1、 1 第二章 控制系统的数学模型复习指南与要点解析 要求： 根据系统结构图应用 结构图的等效变换和简化或者 应用 信号流图与梅森公式 求传递函数（方法不同，但同一系统两者结果必须相同） 一、 控制系统 3 种模型 ，即 时域模型 -微分方程； 复域模型 传递函数 ；频域模型 频率特性。其中重点 为传递函数。 在传递函数中，需要 理解传递函数定义 （ 线性 定常 系统 的传递函数是在 零初始条件下， 系统 输出 量 的拉氏变换式与输入 量 的拉氏变换式之比 ） 和性质 。 零初始条件下 ： 如 要 求传递函数需拉氏变换，这句话必 须的 。 二、 结构图的等效变换和简化 - 实际上，也就是消去中间
2、变量求取系统 总 传递函数的过程。 1 等效 原则： 变换前后变量关系保持等效， 简化的前后要保持一致 （ P45） 2 结构图基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。 如果结构图彼此交叉，看不出 3 种基本连接方式，就应用 移出引出点或比较点 先解套，再画简。其中： 引出点前移在移动支路中乘以 ()Gs。（注意：只须记住此，其他根据倒数关系导出即可） 引出点后移在移动支路中乘以 1/ ( )Gs 。 相加点 前移在移动支路中乘以 1/ ( )Gs 。 相加点 后移在移动支路中乘以 ()Gs。 注 ： 乘以或者除以 ()Gs， ()Gs到底在系统中指什么，关键看引出点或者相加点在谁的前后移动
3、。在谁的前后移动， ()Gs就是谁。 例 1: 利用结构图化简规则， 求系统的传递函数 C(s)/R(s) R ( s )_C ( s )G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )H 2 ( s )H 1 ( s )_解法 1: 1) 3()Gs前面的 引出点后移到 3()Gs的后面（注：这句话可不写，但是必须绘制出下面的结构图，表示你如何把结构图解套的） R ( s )_C ( s )G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )H 2 ( s )H 1 ( s )_1/G 3 ( s )2) 消除 反馈连接 R ( s )_C ( s )G 1 ( s )H 1
4、 ( s )_1/G 3 ( s )232 3 2( ) ( )1 ( ) ( ) ( )G s G sG s G s H s3) 消除 反馈连接 R ( s ) C ( s )_ 1 2 32 3 2 1 2 1( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s G s G sG s G s H s G s G s H s4) 得出传递函数 2 1 2 31 2 1 2 3 2 1 2 3( ) ( ) ( )()( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s G s G sCsR s G s G s H s G s G
5、s H s G s G s G s 注 ： 可以不写你是怎么做的 ，但是相应的解套的那步结构图必须绘制出来 。一般，考虑到考试时间限制，化简结构图只须在纸上绘制出 2-3 个简化的结构图步骤即可，最后给出传递函数 ()()CsRs。） 解法 2: 1()Gs后面的 相加点 前移 到 1()Gs前面，并与原来左数第二个相加点 交换位置，即可解套，自己试一下。 注 ： 条条大路通罗马，但是其最终传递函数 ()()CsRs一定相同） 注 ： 比较点和引出点相邻， 一般不交换位置 ，切忌，否则要引线） 三 . 应用 信号流图与梅森公式 求传递函数 梅森公式： nk kkPP 11 式中， P 总增益；
6、 n 前向通道总数； Pk 第 k 条前向通道增益； 系统特征式，即 fedcba LLLLLL1 Li 回路增 益； La 所有回路增益之和； LbLc 所有两个不接触回路增益乘积之和； LdLeLf 所有三个不接触回路增益乘积之和； k 第 k 条前向通道的余因子式，在计算式中删除与第 k 条前向通道接触的回路。 注 ：一般给出的是结构图，若用梅森公式求传递函数，则必须先画出信号流图。 注意 2：在应用梅森公式时，一定要注意不要漏项。 前向通道总数不要少，各个回路不要漏。 例 2: 已知系统的方框图如图所示 。试求闭环 传递函数 C(s)/R(s) (提示：应用信号流图及梅森公式 ) 解
