1、 1 凸显核心 提高初中数学概念教学的有效性 【摘要】 概念是思维的细胞，强化基础知识教学首先要强化概念教学 .本文总结了新课标理念下初中数学概念教学的常规方法与存在问题，论述了如何在概念教学中围绕概念的核心、核心概念、概念所蕴含的数学思想方法，提高概念教学的有效性 . 【关键词】 数学概念的核心 核心概念、数学思想方法 人民教育出版社章建跃博士认为“理解数学的核心是对数学概念及其所反映的思想方法的理解” .义务教育数学课程标准更是强调，数学教学首先要重视“概念及其所反映的思想方法的教学” .但是，以应试 教育为目标的数学教学把解题方法作为教学核心，以各式各样的练习题来弥补学生对概念内涵与外延
2、及其表达形式在理解上的缺失，以题海战术代替学生对概念由来与发展的抽象与认知，往往是 在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，学生做无数的练习，但数学基础仍很脆弱 .不仅 加重了学生学业负担，而且 数学课堂中效益、质量“双低下” . 本文拟对概念教学中怎样抓住核心概念与概念的核心展开教学，从而提高教学的有效性做一些探讨 . 1 概念教学的共识与缺失 章建跃博士认为“概念是思维的细胞，理解概念是一切数学活动的基础” .从某种意义上讲 ，数学学习与应用，就是进行推理与判断 .学生概念不清就无法进行推理、判断 .因此，学生对概念理解与应用是数学教学的出发点，也是重点 . 常见的概念教学程序是：从学生熟
3、悉的事例或数学知识的新旧联系中引入 给出定义让学生举例通过反例对概念进行辨析通过各种练习让学生把握概念的内涵与外延。这五个步骤包括了概念的引入 概念的形成 概念的明确 用符号表示概念 概念的巩固和应用 . 但是，在课堂教学中老师们对这五个环节的把握并不到位 .原因在于许多教师认为，数学就是学一些结论去解题 .在这五个教学环 节中，很多老师认为，重心是，因为形成学生的解题能力，他们认为只是形式，忽视它的教学价值，其实从，目的是使学生看到数学概念的背景和来源，体验和体会概念的形成过程，也就是认识上的适应，从而引起认知结构的新建构，是学生完成认知心理学上的“同化、顺化或与平衡”的重要认知过程。 一般
4、教师在教学中常见的缺失有如下几个： 缺失 1：将概念的定义直接告诉学生，不重视概念的形成过程 .例如：“三角形”概念的教学，直接给出并让学生熟读“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”，由于没有 实际问题的呈现，所以学生觉得没有任何意义，因为不需要用这个定义去判定一个图形是否三角形。如果要让学生真正理解这一概念，应该让学生从“金字塔、飞机、建筑物”等许多“三角形”常见图片中，找出其共性，抽象出“三角形”图形 . 缺失 2：不重视 让学生 归纳事物的共性，在互相纠错中 让学生 给概念下定议 .掌握概念就是掌握同类物的本质属性 .怎样才能让学生“体会”本质属性？只有通过观察
5、、比较、分析、归纳等思维活动抽象概括出概念 .这是概念教学的突破口，但教学中，老师们往往是展示情境，让学生漫天举例，唯独不重视引导学生自己抽象出概念 . 缺失 3：不能围绕概念的核心，在细枝末节上花费时间 .例如：“二元一次方程组”概念2 教学中，让学生判定 1 52x yx是否二元一次方程组 . 缺失 4：不重视组织学生在概念体系中学习概念 .这里的体系，取决于新旧知识的不同关系，包括概念学习中的直线式与螺旋式 .例如；对“ 0”的认识，在小学“ 0 表示没有 1表示有 1 个苹果， 2 表示有 2 个苹果， 0 表示没有苹果”，但在初中“ 0 有了新的含意 不再只是没有，可以是温度为 0
6、，也可以是海拨高度为 0 米” .只有让学生了解概念的发展过程和前后联系的方式 ，才能使学生真正掌握概念。强调概念的前后联系，有利于学生形成结构功能强大的概念体系 . 缺失 5：在几何与图形部分的概念教学中忽视“几何直观” .例如：梯形定义的教学强调让学生熟读“一组对边平行，且另一组对边不平行”，但不重视让学生先画一个梯形与平行四边形，去观察比较，从而理解定义 . 缺失 6：在统计与概率部分有关概念的教学中忽视“数据分析的理念” .如“平均数、概率”概念的教学仅停留在计算的层面，实际上计算并不是重点，重点是用这两个概念去分析数据，得出结论 . 2 凸显概念的核心，强化学生对概念本质的理解 恩格
7、斯说 ：数学是关于客观世界数量关系和空间形式的科学 .因此，学习数学概念也就是学习、掌握一类对象的关于空间形式与数量关系共同的关键属性 .这一关键属性也就是概念的核心 .影响数学教学质量的因素众多，但最主要的还是没有围绕概念的核心和数学思想方法进行教学，纠缠于繁琐的细枝末节，简单问题复杂化 . 怎样才能让学生掌握概念的核心？无论是接受式的概念学习，还是发现探究式的概念学习，都强调创设恰当的问题情境，诱发学生产生有意义的学习形象，在此基础上通过问题串，揭示概念的核心属性。但有些老师为概念的外延所迷惑，不能正确把握概 念的核心 .不能正确把握概念的核心就可能导致学生对概念理解的不完整或错误。 案例
