1、 概率论与数理 统计期末 试题 （ 1） 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1 设事件 BA, 仅发生一个的概率为 0.3，且 5.0)()( BPAP ，则 BA, 至少有一个不发生的概率为 _. 2 设随机变量 X 服从泊松分布，且 )2(4)1( XPXP ，则 3(XP _. 3 设随机变量 X 在区间 )2,0( 上服从均匀分布，则随机变量 2XY 在区间 )4,0( 内的概率密度为 _ 4 设随机变量 YX, 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， 2)1( eXP ，则 _， 1),min( YXP 5 设总体 X 的概率密度为 其它,0,10,)1()( xxxf 1
2、 . nXXX , 21 是来自 X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1设 ,ABC 为三个事件，且 ,AB相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ） （ A） 若 ( ) 1PC ，则 AC 与 BC 也独立 . （ B）若 ( ) 1PC ，则 AC与 B 也独立 . （ C）若 ( ) 0PC ，则 AC与 B 也独立 . （ D）若 CB ，则 A 与 C 也独立 . 2设随机变量 (0,1),X N X的分布函数为 ()x ，则 (| | 2)PX 的值为（ ） （ A） 21 (2) . （ B） 2 (2) 1. （ C） 2
3、 (2) . （ D） 1 2 (2) . 3设随机变量 X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是 () （ A） X 与 Y 独立 . （ B） ()D X Y D X D Y . （ C） ()D X Y D X D Y . （ D） ()D XY DXDY . 4设离散型随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 ( , ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )1 1 1 16 9 1 8 3XYP 若 ,XY独立，则 ,的值为 () （ A） 21,99. （ A） 12,99. （ C） 11,66 （ D
4、） 51,18 18. 5设总体 X 的数学期望为 12, , , , nX X X 为来自 X 的样本，则下列结论中正确的是 () （ A） 1X 是 的无偏估计量 . （ B） 1X 是 的极大似然估计量 . （ C） 1X 是 的相合（一致）估计量 . （ D） 1X 不是 的估计量 . 三、（ 7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（ 1）一个 产品经检查后被认为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 . 四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3
5、 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差 . 五、（ 10 分）设二维随机变量 ( , )XY 在区域 ( , ) | 0 , 0 , 1 D x y x y x y 上服从均匀分布 . 求（ 1） ( , )XY 关于 X 的边缘概率密度；（ 2） Z X Y的分布函数与概率密度 . 六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相互独立，且均服从 2(0,2)N 分布 . 求（ 1）命中环形区域 22 ( , ) | 1 2 D x y
6、 x y 的概率；（ 2）命中点到目标中心距离 22Z X Y的数学期望 . 七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位： cm） 2 ( , )XN ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 10x ，样本方差 2 0.16s . （ 1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（ 2）检验假设 20 : 0.1H （显著性水平为 0.05） . （附注） 0 . 0 5 0 . 0 5 0 . 0 2 5( 1 6 ) 1 . 7 4 6 , ( 1 5 ) 1 . 7 5 3 , ( 1 5 ) 2 . 1 3 2 ,t t t 2 2 20 . 0 5 0 . 0 5 0 . 0
7、2 5( 1 6 ) 2 6 . 2 9 6 , ( 1 5 ) 2 4 . 9 9 6 , ( 1 5 ) 2 7 . 4 8 8 . x y 0 1 2 概率论与数理 统计期末 试题 （ 2）与解答 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） （ 1） 设 ( ) 0.5PA , ( ) 0.6PB , ( | ) 0.8P B A ，则 ,AB至少发生一个的概率为_ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 1 0 . 2 0 . 9P A B P A P B P A B _. （ 2） 设 X 服从泊松分布，若 2 6EX ，则 P(X1) =_ （ 3） 设随机变量 X 的概率密度函数
8、为 1 ( 1 ) , 0 2 ,() 40,xxfx 其他.今对 X 进行 8 次独立观测，以 Y 表示观测值大于 1 的观测次数，则 5 3 158 8 8 8DY （ 4） 元件的寿命服从参数为 1100 的指数分布，由 5 个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作 100 小时以上的概率为 （ 5） 设测量零件的长度产生的误差 X 服从正态分布 2( , )N ，今随机地测量 16 个零件，得 161 8ii X ， 16 21 34ii X . 在置信度 0.95 下， 的置信区 0 . 0 5 0 . 0 2 5( (1 5 ) 1 . 7 5 3 1 , (1 5 ) 2 . 1