7、1）：绘制信 号流图 注 ：别忘了标注箭头表示信号流向。 2) 应用 梅森公式求闭环传递函数 : 前向通道增益 3211 GGGP ； 342 GGP ； 回路增益 221 HGL ； 133212 HHGGGL ； 53 GL ； 4 3 4 3 1L G G H H 特征式 2 2 1 2 3 1 3 5 3 4 3 1 2 5 21 G H G G G H H G G G H H G G H ； 余因子式（对应各个前项通道的） 51 1 G ； 52 1 G ； -经验： 一般 余因子式不会直接等于 1，不然太简单了 闭环传递函数 1 2 4 3 52 2 1 2 3 1 3 5 2 5
8、 2( ) ( 1 )()( ) 1 G G G G GCsR s G H G G G H H G G G H - G5 - H1 H3 G3 G2 G1 -H2 G4 R(s) C(s) G1 G2 G3 H1 G5 H3 H2 G4 + + + + - - - R(s) C(s) + 3 四、知道开环传递函数的定义，并 会求闭环系统的传递函数 1开环传递函数，如图： ()Rs ()Cs()s ()Ns()Hs1 ()Gs 2 ()Gs-1 ()Xs2 ()Xs()Bs12() ( ) ( ) ( )()( ) ( )G s H s Bs G s G s H ss（若+)( sH)( sG(
9、) s )( sC)( sR -，则 () ( ) ( )()( ) ( ) Bs Gss sGH ss H若-R ( s ) ()Gs C ( s )E ( s )，则 )( ) ) (G s H s Gs -常见） 2 四个 闭环系统的传递函数 -特点分母相同，即特征方程相同 1212( ) ( )()() ( ) 1 ( ) ( ) ( )G s G sCss R s G s G s H s （通常说的输出对输入的传递函数）； 212()()() ( ) 1 ( ) ( ) ( )n GsCss N s G s G s H s 12( ) 1() ( ) 1 ( ) ( ) ( )ss
10、R s G s G s H s 212( ) ( )()() ( ) 1 ( ) ( ) ( )n G s H sss N s G s G s H s 注 ：后面求稳态误差需要 第三章 线性系统的时域分析 要 求： 1） 会分析系统的 时域响应 ()ct ，包括动态性能指标； 2） 会用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件； 3）会根据给出的系统结构图，求出系统稳态误差，并减小或消除之。 一、 时域分析方法和思路： 已知系统输入 ()rt 和系统模型 ()s ，求时域响应 ()ct 。 例 1：求一阶系统的单位阶跃响应。 1）输入 )(1)( ttr ，则其拉氏变换为 ssR 1)
11、( ，则 2） 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 1 /TC s s R s T s s s T s s s T 3）对上式取拉氏反变换，得其响应 单位阶跃信号的响应为： /( ) 1 e , 0tTs s tsc t c c t 注 1： ssc 为稳态分量，它的变化由输入信号的形式（上例中 )(1)( ttr ） 决定； 4 tsc （上例中 /e tTtsc ）为暂态分量，由闭环传递函数的极点（上例中 1s T ） 决定。 二、线性系统稳定的充要条件是闭环特征根均需具有负实部 或者说 ()s 的极点都在在 s 平面右半部分。 -系统稳定性是系统本来的固有特性，与外输入信号