8、 1： “函数”概念的核心“对应”，不是变化，尽管我们强调“在某一过程中存在两个变量 x 与 y”，但关注的是“每给 x 一个值 y 都有唯一确定的一个值与之对应”。由于没有在教学中抓住核心，学生形成的“函数”概念，似乎就是“ y=关于的 x 式子 (用 x表示的式子 )”。为什么会这样？因为老师也没有理解教材，理解函数 . 且看人教版教材第 11.1 节。教材首先从 5 个具有实际背景的问题入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，认识“常量与变量”，进 而通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量间关系的共同特征，即问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定
9、的对应值。教科书又用心电图，人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了强化 . 案例 2： “随机事件” 概念的核心 “是结果不确定”，而不是“不知道结果”。很多学生误认为“火星上有没有人”是随机事件。火星上有没有人 要么有，要么没有，只是我不知道结果，这没有任何随机性，叫末知事件，不是随机事件。一个硬币在没有掷以前，判断是正面向上还是反面向上是随机事件，如果掷完了后用纸盖住让 第三个人猜，这已不是随机事件，因为它不是“结果不确定”，而是“结果已确定”而我不知道 . 3 凸出核心概念的教学，构建良好的数学认知结构 凸出核心概念，也就是正确区分、把握重要概念和次要概念 .一节课可能涉及 3 到
10、5 个概念，不能平均使用教学时间，不能平均安排巩固训练 .一章内容可能涉及 20 多个概念，哪3 些是同化性学习概念，哪些是形成性学习概念，哪个概念对全章是有指导作用，这是老师在备课标与备教材时必须要明确的。因为确定概念的地位和作用，是为确定教学重点提供依据，纲举目张 . 由于教学时间有限 ,为了使学生集中精力掌握 最基础的知识 ,并形成一定的能力 ,教学时应注意突出核心概念 . 无知者无能，没有扎实的基本概念，就不可能有分析问题解决问题的能力 . 案例 3： 初一数学第一章“有理数”概念教学分析 本章涉及的概念很多，如“整数、分数、负数、数轴、相反数、绝对值、乘方、近似数、科学记数法、有效数
11、字、以及正有理数、 0、负有理数、非负数、自然数、正整数、负整数、非负整数等近 20 个概念，教材编排体系是：先从实例出发引入负数，接着引进有理数的一些概念，在此基础上、介绍有理数的运算。因此本章主要内容为有理数的有关概念及其运算，既承接小学又为 进一步学习打下基础。这一章的核心概念主要有以下几个： 负数 是实际的需要，更是学生进一步学习数与代数内容的基础与需要；温度、增长率、足球比赛中的输赢、个人财务中的收入与支出等这些学生熟悉的事情，都是成功的负数模型，因此学生并不难理解“负数”。难点是负数相关的加减是建立在绝对值的基础上，半数以上学生出现思维不顺，如经常发生 011 ， 112 等错误；
12、 数轴 不仅可以把有理数用数轴上的一个点直观的表示出来，更重要的是可以借助数轴直观 的向学生介绍“相反数、绝对值”等概念，可以借助数轴让学生理解加法法则与乘法法则； 相反数 表面上看是为了表示相反意义的量，加深学生对生活中相反意义量的认识，但更多的是为学习绝对值、有理数减法做准备 . 绝对值 个有理数由符号与绝对值两部分确定，因此，两个负数比较大小，有理数运算都要借助绝对值 . 各种练习册对本章练习题的安排力量分散，各个概念都有涉及到，但核心概念的训练不突出，没有针对性，因而导致看似简单的有理数运算总是出现一些低级错误，老师认为是学生不够熟练，实质是核心概念理解不到位，所以这一章应该主要围 绕
13、这几个核心概念进行训练 . 4 在概念教学的过程中凸显核心思想方法 20 世纪最具影响的 数学 教育家费赖登塔尔（ 荷兰 ）认为“数学中最重要的成份始终是思想方法，而这确实是人类共同的思想源泉，即使作家或艺术家们也可以从中吸取营养” .中国教育古训亦云（老子）“授人以鱼，不如授人以渔”。 因此，数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，更应注意对其中所蕴含的数学思想方法的提练和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，能更好的理解数学的本质 . 其实，义务教育数学课程标准明确指出：“数学为其它科学提供了语言、思想和方法 ，是一切重大技术的基础”。通过数学教育，使学生能够获得“适应末来社会和进一步发