9、 3 1 5 )tt 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入 （ ） 中， 每小题 3 分，共 15 分） （ 1） ,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （ A） ()A B B A B. （ B） ()A B A B. （ C） ()A B A B A B A B. （ D） ( ) ( ) ( )A B C A C B C . （ 2 ）设 12,XX 是 随 机 变 量 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 12( ), ( )F x F x ，为使 12( ) ( ) ( )F x a F x b F x是某一随机变量的分布函数，在下列给定
10、的各组数值（ ） 中应取 （ A） 32,55ab . （ B） 22,33ab. （ C） 13,22ab . （ D） 13,22ab. （ 3）设随机变量 X 的分布 函数为 ()XFx，则 35YX 的分布函数为 ()YFy （ ） （ A） (5 3)XFy . （ B） 5 ( ) 3XFy . （ C） 3()5X yF . （ D） 31 ( )5X yF . （ 4）设随机变量 12,XX的概率分布为 1 0 11 1 14 2 4iXP 1,2i . 且满足 12( 0) 1P X X ，则 12,XX的相关系数为12XX （ ） （ A） 0. （ B） 14 . （ C
11、） 12 . （ D） 1 . （ 5 ） 设 随机 变 量 1 0 , 6 , (1 2 , )4X U Y B且 ,XY相 互 独 立， 根 据切 比 雪夫不等式有 ( 3 3)P X Y X （ ） （ A） 0.25 . （ B） 512. （ C） 0.75 . （ D） 512. 三、（ 8 分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为 的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买 A 种商品的概率为 p ，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有 k 个顾客购买 A 种商品的概率。 四、（ 10 分）设考生的外语成绩（百分制） X 服从正态分布，平均成绩（即参 数 之值）为 72 分，
12、 96 以上的人占考生总数的 2.3%，今任取 100 个考生 的成绩，以 Y 表示成绩在 60 分至 84 分之间的人数，求（ 1） Y 的分布列 . （ 2） EY 和 DY . ( ( 2 ) 0 .9 7 7 , (1 ) 0 .8 4 1 3 ) 五、（ 10 分）设 ( , )XY 在由直线 21, , 0x x e y 及曲线 1y x 所围成的区域 上服从均匀分布， （ 1）求边缘密度 ()Xfx和 ()Yfy，并说明 X 与 Y 是否独立 . （ 2）求 ( 2)P X Y . y 0 1 e2 x y=1/x D 六、（ 8 分）二维随机变量 ( , )XY 在以 ( 1,
13、 0 ), (0 , 1), (1, 0 ) 为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求 Z X Y的概率密度。 七、（ 9 分）已知分子运动的速度 X 具有概率密度 22 ()34 , 0 , 0 ,()0 , 0 .xxexfxx 12, , , nx x x 为 X 的简单随 机样本 （ 1） 求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （ 2）验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计。 八、（ 5 分）一工人负责 n 台同样机床的维修，这 n 台机床自左到右排在一条直 线上，相邻两台机床的距离为 a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为 1n ，且相互独立，若 Z 表示工人修完一台后到另一台需要检
14、修的机床所走 的路程， 求 EZ . y x+y=z 1 0 1 x D1 概率论与数理 统计期末 试题 （ 3） 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） （ 1） 设事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 互不相容，事件 A 与 C 互不相容，且( ) ( ) 0.5P A P B， ( ) 0.2PC ，则事件 A 、 B 、 C 中仅 C 发生或仅 C 不发生的概率为 ( ) ( ) ( )P A B C A B C P A B C P A B C （ 2） 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球，乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球，今从每个盒中各取 2个球，发现它们是同一颜色的，
15、则这颜色是黑色的概率为 _2 1( | ) 2P B A _. （ 3） 设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1,()0,xxfx 其它 ,现对 X 进行四次独立重复观察，用 Y 表示观察值不大于 0.5 的次数，则 22 15( ) 144E Y D Y E Y . （ 4） 设二维离散型随机变量 ( , )XY 的分布列为 ( , ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 2 , 0 ) ( 2 , 1 )0 .4 0 .2XYP a b若 0.8EXY ，则 c o v ( , ) 0 . 8 0 . 7 0 . 1X Y E X Y E X E Y . （ 5） 设 1 2
16、 17, , ,X X X 是总体 ( ,4)N 的样本， 2S 是样本方差，若 2( ) 0.01P S a ，则a _8_. （注： 20.01(17) 33.4 , 20.005(17) 35.7 , 20.01(16) 32.0 , 20.005(16) 34.2 ） 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） （ 1）设 A 、 B 、 C 为三个事件， ( ) 0P AB 且 ( | ) 1P C AB ，则有 （ C ） （ A） ( ) ( ) ( ) 1 .P C P A P B （ B） ( ) ( ).P C P A B （ C） ( ) ( ) ( ) 1 .P C
