1、小区域的 GPS 高程拟合方法探讨摘要：本文主要介绍了多面函数法、多项式曲面法和非均匀三次 B样条函数法的基本原理，然后分别采用这三种方法对具体小区域的高程数据进行计算，通过对高程拟合的精度进行对比和分析，总结在小区域三种方法的应用特点。 关键词：小区域； 高程拟合；精度 0 引 言 GPS 高程拟合是大地水准面精化的主要内容，是大地测量学研究的基本内容。GPS 高程拟合涉及到三类高程系统，分别为正高系统、正常高系统和大地高系统。正高是以大地准面为基准的高程，正常高是以似大地水准面为基准的高程，大地高是以参考椭球面为基准的高程1。我国通常采用正常高系统。 显然，由于似大地水准面和参考椭球面之间
2、复杂的位置关系，无法直接利用 GPS 测量高程代替水准高程，必须将 GPS 大地高转换成正常高。通常采用高程拟合的方法来实现，即在 GPS 网中同时施测少量的几何水准点，反求出这些已知点的高程异常值，然后根据平面坐标和高程异常值，采用数学拟合的方法，构造某种曲面代替似大地水准面，解算出其他 GPS 点的高程异常值，进而求出待定点的正常高2。正常高和大地高之间的差距叫做高程异常。大地高 H、正常高 h 和高程异常 之间的关系为： （1） 本文主要结合具体的区域算例，分别采用多面函数法、多项式曲面法和非均匀三次 B 样条函数法进行高程拟合，总结拟合方法的应用特点。1 GPS 高程拟合方法 本文主要
3、采用如下三种 GPS 高程拟合方法，分别为多面函数法、多项式曲面法和非均匀三次 B 样条函数法。 （1） 多面函数法3 多面函数拟合法的基本思想是可以由若干简单面（称单值数学面）来叠加逼近任何一个规则或不规则的连续曲面，用数学表达式构造的数学表面高精度的逼近并且代替其实际表面。多面函数的数学模型为： （2） 式中 为待定参数， 为核函数。理论上讲核函数是可以任意构造的，在本文中采用 作为核函数，即负双曲面函数。 （2） 多项式曲面法4 多项式曲面拟合的数学模型为： （3） 式中 为 i 点的高程异常值，其坐标为 ， （ ）模型参数。在本文中采用多项式三次曲面法。 （3） 非均匀三次 B 样条函
4、数法 假设区域内点的观测值包括 （k=1，2， ） ，高程异常 是点位坐标 和 的函数，所以令 ， 是点 k 的坐标。为了描述区域的范围，记 ， ， ， 。区域范围 RE 可描述为 ，对 RE 可以划分为 。 再对 扩充成 此时可对该节点序列作出三次 B 样条函数 和 （i=-3，-2，m， j=-3，-2，n） 。那么关于分划 的二元张量积型双三次 B 样条函数可以唯一的表示为： （4） 这样二元张量积函数的全体 构成了一个线性空间5。那么非均匀B 样条最小二乘问题是指在空间中寻找一个最合适的 ，使得 （5） 就是求解式（5）的系数 ，因此要求这里的测点数 ，式（5）才有解6。 2 实例分析
5、 该实例所在的区域位于湖南省中部，面积大约为 100km?，该区域联测了 73 个控制点，正常高和大地高都是观测获得的，然后可以计算出高程异常数据，分别使用多面函数法、非均匀三次 B 样条函数法和多项式三次曲面法对高程异常数据进行处理。区域控制点的位置分布如图 1 所示。 图 1 区域控制点的位置分布图 在该区域中均匀选取其中的 26 个点作为已知的控制点，其余的点作为检核点，分别计算。表 1 表示的是三种高程拟合方法处理区域高程异常数据后的内符合精度、外符合精度和最大残差的比较。 表 1 三种方法的拟合精度表 拟合方法 内符合精度（m） 外符合精度（m） 最大残差（m） 多面函数 0 0.0
6、13 0.022 非均匀三次 B 样条函数 0.004 0.016 0.018 多项式三次曲面 0.006 0.008 0.010 图 2 表示的是三种方法处理后的检核点位置的高程异常残差图。 图 2 三种方法处理后区域内检核点位置的高程异常残差图 综合表 1 和图 2 可以看出，相比较于多面函数法和非均匀三次 B 样条函数这两种方法，在该区域内多项式三次曲面法拟合后高程异常的残差较小，稳定性更好，高程拟合的效果较好。这块区域面积较小，地形比较平坦，控制点比较密集，可以看出多项式三次曲面拟合法拟合这类区域的高程异常已经达到了很好的精度。 3 结 论 在面积较小、地形比较平坦的区域，控制点比较密
7、集，从前面部分的算例中可以看出多项式曲面法更适用，选择适合的次数，高程拟合的精度可以达到毫米级。 参考文献 1 刘大杰，施一民.全球定位系统（GPS）的原理与数据处理.上海：同济大学出版社，2006，1516 2 熊小丽，吴迪军.GPS 高程拟合模型的精度分析J.铁道勘察，2007（2）：27-28 3 李鹏，田林亚，李斌.多面函数法 GPS 高程拟合在桥梁建设中的应用研究J.现代测绘，2005（4）20-22 4 乔仰文，辛久志，王晓辉等.高程转换的若干问题的研究J.测绘通报，1999（11）：17-19 5 郭建锋，归庆明，杨元喜.局部重力场的非均匀 B 样条最小二乘逼近J.测绘学报，2000（3）：189-193 6 王建雄，王腾军.非均匀 B 样条函数的最小二乘法在 GPS 水准拟合中的应用J.测绘科学，2007（3）65-66