14、展所必须的重要数学知识以及基本数学思想方法和必须的应用技能”。这些都显示了数学思想方法教学的重要性 . 同时，学生学习数学思想方法，能帮助学生更好的理解和掌握相关的数学内容 .因为，数学思想方法与具体的数学概念、知识等属于上下位关系，学生了解了一些思想方法后，再去学习相关的知识，就属于下位学习 有利于巩固新的知识点，具有足够的稳定性（数学心理学意义） . 因此，在概念教学的过程中凸显核思想方法尤为重要 .一堂课新就新在思维过程上，高4 就高 在思想性上。有思想深度的课，给学生留下长久的心灵激荡和对知识的深刻理解，以后即使具体的知识忘记了，但数学的思考问题的方法将长存。在概念教学中、在双基培养中
15、，应该有意识的凸显核心思想方法。对课堂教学进行精心设计，通过一定的形式，如教学情境、教师讲解，学生探究，变式训练等，把凝结在数学知识中的数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动“打开、解构” . 初中数学中所蕴含的核心的思想方法如：将实际问题抽象为数学问题，再借助方程、或不等式等解决的模型化（数学建模）思想；数与式部分的各种运算律，都是从特殊 对象归纳出一般规律的思想；利用数轴研究有理数的概念与运算律的数形结合思想；解一元一次方程、解二元一次方程组中用的是化归思想与程式化思想，函数思想等。在数学学习的过程中，我们应自觉地发现、挖掘、反思由数学基础知识所反应出来的数学思想方法 .
16、 案例 4： 阅读下列材料 :解不等式 032 xx ，根据“两数相乘，同号得正”，得 03 02xx或 03 02xx，分别解这两个不等式组，得 23 xx 或 ，即 不等式 032 xx 的解集为 23 xx 或 . 仿照上述解题过程，解下面两题： （ 1） 092 x （ 2） 011xx 不等式的本质是对数据符号的判断从而得出数据出现的范围，这是一道仿照深圳中考试题所出的考察学生提炼总结运用数学思想方法去解决再上一层次问题的题目，即运用初中所掌握的不等式组来解决高中一元二次不等式问题。本题中，如果教师在不等式组的教学 中，给学生提炼过 0AB 即为 00BA或 00BA； 0BA 与
17、0AB 是等价的这一思想，则此题十分易解，如果平时教师对于数学思想方法一点都不进行渗透，只是就知识而教知识，就问题而解问题，则学生对此类问题常觉得无从下手 . 案例 5 ： 基于“分式”概念所蕴涵的核心思想方法的教学设计与思考（初二第 16.1） 教材分析 ： 本节突出的数 学思想是类比思想 .分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象 .分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分等应该与分数的基本性质、约分与通分等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性 .“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识
18、事物往往经历的过程，因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，温故而知新，完 成知识的深化。这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，还应充分发挥知识之间正向迁移的积极作用，对于培养良好的学习方法也会起到引导作用 . 为了更好地渗透数学思想方法，教学时应充分展示“观察、思考”的认识过程，引导学生充分利用课程资源“思考”数学，在“思”中观察、探索、猜想、推理、交流，真正理解、掌握相关的数学知识和思想方法，促进学生发展思维，形成能力 . 因此，类比着分数的概念让学生学习分式的概念，
19、类比着分数的性质探讨分式的性质，类比着分数的约分、通分介绍分式的通分、约分。是本节教学的基本指导思想 . 5 100 60, , ,20 20sva s v v教学设计 与思考片段： 【问题情境导入】：学习过整式 ,但在研究许多问题时会用到整式以外的式子 ,看下面的问题 :一艘轮船在静水中的最大速度是 20千米 时 ,它沿江以最大船速顺流航行 100千米所用时间 ,与以最大行速逆流航行 60 千米所用时间相等 ,江水的流速是多少 ? 师生共同分析列式子：设江水的流速为 v千米 时 , 轮船顺流航行 100千米所用时间 : v20100小时 , 逆流航行 60 千米所用时间 : v2060 .
