1、 机械工程测试技术基础习题解答 教材：机械工程测试技术基础，熊诗波 黄长艺主编，机械工业出版社， 2006年 9月第 3版第二次印刷。 绪 论 0-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。 解答：教材 P45， 二、法定计量单位 。 0-2 如何保证量值的准确和一致？ 解答： （参考教材 P46， 二、法定计量单位 五、量值的传递和计量器具检定 ） 1、对计量单位 做出 严格的定义； 2、 有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备； 3、必须保存有基准计量器具，包括国家基准、副基准、工作基准等。 3、必须按检定规程对 计量器具实施检定或校准，将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标准传递到工作
2、计量器具。 0-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类表示的？ 解答：（教材 P810， 八、测量误差 ） 0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。 1.0182544V7.8V (25.048940.00003)g (5.4820.026)g/cm2 解答： - 6 67 . 8 1 0 / 1 . 0 1 8 2 5 4 4 7 . 6 6 0 1 6 8 2 / 1 0 60 . 0 0 0 0 3 / 2 5 . 0 4 8 9 4 1 . 1 9 7 6 5 5 / 1 0 0.026 /5.482 4.743 0-5 何谓测量不确定度？国际计量局于 1980 年提出
3、的建议实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)的要点是什么？ 解答： (1)测量不确定度是 表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计，亦即由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度 。 (2)要点： 见教材 P11。 0-6 为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么是用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为 150V 的 0.5级电压表和量程为 30V的 1.5级电压表分别测量 25V电压，请问哪一个测量准确度高？ 解答： (1)因为 多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的 （例如，精度等级为0.2 级的电表，其引
4、用误差为 0.2%） ，而 引用误差 =绝对误差 /引用值 其中的引用值 一般 是仪表的 满度值 (或量程 )，所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越大，引起的绝对误差越大，所以在选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程。 (2)从 (1)中可知， 电表测量所带来的绝对误差 =精度等级 量程 /100，即电表所带来的绝对误差是 一定的，这样，当被测量值越大，测量结果的相对误差就越小，测量准确度就越高，所以用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用。 (3)150V的 0.5级电压表所带来的绝对误差 =0.5150/100=0.75V； 30V的 1.5级电压表
5、所带来的绝对误差 =1.530/100=0.45V。所以 30V的 1.5 级电压表测量精度高。 0-7 如何表达测量结果？对某量进行 8次测量，测得值分别为： 802.40， 802.50， 802.38， 802.48， 802.42，802.46， 802.45， 802.43。求其测量 结果。 解答： (1)测量结果 =样本平均值 不确定度 或 x sXx x n (2)81 802.448 iixx 8 21()0.04035681iixxs 0 .0 1 4 2 6 88x s 所以 测量结果 =802.44+0.014268 0-8 用米尺逐段丈量一段 10m的距离，设丈量 1m
6、 距离的标准差为 0.2mm。如何表示此项间接测量的函数式？求测此 10m距离的标准差。 解 答 ： (1) 101 iiLL(2) 210 210 .6 m miLLi iL L0-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为 0.5%，求其体积的相对标准差为多少？ 解答： 设直径 的平均值 为 d ，高 的平均值 为 h ，体积 的平均值 为 V ，则 24dhV 22 2 2 22 2 2 22222242V d h d hdhVV dh d dh VV 所以 22 224 4 (0 . 5 % ) (0 . 5 % ) 1 . 1 %V d h V d h 第一章 信号的分类与描述 1-1
7、求周期方 波 （见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出 |cn| 和 n 图，并与表 1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00( 0)2()( 0 )2TAtxt TAt 积分区间取（ -T/2， T/2） 000 0 000022020 0 021 1 1( ) d = d + d= ( c os - 1) ( = 0, 1, 2, 3, )TTjn t jn t jn tTTnc x t e t A e t A e tT T TAj n nn 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001( ) ( 1 c o s )jn t jn tnnnAx t c e j n en ，
8、= 0 , 1 , 2 , 3 , n 。 ( 1 c os ) ( = 0, 1, 2, 3, )0nInRAcnnnc 22 2 1 , 3 , ,( 1 c o s )0 0 , 2 , 4 , 6 , n n R n IA n Ac c c n nnn 1 , 3 , 5 ,2a r c ta n 1 , 3 , 5 ,20 0 , 2 , 4 , 6 ,nInnR nc ncn 没有偶次谐波。 其频谱图如下图所示。 图 1-4 周 期方波信号波形图 0 t x(t) T02 T02 0T A -A T0 1-2 求正弦信号 0( ) sinx t x t 的绝对均值x和均方根值 rm
9、sx 。 解答： 0 0 0 02 20 00 0 02 2 4 211 ( ) d s i n d s i n d c o sT TTTx x x x x x t t x tt tt tT T T T T 22 2 2 00r m s 00 0 01 1 1 c o s 2( )d s in d d2 2T T Txx tx x t t x t t tT T T 1-3 求指数函数 ( ) ( 0 , 0 )atx t A e a t 的频谱。 解 答 ： ( 2 )220 220 ( 2 )( ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2 )a j f tj f t a t j f t e A A
10、a j fX f x t e d t A e e d t Aa j f a j f a f 22() ( 2 )kXf af I m ( ) 2( ) a r c t a n a r c t a nR e ( )X f ff X f a 1-4 求符号函数 (见图 1-25a)和单位阶跃函数 (见图 1-25b)的频谱。 |cn| n /2 -/2 0 0 30 50 30 50 2A/ 2A/3 2A/5 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5 2A/3 2A/ -0 -30 -50 -0 -30 -50 单边指数衰减信号 频谱图 f |X(f)| A/a 0 (f) f 0
