1、 1 习 题 一 写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量 (假定最大容量为 M). 解 (1) =正面，反面 正，反 (2) =(正、正 )， (正、反 )， (反、正 )， (反、反 ) (3) =(正 )， (反，正 )， (反，反，正 )， (4) =x； 0 x m 掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A “ 偶数点 ” ， B “ 奇数点 ” ， C “ 点数小于 5” ， D “ 小于 5 的偶数点 ” ，讨论上述各事件间的关系 . 解 .4,2
2、,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1 DCBA A 与 B 为对立事件，即 B A ； B与 D互不相容； A D， C D. 3. 事件 Ai表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务， i 1， 2， 3， B 表示至少有两个车间完成生产任务， C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 B 及 B C 的含义，并且用 Ai(i 1， 2， 3)表示出来 . 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务 . 313221 AAAAAAB B C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321 AAAAAAAAAAAAB 321
3、321321321321321321 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAC 321 AAACB 4. 如图 1 1，事件 A、 B、 C 都相容，即 ABC ，把事件 A B，A B C， AC B， C AB 用 一些互不相容事件的和表示出来 . 解 BAABA CBABAACBA CBABBAC BCACBACBAABC 5. 两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明 . 解 两个对立的事件 一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生 . 在本书第 6页例 2中 A 与 D是对立事件
4、， C与 D 是互不相容事件 . 三个事件 A、 B、 C的积是不可能事件，即 ABC ，问这三个事件是否一定互不相容 ?画图说明 . 解 不一定 . A、 B、 C 三个事件 互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相 容 .如图 1 2，事件 ABC ，但是 A 与 B相容 . 7. 事件 A与 B 相容，记 C AB， D A+B， F A B. 说明事件 A、 C、 D、 F的关系 . 图 1 1 图 1 2 2 解 由于 AB A A+B， A B A A+B， AB 与 A B互不相容，且 A AB (A B). 因此有 A C+F， C与 F互不相容， D A F，
5、A C. 8. 袋内装有 5 个白球， 3 个黑球，从 中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率 . 解 记事件 A 表示 “ 取到的两个球颜色不同 ” . 则有利于事件 A 的样本点数目 A 1315CC .而组成试验的样本点总数为 235C ，由古典概率公式有 P(A) #A 281528 1315 CCC(其中 A， 分别表示有利于 A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同 ) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率 . 解 设事件 B 表示 “ 取到的两个球中有黑球 ” 则有利于事件 B 的样本点数为25CB . 1491)(1)( 2825 CCBPBP 10. 抛掷一枚
6、硬币，连续 3次，求既有正面又有反面出现的概率 . 解 设事件 A 表示 “ 三次中既有正面又有反面出现 ” , 则 A 表示三次均为正面或三次均为反面出现 . 而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即 8，因此 43821#1)(1)( AAPAP 11. 10 把钥匙中有 3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率 . 解 设事件 A 表示 “ 门锁能被打开 ” . 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁 . 15811)(1)( 21027 CCAAPAP 从 9 题 11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便 . 12. 一副扑克牌有 52
7、张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色 . 解 设事件 A 表示 “ 四张花色各异 ” ； B表示 “ 四张中只有两种花色 ” . ，113113113113452 # CCCCA， C ） # 2132131133131224 CCCCCCB （ 105013#)( 4524 .CAAP 30006 0 4 87 4 3 66#)( 452 ）（ .CBBP 13. 口袋内装有 2 个伍分、 3个贰分， 5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚，3 求总值超过壹角的概率 . 解 设事件 A 表示 “ 取出的 5枚硬
8、币总值超过壹角 ” . )(C# 25231533123822510 CCCCCCAC ， 50252126)( .AAP 14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求 下列事件的概率： A “三次都是红球” “全红” ， B “全白” ， C “全黑” ， D “无红” ， E “无白” ， F “无黑” ， G “三次颜色全相同” ， H “颜色全不相同” ， I “颜色不全相同” . 解 33 27， A B C 1， D E F 23 8， G A B C 3， H 3！ 6， I G 24 271)()()( CPBPAP278)()()( FPEPDP98