12、无关。 1 只有当系统的特征根全部具有负实部时，系统达到稳定。 2 如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则这表明系统不稳定； 3 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则 脉冲响应函数趋于常数，或者趋于等幅正弦 (余弦 )振荡，称为临界稳定。 注 2： 根据如果 ()s 极点都在 s 平面左半部分，则 暂态分量 tsc 随时间增大而衰减为 0； 如果 ()s 极点有一个都在 s 平面右半部分，则 暂态分量 tsc 随时间增大而发散。 三 、 二阶系统单位阶跃 响应及其 欠阻尼情况下 指标计算 1熟悉 二阶系统单位阶跃 响应 的 3 个对应关系， 即： 不同阻
13、尼比 类型 不同 单位阶跃 的 时间响应波形图 ()ct -不同系统稳定性 2二阶系统欠阻尼单位阶跃 响应的指标计算： 欠阻尼二阶系统上升时间、峰值时间、调节时间、超调量计算（ 公式必须牢记 ） 21p d nt 21r d nt 21( ) ( )% 1 0 0 % e 1 0 0 %()ppc t cc ， 43, 0 .0 2 , , .0 5ssnntt 或其中，阻尼角 21arctan ， 阻尼振荡频率 21dn 例 2： 2004 年考题 已知控制系统如图所示， (1) 确定使闭环系统具有 7.0 及 )/(6 sradn 的 k 值和 值； (2) 计算系统响应阶跃输入时 的超调
14、量 p 和峰值时间 pt 。 解： (1) 2222 2)6()( nnn ssksks ks ； 2 3626n n k k , 则 360.067k (2) 2 1 / 2% e x p ( 1 ) 4 . 6 % ； st dp 733.0/ 。 例 3 2006 年考题 ：已知控制系统如图所示， + - R ( s ) C ( s ) Gb rGH E ( s ) + - + + )6()(ssksG；ssH )(在 0)(br sG 时，闭环系统响应阶跃输入时的超调量 %6.4p 、峰值时间 733.0pt 秒，确定系统的 k 值和 值； 解： (1) 22 2 2() ( 6 )
15、2 n nnks s k s k s s ； + - R ( s ) C ( s ) G1 H E ( s ) + - )6()(1 ss ksG； ssH )( 5 % 4.6 % 0.70.7 33 6pnt ；则 262n nk k 则 360.067k 四、 附加闭环负实零点对系统影响 具有闭环负实零点时的二阶系统分析对系统的作用表现为： 1. 仅在过渡过程开始阶段有较大影响； 2. 附加合适的 闭环负实零点可 使系统响应速度加快，但系统的超调量略有增大； 3. 负实零点越接近虚轴，作用越强 。 五、高阶系统的时域分析 -利用闭环主导极点降阶 如果在系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的
16、闭环极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，且满足 1| Re | | 5 | Re |iss 式中， 1s 为主导极点； is 为非主导极点。 则 距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量随着时间的推移衰减得最慢，从而在系统的响应过程中起主导作用。一般闭环主导极点为共轭闭环主导极点或者一个实闭环主导极点。 六、 利用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件。 1 根据特征方程： 11 1 0( ) 0nnnnD s a s a s a s a ，则 线性系统稳定的充要条件是 劳斯表首列元素均大于零 ；首列系数符号改变次数与分布在 s 平面右半部的极点 个数相同。 2劳斯表特殊情
17、况时，系统临界稳定或者不稳定。 3 如果系统稳定，则特征方程 11 1 0( ) 0nnnnD s a s a s a s a 系数同号且不缺项； 4 利用劳斯判据判定系统稳定性 例 4: 已知系统结构图，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的 k 的取值范围。 2( 1 ) ( 2)ks s s s R ( s )- C ( s )解：2() ( 1 ) ( 2 )ks s s s s k 整理， 432() 3 3 2ks s s s s k 从高到低排列特征方程系数 列劳斯表： S4 1 3 k S3 3 2 0 S2 7/3 k S1 (14-9 k)/7 0 S0 k 如果劳斯表中第一
