48.010048 5，袋中有 5 只白球， 4 只红球， 3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率。 （ 1） 4 只中恰有 2 只白球， 1 只红球， 1 只黑球。 （ 2） 4 只中至少有 2 只红球。 （ 3） 4 只中没有白球。 解 : （ 1）所求概率为338412131425 C CCC； 概率论与数理统计及其应用习题解答 3 （ 2） 所求概率为1 6 5674 9 52 0 14124418342824 C CCCCC； （ 3）所求概率为16574953541247 CC。 6，一公司向 M 个销售点分发 )( Mnn 张提货单，设每张提货单分发给每一销售点
5、是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的概率。 解 ：根据题意， )( Mnn 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法有 nM 种，某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的可能分法有knkn MC )1( 种，所以某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的概率为nknkn MMC )1( 。 7，将 3 只球（ 13 号）随机地放入 3 只盒子（ 13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （ 1）求 3 只 球至少有 1 只配对的概率。 （ 2）求没有配对的概率。 解 ：根据题意，将 3 只球随
6、机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！ =6种： 123， 132， 213， 231， 312， 321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312， 231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以 （ 2）没有配对的概率为 3162 ； （ 1）至少有 1 只配对的概率为 32311 。 概率论与数理统计及其应用习题解答 4 8，（ 1）设 ,1.0)(,3.0)(,5.0)( ABPBPAP ，求 )|(),|(),|( BAAPABPBAP , )|(),|( ABAPBAABP . （ 2）袋中有 6 只白球， 5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并
7、放入 1 只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解 ：（ 1）由题意可得 7.0)()()()( ABPBPAPBAP ，所以 313.0 1.0)( )()|( BP ABPBAP， 515.0 1.0)( )()|( AP ABPABP， 75)( )()( )()|( BAP APBAP BAAPBAAP， 71)( )()( )()|( BAP ABPBAP BAABPBAABP， 1)( )()( )()|( ABP ABPABP ABAPABAP 。 （ 2）设 )4,3,2,1( iAi 表示“第 i 次取到
8、白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为 4321 AAAA ，它的概率为（根据乘法公式） )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 0408.020592840124135127116 。 9，一只盒子装有 2 只白球， 2 只红球，在盒中取球两 次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。 解 ：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 A ，“另一只概率论与数理统计及其应用习题解答 5 也是红球”记为事件 B 。则事件 A
9、的概率为 65314232422)( AP （先红后白，先白后红，先红后红） 所求概率为 51653142)()()|( APABPABP 10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他 的病人中有 5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以 A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以 B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。 （ 1） )(),( BPAP ；（ 2） )|( ABP ；（ 3） )|( ABP ；（ 4） )|( BAP ；（ 5
10、） )|( BAP 。 解 ：（ 1）根据题意可得 %50%45%5)()()( BAPABPAP ； %15%10%5)()()( ABPBAPBP ； （ 2）根据条件概率公式： 1.0%50 %5)( )()|( AP ABPABP； （ 3） 2.0%501 %10)( )()|( AP ABPABP； （ 4）179%151 %45)( )()|( BP BAPBAP； （ 5）31%15 %5)( )()|( BP ABPBAP。 概率论与数理统计及其应用习题解答 6 11，在 11 张卡片上分别 写上 engineering 这 11 个字母，从中任意连抽6 张，求依次排列结果为
11、 ginger 的概率。 解 ：根据题意，这 11 个字母中共有 2个 g， 2 个 i， 3 个 n， 3 个 e， 1个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中抽出 2 个 i中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽取的概率。最后要求的概率为 9 2 4 013 3 2 6 4 03661738193102112 ；或者 9 2 4 01611 111311131212 A CCCCCC 。 12，据统计，对于某一种疾病的 两种症状：症状 A、症状 B，有 20%的人
12、只有症状 A，有 30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （ 1）该人两种症状都没有的概率； （ 2）该人至少有一种症状的概率； （ 3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。 解 ：（ 1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为 %40%10%30%201 ； （ 2）至少有一种症状的概率为 %60%401 ； （ 3）已知该人有症状 B，表明 该人属于由只有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率为 30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B 的条件