9、2724)(,92276)(,91273)( IPHPGP 15. 一间宿舍内住有 6位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率 . 解 设事件 A 表示 “ 有 4个人的生日在同一个月份 ” . 126， A 211246 11CC 0073.0122 1 7 8 0#)( 6 AAP 16. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P )( BA . 解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB ， P(AB) 0 .1)(1)()( ABPABPBAP 17. 设事件 B A， 求证 P(B) P(A） . 证 B A P(B-A) P(B) - P(A) P(B-A) 0 P(B) P
10、(A) 18. 已知 P(A) a， P(B) b， ab0 (b 0.3a)， P(A B) 0.7a，求 P(B+A)， P(B-A)， P(B A ). 解 由于 A B 与 AB 互不相容，且 A (A-B) AB， 因此有 P(AB) P(A)-P(A-B) 0.3a P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7a b P(B-A) P(B)-P(AB) b-0.3a P(B A ) 1-P(AB) 1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率 . 解 设事件 A 表示 “ 取到废品 ” ，则 A 表示没有取到废品
11、，有利于事件 A 的样本4 点数目为 A 346C ，因此 P(A) 1-P(A ) 1-3503461 CCA 0.2255 20. 已知事件 B A， P(A) lnb 0， P(B) lna，求 a的取值范围 . 解 因 B A，故 P(B) P(A)，即 lna lnb, a b，又因 P(A) 0， P(B) 1，可得 b 1， a e，综上分析 a的取值范围是： 1 b a e 21. 设事件 A 与 B的概率都大于 0，比较概率 P(A)， P(AB)， P(A+B)， P(A)+P(B)的大小 (用不等号把它们连接起来 ). 解 由于对任何事件 A， B，均有 AB A A+B
12、 且 P(A+B) P(A) P(B)-P(AB)， P(AB) 0，因此有 P(AB) P(A) P(A+B) P(A) P(B) 22. 一个教室中有 100名 学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率 (设一年以 365 天计算 ). 解 设事件 A 表示 “ 100名学生的生日都不在元旦 ” ，则有利于 A 的样本点数目为 A 3641 0 0 ，而样本空间中样本点总数为 365100，所求概率为 1001003 6 53 6 41#1)(1)( AAPAP = 0.2399 23. 从 5副不同手套中任取 4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率 . 解 设事件 A 表示 “
13、取出的四只手套至少有两只配成一副 ” ，则 A 表示 “ 四只手套中任何两只均不能配成一副 ” . 21080#)( 410 1212121245 C CCCCCAAP62.0)(1)( APAP 24. 某单位有 92的职工订阅报纸， 93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有 85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸 . 解 设事件 A 表示 “ 任找的一名职工订阅报纸 ” ， B 表示 “ 订阅杂志 ” ，依题意P(A) 0.92， P(B) 0.93， P(B A ) 0.85 P(A B) P
14、(A) P(A B) P(A) P(A )P(B A ) 0.92 0.080 .85 0.988 P(AB ) P(A B)-P(B) 0.988 0.93 0.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀， B表示外语成绩优秀，若 P(A) P(B) 0.4， P(AB) 0.28，求 P(AB)， P(B A)， P(A B). 解 P(A B) 7.04.028.0)( )( BP ABPP(B A) 7.0)( )( APABPP(A B) P(A) P(B)-P(AB) 0.52 26. 设 A、 B 是 两个随机事件 . 0 P(
15、A) 1， 0 P(B) 1， 5 P(A B) P(A B ) 1. 求证 P(AB) P(A)P(B). 证 P ( A B ) P (A B ) 1 且 P ( A B ) P(A B ) 1 P ( A B ) P (A B ) )(1 )()()( )()( )( BP ABPAPBP BAPBP ABP P(AB) 1-P(B) P( B) P( A)-P( AB) 整理可得 P(AB) P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立 ， P( A) 0.4， P( A B) 0.7， 求概率 P (B). 解 P( A B) P(A) P(A B) P( A) P(A )
16、P( B) 0.7 0.4 0.6P( B ) P( B ) 0.5 28. 设事件 A与 B 的概率都大于 0，如果 A与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么 ? 解 因 P ( A )， P ( B )均大于 0，又 因 A与 B 独立，因此 P ( AB ) P ( A ) P ( B ) 0，故 A与 B不可能互不相容 . 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用1000 小时后，最多只坏了一个的概率 . 解 设事 件 A i 表示 “ 使用 1000 小时 后第 i 个元件 没有坏 ” ， i 1， 2， 3，显然 A1， A2， A
17、3相互独立，事件 A 表示 “ 三个元件中最多只坏了一个 ” ，则 A A1A2A3 1A A2A3 A1 2A A3 A1A2 3A ， 上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1) P(A2) P(A3) 0.8 P( A) )()(3)( 12131 APAPAP 0.83 30 .820 .2 0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3， 0.2， 0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率 . 解 设事件 A 表示 “ 任取一个零件为合格品 ” ，依题意 A表示三道工序都合格 . P(A) (1