18、列的系数均为正值，因此， 1 4 9 0, 1 4 / 97 k k ，且 0k 。所以 0 14/9k 。 6 七、 稳态误差以及 减小或者消除稳态误差 1. 稳态误差 定义： 11l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) ( ) s s et t te e t L E s L s R s 其中，误差传递函数 ( ) 1( ) , ( ) 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) e Ess H sR s H s G s H s ， ( ) 1( ) , ( ) 1( ) 1 ( )e Ess H sR s G s 2 终值定理法求 稳态误差 如果有理函数 )(ssE 除了在原
19、点有唯一的极点外，在 s 右半平面及虚轴解析，即 )(ssE 的极点均位于 s左半平面（包括坐标原点），则根据终值定理可求稳态误差。 00( ) l i m ( ) l i m ( ) ( )ss ss esse e sE s s s R s 注 ：一般当输入是 为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时，且系统稳定时，可应用 终值定理求 稳态误差。 3 系统 型别 -定义 为开环 传递函数 在 s 平面的 积分环节个数。 11( 1 )( ) ( ) ,( 1 )miin jjKsG s H s n ms T s其中， K：系统的开环增益（放大倍数） ， 为 型别。 4基于 静态误差系数 的稳态
20、误差 -当 -输入为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时， 静态位置误差系数 00lim ( ) limp ss KK G s s，1ss pRe K 静态速度误差系数 100lim ( ) limv ss KK s G s s ， ss vRe K 静态加速度误差系数 2200lim ( ) lima ss KK s G s s ，ss aRe K要求：根据给出系统开环传递函数和输入，能用 静态误差系数能够求出稳态误差。 例 5： 如图 _ R ( s ) C (s) ( 2 )kss 求系统当 k=10, 输入为 r(t)=1.5t.时的稳态误差。 解： 开环传递函数 1 0 5() (
21、2 ) (0 .5 1 )Gs s s s s, 1 因为 r(t)=1.5t,则100li m ( ) li m 5v ss KK s G s s , 因此 1.5 0.35ss vRe K。 5 减小或者消除稳态误差的方法： a. 增大开环放大倍数（开环增益）（在保证系统稳定的前提下） b. 提高系统的型别（在保证系统稳定的前提下）。 c. 采用复合控制方法（要知道其原理）：包括输入补偿和扰动补偿两种，都可以消除稳态误差而不影响系统稳定性。 注 ：00l i m ( ) l i m ( ) ( )ss esse sE s s s R s若 ()e s 零点包含输入信号的全部极点，则系统无稳
22、态误差。同理，00l im ( ) l im ( ) ( )s s n n e nsse sE s s s N s，若 ()ens 零点包含输入信号 ()Ns 的全部极点，则系统无稳态误差。 例 6 2007 一复合控制系统如图所示。 7 -R ( s )1 ()Gs 2 ()GsC ( s )()bcGs图中： 221 1 2 12( ) , ( ) , ( )( 1 ) 1bcK a s b sG s K G s G ss T s T s K1、 K2、 T1、 T2 均为已知正值。当输入量 r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a 和 b 。 解 系统闭环传递函数为