11、 /2 -/2 a)符号函数的频谱 10( ) sgn( ) tx t tt t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 1 0( ) sgn ( ) 0atatatetx t e t et 10( ) sgn( ) lim ( )ax t t x t02 2 211 2204( ) ( ) ( 2 )j f t a t j f t a t j f t fX f x t e d t e
12、 e d t e e d t j af 10 1( ) s g n ( ) l i m ( )aX f t X f j f F 1()Xf f 02()02fff t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 1-25 题 1-4 图 a)符号函数 b)阶跃函数 b)阶跃函数频谱 10() 00tut t 在跳变点 t=0处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不 满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数 11( ) sgn( )22u t t 1 1 1 1 1 1 1( ) (
13、 ) sg n ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2U f u t t f j f jff F F F 2 211( ) ( )2U f f f 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2： 利用冲激函数 10( ) ( )d 00t tut t 时时 根据傅里叶变换的积分特性 1 1 1 1( ) ( ) d ( ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 2tU f f f f jj f f F单位阶跃信号频谱 f |U(
14、f)| 0 (1/2) f (f) 0 /2 -/2 1( ) sgn( )atx t e t 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f (f) 0 /2 0 f |X(f)| -/2 1-5 求被截断的余弦函数 0cost (见图 1-26)的傅里叶变换。 0c o s()0 t t TxttT 解： 0( ) ( ) c o s( 2 )x t w t f t w(t)为矩形脉冲信号 ( ) 2 s in c ( 2 )W f T T f 00220 1c o s ( 2 ) 2 j f t j f tf t e e 所以002211( ) ( ) ( )22j f t j
15、 f tx t w t e w t e 根据频移特性和叠加性得： 000011( ) ( ) ( )22sin c 2 ( ) sin c 2 ( ) X f W f f W f fT T f f T T f f 可见 被截断余弦函数 的频谱等于将矩形 脉冲 的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。 也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0( ) sinatx t e t 的频谱 解 答 ： 指数衰减信号 x(t) f X(f) T f0 -f0 被截断的余弦函数频谱 图 1-26 被截断的余弦函数 t t T -T T -T x(t
16、) w(t) 1 0 0 1 -1 000 1s in ( ) 2 j t j tt e ej 所以 001() 2 j t j tatx t e e ej 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0 , 0 )atx t e a t 的 频谱密度函数 为 11 220 1( ) ( ) j t a t j t ajX f x t e d t e e d t a j a 根据频移特性和叠加性得： 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
17、a j a jX X Xj j a aaa ja a a a 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27所示。现乘以余弦型振荡 00cos ( )m t 。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0cost 叫做载波。试求 调幅信号 0( )cosft t 的傅里叶变换，示意画出 调幅信号及其频谱。又问：若 0 m 时将会出现什么情况？ 图 1-27 题 1-7 图 F() 0 f(t) 0 t -m m 0 0 X() - () 指数衰减信号的频谱图 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t ( ) ( )F f t F 000 1c o s ( ) 2
18、 j t j tt e e 所以0011( ) ( ) ( )22j t j tx t f t e f t e 根据频移特性和叠加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F 可见调幅信号的频谱等于将 调制信号 的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。 若 0 m 将发生混叠。 1-8 求正弦信号 0( ) sin ( )x t x t 的均值 x 、均方值 2x 和概率密度函数 p(x)。 解答： (1) 0000 011l im ( ) d s in ( ) d 0TTx T x t t x t tTT ，式中0 2T 正弦信号周期 (2) 00 222 2
19、 2 2 0000 0 0001 1 1 c o s 2 ( )l im ( ) d sin ( ) d d22T T Tx T xx t x t t x t ttT T T (3)在一个周期内 0 1 2 2xT t t t 0002 ( ) l im xxTTT tP x x t x x T T T 22 0 0 00 0 ( ) 2 2 d 1( ) l im l im dxxP x x t x x t tpx x T x T x xx f X(f) 0 -0 矩形调幅信号频谱 第二章 测试装置的基本特性 2-1 进行某动态压力 测量 时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/
20、MPa， 将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上 ， 记录仪的灵敏度为 20mm/V。试计算这个 测 量系统的总灵敏度 。 当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量： y=S3.5=9.093.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为 0.35s的一阶装置去测量周期分别为 1s、 2s和 5s的正弦信号，问 稳态响应 幅值误差将是多少？ 解：设一
21、阶系统 1() 1Hs s ， 1()1H j 2 211( ) ( )21 ( ) 1 ( )AHT ， T 是输入的正弦信号的周期 稳态响应 相对 幅值误差 1 1 0 0 %A ，将已知周期代入得 5 8 .6 % 1s3 2 .7 % 2s8 .5 % 5sTTT2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后 得到的稳态响应。 解： 1()1 0.0 0 5H j ，21() 1 ( 0 .0 0 5 )A ， ( ) a rc ta n (0 .0 0 5 ) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统 的频率保持性、比例性和叠加性得到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2) 其中0 1 0 1 21( 1 0 ) 0 . 5 0 . 4 9 91 (0 . 0 0 5 1 0 )y A x ， 1 (1 0 ) a r c t a n (0 . 0 0 5 1 0 ) 2 . 8 6 x(t) 正弦信号 x x+x t t t