17、 P A P B （ D） ( ) ( ).P C P A B （ 2）设随机变量 X 的概率密度为 2( 2 )41( ) ,2 xf x e x 且 (0 ,1)Y aX b N ，则在下列各组数中应取 （ B ） （ A） 1/ 2, 1.ab （ B） 2 / 2, 2 .ab （ C） 1/ 2, 1ab . （ D） 2 / 2, 2 .ab （ 3）设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率分布分别为 010.4 0.6XP010.4 0.6YP则有 （ C） （ A） ( ) 0.P X Y （ B） ( ) 0.5.P X Y （ C） ( ) 0.52.P X Y （ D）
18、( ) 1.P X Y （ 4）对任意随机变量 X ，若 EX 存在，则 ( )E E EX 等于 （ C ） （ A） 0. （ B） .X （ C） .EX （ D） 3( ).EX （ 5）设 12, , , nx x x 为正态总体 ( ,4)N 的一个样本， x 表示样本均值，则 的置信度为1 的置信区间为 （ D ） （ A）/ 2 / 244( , ) .x u x unn（ B）1 / 2 / 222( , ) .x u x unn（ C） 22( , ).x u x unn（ D）/ 2 / 222( , ) .x u x unn三、（ 8 分）装有 10 件某产品（其中一等
19、品 5 件，二等品 3 件，三等品 2 件）的 箱子中丢失一件产品，但 不知是几等品，今从箱中任取 2 件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 四、（ 10 分）设随机变量 X 的概率密度为 1 , 0 2 ,() 0 , .ax xfx 其它 求（ 1）常数 a ； （ 2） X 的分布函数 ()Fx； （ 3） (1 3).PX 五、（ 12 分）设 ( , )XY 的概率密度为 0,( , ) .0,x yxef x y 其它求（ 1）边缘概率密度 ( ), ( )XYf x f y ； （ 2） ( 1)P X Y； （ 3） Z X Y的概率密度 ()Zfz. 六、（
20、10 分）（ 1）设 0,1XU ， 0,1YU 且 X 与 Y 独立，求 |E X Y ； （ 2）设 (0 ,1), (0 ,1)X N Y N且 X 与 Y 独立，求 |E X Y . 七、（ 10 分）设总体的概率密度为 1 0 1 ,( ; ).0, xxfx 其它( 0) 试用来自总体的样本 12, , , nx x x ，求未知参数 的矩估计和极大似然估计 . 概率论与数理 统计期末 试题 （ 1） 一、 填空题 1. 0.9 2. 161e3. 1 , 0 4 ,14( ) ( ) 20 , .YXyyf y f yy 其它4. 2 41 e 5. 11 11 lnnii xn
21、 二、单项选择题 15 D A B A A 三、 解： 设 A 任取一产品，经检验认为是合格品 B 任取一产品确是合格品 则（ 1） ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B 0 .9 0 .9 5 0 .1 0 .0 2 0 .8 5 7 . （ 2） ( ) 0 . 9 0 . 9 5( | ) 0 . 9 9 7 7( ) 0 . 8 5 7P A BP B A PA . 四、 解： X 的概率分布为 33 23( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , 3 .55k k kP X k C k 即 0 1 2 32 7 5 4 3
22、6 81 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5XPX 的分布函数为 0 , 0 ,27, 0 1 ,12581( ) , 1 2 ,125117, 2 3 ,1251 , 3 .xxF x xxx 263,55EX 2 3 183 5 5 25DX . 五、 解： （ 1） ( , )XY 的概率密度为 2 , ( , )( , )0 , .x y Df x y 其它2 2 , 0 1( ) ( , )0,X xxf x f x y dy 其它（ 2）利用公式 ( ) ( , )Zf z f x z x d x其中 2 , 0 1 , 0 1( , )0, x z x xf x z x
23、其它2 , 0 1, 1.0, x x z 其它.当 0z 或 1z 时 ( ) 0Zfz 01z时 00( ) 2 2 2z zZf z d x x z 故 Z 的概率密度为 2 , 0 1,()0,Zzzfz 其它.Z 的分布函数为 200 , 0 0 , 0 ,( ) ( ) 2 , 0 1 , 0 1 ,1 , 1.1 , 1zzZZz zf z f y dy y dy z z zzz 或利用分布函数法 10 , 0 ,( ) ( ) ( ) 2 , 0 1 ,1 , 1 .ZDzF z P Z z P X Y z d x d y zz 20 , 0 , 0 1,1 , 1 .zzzz
24、 2 , 0 1 ,( ) ( )0,ZZ zzf z F z 其它.x z z=x 1 D 0 1 z x y x+y=1 x+y=z D1 六、 解： （ 1） , ) ( , )DP X Y D f x y dx dy 2 2 2228801112 4 8x y rDe d x d y e rd rd 22 2 1 122 8 8 8 21 1()8rrre d e e e ； （ 2） 222 2 2 2 81() 8 xyE Z E X Y x y e d x d y 222 2880 0 01184rrr e r d r d e r d r 2 2 28 8 80021 222r
25、r rre e d r e d r . 七、 解： （ 1） 的置信度为 1 下的置信区间为 / 2 / 2( ( 1 ) , ( 1 ) )ssX t n X t nnn 0 . 0 2 51 0 , 0 . 4 , 1 6 , 0 . 0 5 , ( 1 5 ) 2 . 1 3 2X s n t 所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868， 10.2132） （ 2） 20 : 0.1H 的拒绝域为 22( 1)n. 22 15 1 5 1 .6 2 40 .1S ， 20.05 (15) 24.996 因为 220 .0 52 4 2 4 .9 9 6 (1 5 ) ，所以接受 0H . 概率论与数理 统计期末 试题 （ 2）答案 一、 1. 2 2 21 2 1 3e e e 4. 5 1 5 51 ( 1 0 0 ) 1 1 .P X e e 5. ( 0.2535, 1.2535 ). 二、 B C D A D x y 0 1 2