23、 2 1 212()() ( ) 1 bcG G G GCss R s G G ，代入 221 1 212( ) , ( ) , ( )( 1 ) 1bcK a s b sG s K G s G ss T s T s 则 322 1 2 1 2 2 2321 2 1 2 1 2 1 2 2 1 21 ( ) ( 1 )()( ) 1 ( )( ) 1 ( ) ( 1 )bce GG T T s T T K a s K b sEsssR s G G T T s T T s K K T s K K （只适应于单位负反馈系统） 欲使系统闭环系统响应速度输入 3/1)( ssR 的 稳态误差为 0，即
24、 321 2 1 2 2 23 2 30 0 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2( ) ( 1 ) 1l im ( ) l im ( ) ( ) l im ( ) ( 1 )s s es s s T T s T T K a s K b se sE s s s R s s T T s T T s K K T s K K s ， ()e s 应该包含 3/1)( ssR 的全部极点。 1 2 221T T K aKb ，则2221 1KbK TTa 注 ：要求会求误差传递函数，包括扰动下的误差传递函数（一般单位反馈）。 第四章 线性系统的根轨迹法 要求： 根据给出系统结构图 -求 开环传递函数
25、 -得出 根轨迹方程 -化成 标准形式 判断根轨迹类型 -绘制根轨迹 -完成对稳定性、动态性能和稳态性能的分析。 一、 根轨迹定义： 开环系统某一参数 从 0 时， 闭环系统特征方程式的根 （闭环极点）在 s平面变化的轨迹。 注 ：根轨迹是 闭环系统特征方程式的根 的轨迹。 二、根 轨迹法中开环传递函数的标准形式 零极点形式 11()( ) ( ) ,()mjjniik s zG s H s n msp， k 称为开环系统根轨迹增益 注 ：变化的参数以规范形式 k 出现在分子上。 开环系统零极点形式表示， s 项的系数为 1； 8 三、根轨迹方程从哪里来？ - 根据闭环系统特征方程 四、 根轨
26、迹绘制的基本规则（ 180 度和 0 度）（前 8 条） 注 ： 180 度和 0 度的差别 主要是相角条件有关的不同。注：相角逆时针为正。 注 ： 注意绘制的主要步骤必须有 因有步骤分，而且要标注上前头方向 。 例 1： 某负反馈系统的开环传递函数为2 ( 2 )( ) ( ) 23ksG s H s ss ，试绘制系统的概略根轨迹。 解：要判断是 180 根轨迹还是 0 根轨迹，根据根轨迹方程 2 ( 2 )( ) ( ) 123ksG s H s ss 。标准型 180 根轨迹 1： 根轨迹的起点和终点。 起点 1 12pj ， 2 12pj （有复极点有起始角）， 2n 终点： 1 2
27、z 1m 。 2：根轨迹的分支数。 根轨迹的分支数 =开环极点数。 2n -可以省略此步 3：根轨迹的对称性和连续性 ： 根轨迹连续且对称于实轴 。 -可以省略此步 4：根轨迹的渐近线 (与实轴的交点和夹角 )。 1nm， 与实轴的夹角 0180a 负实轴。 如图： z 1p 1p 2j- 2 - 1- 3.725：根轨迹在实轴上的分布： ( , 2 是根轨迹。 6：根轨迹的起始角和终止角 (只有开环复极点，因此只有出射角 ) 001 1 1 1 21 8 0 ( ) ( ) 1 8 0 ( 1 2 2 ) ( 1 2 1 2 )p p z p p j j j 0 0 0 01 1 8 0 5
28、 4 . 7 9 0 1 4 4 . 7p ， 利用对称性，则 02 144.7p 7：根轨迹与实轴的交点（根轨迹在实轴上的分离点与分离角） 2( 2 3)2ssk s ，则 2( 2 3 ) 02d k d s sd s d s s 因此， 2 4 1 0ss ，所以 求出 123 .7 2 , 0 .2 6 8xx （舍） 8：根轨迹与虚轴的交点 。 若将 sj 代入特征方程2 ( 2)1023ksss2 2 3 ( 2 ) 0s s k s 所以令实部，虚部分别等于 0 得： 2203 2 0k k 与虚轴没有交点 9 分析系统的稳定性： 都 稳定。 五、根据根轨迹分析系统性能 -根据根