18、 0.3)(1 0.2)(1 0.2) 0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m次才能打通的概率 (m为任何正整数 ). 解 设事件 Ai表示 “ 第 i次能打通 ” ， i 1， 2， ， m，则 P(A1) (1 0.4)(1 0.3) 0.42 P(A2) 0.58 0.42 0.2436 P(Am) 0.58m 1 0.42 32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没 有拿到自己眼镜的概率 . 解 设
19、 Ai表示 “ 第 i 人拿到自己眼镜 ” ， i 1,2,3,4. P ( Ai )41，设事件 B表示 “ 每个人都没有拿到自己的眼镜 ”. 显然 B 则表示 “ 至少有一人拿到自己的眼镜 ” . 且 B A1 A2 A3 A4. P(B ) P(A1 A2 A3 A4) 41 41 41 4321 )()()()(i ji kji kjiiii AAAAPAAAPAAPAp 6 P(AiAj) P(Ai)P(Aj Ai) = )41(1213141 jiP(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj Ai)P(Ak AiAj) =413121 241（ 1 i j k 4） P(A1A2A3A4
20、) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P (A4 A1A2A3) =2411213141 85241241121414)( 3424 CCBP83)(1)( BPBP33. 在 1， 2， ， 3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am “ 该数可以被 m 整除 ” ， m 2， 3，求概率 P(A2A3)， P(A2 A3)， P(A2 A3). 解 依题意 P(A2)21， P(A3)31P(A2A3) P(A6)61P(A2 A3) P(A2) P(A3) P(A2A3) 32613121 P(A2 A3) P(A2) P(A2A3)316121 34. 甲、乙、
21、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8，0.7， 0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中 . 解 设事件 A、 B、 C 分别表示 “ 甲投中 ” 、 “ 乙投中 ” 、 “ 丙投中 ” ，显然 A、 B、 C相互独立 .设 Ai表示 “ 三人中有 i人投中 ” ， i 0,1,2,3,依题意， )()()() ()( 0 CPBPAPCBAPAP 0.2 0.3 0.4 0.024 P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80 .70 .6 0.336 P(A2
22、)=P(ABC ) P(AB C) P(A BC) =0.80 .70 .4 0.80 .30 .6 0.20 .70 .6 0.452 (1) P(A1) 1 P(A0) P(A2) P(A3) 1 0.024 0.452 0.336 0.188 (2) P(A0 A1) P(A0) P(A1) 0.024 0.188 0.212 (3) P(A B C) P(0A ) 1 P (A0) 0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4及 0.5，问谁先投中的概率较大，为什么 ? 解 设事件 A2n-1B2n分别表示 “ 甲在第 2n 1次投中 ” 与 “ 乙
23、在第 2n 次投中 ” ，显然A1， B2， A3， B4， 相互独立 .设事件 A表示 “ 甲先投中 ” . )()()()( 543213211 ABABAPABAPAPAP 0 . 40 . 5 )( 0 . 60 . 40 . 50 . 60 . 4 2 7 743.01 4.0 计算得知 P(A) 0.5， P(A ) 0.5，因此甲先投中的概率较大 . 36. 某高校新生中，北京考生占 30，京外其他各地考生占 70， 已知在北京学生中，以英语为第一外语的占 80，而京外学生以英语为第一外语的占 95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率 . 解 设事件 A 表
24、示 “ 任选一名学生为北京考生 ” ， B 表示 “ 任选一名学生，以英语为第一外语 ” . 依题意 P(A) 0.3， P(A ) 0.7， P(B A) 0.8， P(B A )0.95. 由全概率公式有 P(B) P(A)P(B A) P(A )P(B A ) 0.30 .8 0.70 .95 0.905 37. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4 ， 2 ，5 ，求 A 地的甲种疾病的发病 率 . 解 设事件 A1， A2， A3分别表示从 A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，
25、易见 A1， A2， A3两两互 不相容，其和为 . 设事件 B 表示 “ 任选一名居民其患有甲种疾病 ” ，依题意： P(A1) 0.45， P(A2) 0.35， P(A3) 0.2， P(B A1) 0.004， P(B A2) 0.002， P(B A3) 0.005 31 )|()(i ii ABPAP 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这 个机床停机的概率 . 解 设事件 A 表示 “
26、机床加工零件 A” ，则 A 表示 “ 机床加工零件 B” ，设事件 B表示 “ 机床停工 ” . )|()()|()()( ABPAPABPAPBP 37.0324.0313.0 39. 有编号为 、 、 的 3个口袋，其中 号袋内装有两个 1 号球， 1个 2 号球与 1个 3 号球， 号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3号球， 号袋内装有 3个 1 号球与两个 2 号球，现在先从 号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球 ，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么 ? 解 设事件 Ai表示 “ 第一次取到 i 号球 ” ， Bi表示第二次取到 i 号