13、下该人有两种症状的概率为 41%10%30 %10 。 概率论与数理统计及其应用习题解答 7 13，一在线计算机系统，有 4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。 通讯线 通讯量的份额 无误差的讯息的份额 1 0.4 0.9998 2 0.3 0.9999 3 0.1 0.9997 4 0.2 0.9996 解 ：设“讯号通过通讯线 i 进入计算机系统”记为事件 )4,3,2,1( iAi ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件 B 。则根据全概率公式有 9 9 9 6.02.09 9 9 7.01.09 9 9 9.03.09 9 9 8.04.0)|()()
14、( 4 1 i ii ABPAPBP =0.99978 14，一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概 率。 解 ：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件 A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件 B 。根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()( BAPBPBAPBPAP ， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 %06.17%1.121 %)
15、851%(10)(1 )|()()( )()|( AP BAPBPAP ABPABP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%. 概率论与数理统计及其应用习题解答 8 15，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为多少？ 解 ：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 M ，“程序在 A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件 321 , NNN 。则根据全概率公式有
16、 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()( 31 i ii NMPNPMP， 根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为 24.00 2 5.0 01.06.0)( )|()()|( 111 MP NMPNPMNP ， 60.0025.0 05.03.0)( )|()()|( 222 MP NMPNPMNP ， 16.0025.0 04.01.0)( )|()()|( 333 MP NMPNPMNP 。 16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息
17、是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。 解 ：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件 A ，“一讯息是可信的”记为事件 B 。根据 Bayes 公式，所 要求的概率为 %9 9 4 7.99%1.0%51%95 1%95)|()()|()( )|()()( )()|( BAPBPBAPBP BAPBPAP ABPABP概率论与数理统计及其应用习题解答 9 17，将一枚硬币抛两次，以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H”，“第二次得 H”，“两次得同一面”。试验证 A 和 B， B 和 C， C 和 A 分别相互独立（两两独立），但 A,B,C 不是相互独立。 解 ：
18、根据题意，求出以下概率为 21)()( BPAP ， 2121212121)( CP ； 412121)( ABP ， 412121)()( CAPBCP ， 412121)( ABCP 。 所以有 )()()( BPAPABP ， )()()( CPAPACP ， )()()( CPBPBCP 。 即表明 A 和 B， B 和 C， C 和 A 两两独立。但是 )()()()( CPBPAPA B CP 所以 A,B,C 不是相互独立。 18，设 A,B,C 三个运动员自离球门 25 码处踢进球的概率依次为 0.5, 0.7, 0.6，设 A,B,C 各在离球门 25 码处踢一球，设各人进球
19、与否相互独立，求（ 1）恰有一人进球的概率；（ 2）恰有二人进球的概率；（ 3）至少有一人进 球的概率。 解 ：设“ A,B,C 进球”分别记为事件 )3,2,1( iNi 。 （ 1）设恰有一人进球的概率为 1p ，则 3213213211 NNNPNNNPNNNPp )()()()()()()()()( 321321321 NPNPNPNPNPNPNPNPNP （由独立性） 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0 29.0 概率论与数理统计及其应用习题解答 10 （ 2）设恰有二人进球的概率为 2p ，则 3213213212 NNNPNNNPNNNPp )()()()()
20、()()()()( 321321321 NPNPNPNPNPNPNPNPNP （由独立性） 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0 44.0 （ 3）设至少有一人进球的概率为 3p ，则 1 3213 NNNPp )()()(1 321 NPNPNP 4.03.05.01 94. 。 19，有一危重病人，仅当在 10 分钟之内能有一供血者供 给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。 解 ：根据题意，医院最多可以验血型 4 次，也就是说最迟可以第 4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4 个人才验出是 A-RH+型血的概率是多少？因为 第一次就检验出该型血的概率为 0.4； 第二次才检验出该型血的概率为 0.6 0.4=0.24； 第三次才检验出 该型血的概率为 0.62 0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为 0.63 0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