29、轨迹判断稳定性 ，求 k 值范围 ，超调量，系统型别（看根轨迹原点处开环极点的个数）等。 例 2： 2008 考题 已知系统结构图如下，要求 -R ( s )20 . 2 5 ( )( 1 )sassC ( s )E ( s )1、 绘制参数 :0a 的根轨迹 (要有主要步骤 ) （ 10 分）； 2、确定使系统稳定的 参数 a 的范围（ 2 分）； 3、确定使系 统阶跃响应无超调的 参数 a 的范围（ 2 分）； 4、确定使系统出现阶跃响应出现等幅振荡时的频率（ 1 分）。 5、确定使系统出现阶跃响应出现衰减振荡时的 参数 a 的范围（ 1 分）。 解： 1、 由题意得，系统特征方程为： 3
30、2( ) 0 . 2 5 0 . 2 5 0D s s s s a 则 20 .2 5 ( 0 .2 5 )a s s s 则根轨迹方程为： 2 0 .2 5 1( 0 .2 5 )as s s （ 2 分）。 绘制参数 :0a 的 绘制 0180 根轨迹 如下： （ 1） 根轨迹的 起点 1 0p ， 230.5pp （ 1 分），无开环有限零点； （ 2）根轨迹的分支数 3n ； （ 3） 根轨迹的渐近线 （ 1 分） ： 0m ， 3nm。 与实轴的 交点 11 0 0 . 5 0 . 5 133nmijijapznm 与实轴的夹角, 03( 2 1 ), 0 , 1 , 11,3all
31、 llnm l （ 4） 实轴上的根轨迹： ( ,0 （ 1 分） （ 5）根轨迹与实轴的分离点 （ 1 分） 2 4 ( 0 .2 5 ) 0d a d s s sd s d s 212 8 1 0ss ，求出 与实轴交点 : 1 0.5s ， 2 1/6s 。 （ 6）根轨迹与虚轴 的交点 （ 1 分） 应用劳斯稳定判据的特殊形式，列劳斯表： 32101 0 .2 51 0 .2 50 .2 5 (1 ) 00 .2 5ssasa 当 1a ， 1s 为全零行，此时构筑辅助方程 2 0.25 0s ，则 0.5sj 。 0 p1 p2,3 j j0.5 -0.5 -1/6 -j0.5 10
32、 则根轨迹如下 （ 3 分） ： 2、 01a系统稳定（ 2 分）； 3、当根轨迹在分离点 2 1/6s 处，对应的 2 1624 ( 0 .2 5 ) | 27sa s s s 则当 20 27a 阶跃响应无超调 （ 2 分） 。 4、 sj ，则 系统出现等幅振荡时的振荡频率 0.5 （ 1 分） 5、 2 0.527 a （ 1 分） 注 ： 如果是 参数根轨迹， 根据 闭环系统特征方程得出根轨迹方程，并将其 化成标准形式。 第五章 线性系统的频域分析法 第六章的基础 要求： 1） 绘制出频率响应曲线 开环幅相曲线或 开环对数渐近幅频特性曲线（ Bode 图） -补线 -应用 奈奎斯特
33、稳定判据判断系统稳定性及系统稳定的参数范围。 2） 利用开环对数幅频渐近特性确定 最小相位系统 的传递函数 一、频域分析法中 开环 传递函数的 标准形式为 11( 1 )( ) ( ) ,( 1 )mjjniiKsG s H s n ms T s 时间常数形式 二、 最小相位系统 开环幅相曲线的绘制 11( 1 )( ) ( ) , , 0 , 0 , 0( 1 )mjjijniiKsG s H s n m K Ts T s 1）极坐标图的 起点： 0l i m ( ) ( )( ) 2KKGj j ， 0(0 ) 90 2）极坐标图的 终点： ： 当 时， 1 01( 1 )l im ( ) 0 ( ) 9 0( ) ( 1 )mjjniiKjG j n mj jT 。 3）与实轴交点 Im ( ) ( ) 0G j H j - - Re ( ) ( )G j H j 4）从起点到终点的相角及与实轴交点位置共同决定曲线所在象限。 K 值变化仅改变幅相曲线 的幅值及与实轴交点的位置，不改变其形状。 注 ： 用箭头表示频率 增大的方向 。 例 1 （ P198） I 型 单位反馈控制系统 开环传递函数为 12() ( 1 ) ( 1 )KGs s T s T s ，12, , 0T T ；