27、球， i 1， 2，3.依题意， A1， A2， A3构成一个完全事件组 . 41)()(,21)( 321 APAPAP41)|()|(,21)|( 131211 ABPABPABP41)|()|(,21)|( 232221 ABPABPABP61)|(,31)|(,21)|( 333231 ABPABPABP8 应用全概率公式 31 )|()()( i ijij ABPAPBP可以依次计算出4811)(,4813)(,21)( 321 BPBPBP. 因此第二次取到 1号球的概 率最大 . 40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5 (即一个甲种疾病患者，经此
28、检验法未查出的概率为 5 )；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率 . 解 设事件 A表示 “ 受检人患有甲种疾病 ” ， B表示 “ 受检人被查有甲种疾病 ” ，由37 题计算可知 P(A) 0.0035，应用贝叶斯公式 )|()()|()( )|()()|( ABPAPABPAP ABPAPBAP 01.09965.095.00035.0 95.00035.0 25.0 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依
29、次为 94， 90， 95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率 . 解 设事件 A1， A2， A3分别表示 “ 受检零件为甲机床加工 ” ， “ 乙机床加工 ” ， “ 丙机床加工 ” ， B 表示 “ 废品 ”， 应用贝叶斯公式有 3 1 111 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP 7305020103006.05.0 06.05.0 .74)|(1)|( 11 BAPBAP42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为 5，15， 30， 50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100，70
30、， 60与 90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率 . 解 设事件 A1， A2， A3， A4分别表示外出人 “ 乘坐飞机 ” ， “ 乘坐火车 ” ， “ 乘坐轮船 ” ， “ 乘坐汽车 ” ， B表示 “ 外出人如期到达 ” . 4 1 222 )|()()|()()|(i ii ABPAPABPAPBAP 1.05.04.03.03.015.0005.0 3.015.0 =0.209 43. 接 39 题，若第二次取到的是 1号球，计算它恰好取自 号袋的概率 . 解 39 题计算知 P(B1)21，应用贝叶斯公式 2121 2121)()|()()|(111111 BPABP
31、APBAP 44. 一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已9 知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率 . 解 设事件 Ai表示一箱中有 i件次品， i 0, 1, 2. B表示 “ 抽取的 10件中无次品 ” ，先计算 P ( B ) 2 0 101 0 01098101 0 01099 )1(31)|()()( i ii CCCCABPAPBP 37.0)(3 1)|( 0 BPBAP 45. 设一条昆虫生产 n 个卵的概率为 e!np nn n=0, 1, 2, 其中 0，
32、又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0 p 1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k条虫的概率是多少 ? 解 设事件 An “ 一个虫产下几个卵 ” ， n 0， 1， 2 .BR “ 该虫下一代有 k 条虫 ” ， k 0， 1， .依题意 e!)( npAP nnn nkqpCnkABPknkknnk 00)|( 其中 q=1 p. 应用全概率公式有 kn nknn nknk ABPAPABPAPBP )|()()|()()( 0 lnknkn qpknk nn !)(! !e! knknk kn qkp !)( )(e!)( 由于 qknknknkn kn qkn q
33、e!)( )(!)( )(0，所以有 ,2,1,0e)(ee!)()( kkpkpBP ppqkk 10 习 题 二 1. 已知随机变量 X 服从 0 1分布，并且 PX0 0.2，求 X的概率分布 . 解 X 只取 0 与 1两个值， PX 0 PX 0 PX 0 0.2， PX 1 1 PX 0 0.8. 2. 一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数 X的概率分布 . 解 X 可以取 0, 1, 2 三个值 . 由古典概型公式可知 )2,1,0(220 2155 mCCCmXP mm 依次计算得 X 的概率分布如下表所示： X 0
34、1 2 P 3821 3815 382 3. 上题中若采用重复抽取，其他 条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X件，求随机变量 X的概率分布 . 解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 169430 2 XP 16643411 12 CXP 161412 2 XP 4. 第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X的概率分布 . 解 X 可以取 1, 2, 可列个值 . 且事件 X = n表示抽取 n 次， 前 n 1 次均未取到优质品且第 n次取到优质品，其概率为4143 1 n. 因此 X 的概率分布为 ,2,14341 1 nnXP n 5. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球， 3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布 . (1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值 . 4491191232431 XPXP 2 2 091091121233 XP