20、【学生活动】：同桌互助列式子 :长方形的面积是 10 2cm ,长为 7cm,宽为 ; 长方形的面积是 S 2cm ,长为 acm,宽为 ;把体积为 200 3cm 的水倒入底面积为 33 2cm 的圆柱形容器中 ,水面高度是 : 把体积为 V 3cm 的水倒入底面积为 S 2cm 的圆柱形容器中 ,水面高度是 : 【观察思考】 : 10 7 写成710的形式 , S a, V S 可以写成什么样的形式 ? 学生对比列出 : ,svvs 并且思考 svasvv ,2060,20100 , 的相同点和不同点 ? 像这样分母中含有字母的式子属于分式 设计意图 ：观察”是对两个思考的承上启下。承接前
21、一个思考的结果进行深化，引导学生发现分式的特征，得出来分式比分数更具有一般性 .过渡到对分式的分母的条件的思考 .“观察”有三个目的：作为前面思考中知识的深化； 为归纳定义提供铺垫为后一个思考做铺垫 .在教学时，要组织学生比较四个分式的共同点，与分数的相同点和不同点 .通过学生独立观察，合作交流来完成教学时，教师预先在多媒体课件上设计 好所观察的几个分式，要从简到繁，如： .引导学生观察几个式子的共 同点，以及他们与 分数的不同点，领会分式的意义。 【学生充分讨论后发言】 ,师生共同得出分式的概念 : 一般地 ,如果 整式 A, B表示两个整式并且 B中含有字母 ,那么式子 BA 叫做分式 .
22、 分 式 BA 中 ,A叫做分子 ,B叫做分母 . 设计意图 ： 从分数到分式 以描述实际问题中的数量关系为背景，联系学习过的常见的公式由数到字母的认识，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式 . 借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法。 5.判断下列式子哪些是整式 ,哪些是分式 ? 3 2x -1 -5 5x-7 设计意图 ： 让学生对整式分式有统一的认识，尽快将分式概念容进学生的 旧的认知体系中。【师生共同讨论】 :我们知道 :除数不能为 0,那么分式中的分母应该满足什么条件 ? 通过学生思考、讨论等活动 ,让学生充分认识到分式的一大要求 :分母不能为
23、 0. 师生共同归纳 :分式的分母表示除数 .由于除数不能为 0,所以分式的分母不能为 0,即 , 12 3ab 7 )( pnm 746 当 B 0 时 ,分式 才能有意义 .否则 ,无意义 . 【针对练习】 : 1.当 x 取什么值时，下列分式有意义？ (1) (2) (3) 设计意图 ： 明确分式中分母的条件 .通过与分数的类比，得到分式的分母 B 0 时分式才有意义 .通过比较、练习感受分式有意义的条件 . 经过两个思考活动，引导学生感受到分式与分数的联系，认识到分式的一般性：分子与分母是整式，且分母不为 0. 思考活动是对分式的定义与分式有意义的条件的认识 .教学时要注意由浅入深、由
24、数到字母、循序渐进的过渡过程，不能操之过急 .注重通过分数与分式的联系 . 数学学习贯穿两条主线，数学基础知识和数学思想方法，数学基础知识是明线，而数学思想方法是暗线。因此，在教学中我们常说抓基础，在中考复习中也总说回到基础，但什么是基础？怎样回到基础？ 基础知识的教学，目的使学生形成良好的数学认知 结构。基础知识包括数学概念、公式、法则、定理、公理等。对“题型”归类讲“题型”的解题技巧是抓基础吗？显然这些只是在追求“题型”与“题型”所对应的技巧，解题技巧只是雕虫小技不是核心。 讲“综合题”是不是抓基础？很多老师热衷于讲综合题、练综合题，每个班也总有三五个学生喜欢做综合题，实际上过早让学生做“
25、综合题”、“基础不够”的题有害无益。抓基础，首先是凸显核心概念及其所反映的思想方法 . 很多老师在单元复习、中考复习中总以为发几张练习卷给学生做一下就是回到基础。其实，目标检测不明确的练习卷很难体现针对性与有效性，谈 不上抓基础。一套回归基础的练习题至少应做到由简单到复杂，由单一到综合，循序渐进，做到低起点，小步幅，围绕核心概念进行设计 . 因此，抓基础应该是在教学中不断引导学生回到核心概念及其所蕴藏的基本思想中去，无论是解题、还是解决问题应习惯性的从基本概念出发思考；同时加强概念的联系性，培养学生从概念的联系中寻找解决问题的思路和方法的能力 . 【 参考文献 】 1章建跃 中学数学课改的十个论题 中学数学教学参考 2010， 3， 4， 5 2中华人民共和国教育部制订 全日制义务教育数学课程标准 ， 2007， 北京师范大学出 版社 3义务教育课程标准实验教科书 教师教学用书 数学 .北京 人民教育出版社 4顾泠沅主编邵光华著 作为教育任务的数学思想方法 上海 教育出版社 BA18x 912x122x
