1、 10 第二章 控制系统的数学模型 练习 题及答案 2-1 试建立 图 2-27所示各系统的微分方程 。 其中外力 )(tF ，位移 )(tx 和电压 )(tur 为输入量；位移 )(ty 和电压 )(tuc 为输出量； k （弹性系数）， f （阻尼系数）， R （电阻）， C （电容）和 m （质量）均为常数 。 解 （ a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()( dt ydmdtdyftkytF 整理得 )(1)()()(22 tFmtymkdt tdymfdt tyd （ b） 如图解 2-1(b)所示
2、，取 A,B两点分别进行受力分析。对 A点有 )()( 111 dtdydtdxfxxk （ 1） 对 B点有 ykdtdydtdxf21 )( （ 2） 联立式（ 1）、（ 2）可得： dtdxkk kykkf kkdtdy 21 121 21 )( 11 (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11)(11 sUsIcsRcsRsU cr （ 3） 2)()( RsUcsI （ 4） 联立式（ 3）、（ 4），可解得： CsRRRR CsRRsU sU rc 2121 12 )1()( )( 微分方程为 : rrcc uCRdtduuRCR RRdtdu 121 21 1(d) 由图解 2
3、-1（ d）可写出 CssIsIsIRsUcRRr 1)()()()( （ 5） )()(1)( sRIsRICssI cRc （ 6） CssIsIRsIsU cRcc 1)()()()( （ 7） 联立式（ 5）、（ 6）、（ 7），消去中间变量 )(sIC 和)(sIR ，可得： 13 12)( )( 222222 R C ssCR R C ssCRsU sU rc微分方程为 rrrccc uRCdtduCRdtduuRCdtduCRdtdu 22222222 1213 2-2 试证明 图 2-28中所示的力学系统 (a)和电路系统 (b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解 (a
4、) 取 A、 B两点分别进行受力分析，如图12 解 2-2(a)所示。对 A点有 )()()( 1122 yyfyxfyxk (1) 对 B点有 1111 )( ykyyf (2) 对式（ 1）、（ 2）分别取拉氏变换，消去中间变量 1y ，整理后得 )()(sXsY= 21 2 1 21 2 1 221 2 1 2 21 2 1 2 1( ) 1( ) 1f f f fssk k k kf f f f fk k k k k (b) 由图可写出 sCRsUc221)(= sCRsCRsCRsU r111112 111)(整理得 )()(sUsUrc= 1)( 1)( 21221122121 2
5、21122121 sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR比较两系统的传递函数，如果设 1 1 2 2 1 1 2 21 , 1 , , ,R k R k C f C f 则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。 2-3 假设某容器的液位高度 h 与液体流入量 rQ 满足方程rQShSdtdh 1 ， 式中 S 为液位容器的横截面积， 为常数。若 h 与 rQ 在其工作点 ),( 00 hQr 附近做微量变化，试导出 h 关于 rQ 的线性化方程。 解 将 h 在 0h 处展开为泰勒 级数并取一次近似 hhhhdt hdhh h 000 2 1| 0 （ 1） 代入原方程可得 )(1
6、)2 1()( 0000 rr QQShhhSdt hhd （ 2） 在平衡工作点处系统满足 13 000 rQhdtdh （ 3） 式（ 2），（ 3）相减可得 h 的线性化方程 rQhhdthdS 02 2-4 试求 图 2-29所示各信号 )(tx 的象函数 )(sX 。 解 （ a） )(2)( 0tttx )(sX = stess0212 （ b） )()()()( 321 ttcttcbttabatx )(sX = )()(1 321 ststst ceecbeabas （ c） )(tx = )(4)2(4)2(442222 TtTTtTTtTtT )21(4)( 222 Tss
7、T eesTsX 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数 。 (1) 1)( sesX s (2) )3()2( 1)( 3 ssssX(3) )22( 1)( 2 sss ssX解 (1) 1)( tetx 14 (2) 原式 )3(3 124 1)2(8 3)2(4 1)2(2 1 23 sssssx（ t） 241318344 32222 tttt eeetet (3) 原式 1)1(1211)1(12121222121222 ssssssss )(tx )co s(sin2121 tte t 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tt eetc 221)( ，试求系统的传递函数
8、和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有 ssR 1)( ，依题意 sss sssssC 1)2)(1( 2311221)( )2)(1( 23)( )()( ss ssR sCsG tt eessLsGLtk 211 42411)()(2-7 已知系统传递函数 232)( )( 2 sssR sC，且初始条件为 1)0( c ， 0)0( c ，试求系统在输入 )(1)( ttr 作用下的输出 )(tc 。 解 系统的微分方程为 )(2)(2)(3)(22 trtcdt tdcdt tcd （ 1） 考虑初始条件，对式（ 1）进行拉氏变换，得 ssCssCssCs 2)(23)(3)(2 （ 2
9、） 22141)23( 23)( 22 ssssss sssC tt eetc 2241)( 2-8 求 图 2-30所示各有源网络的传递函数)()(sUsUrc。 15 解 (a) 根据运算放大器 “虚地 ”概念，可写出 12)( )( RRsU sUrc (b) 22112211111122 )1)(1(111)()(sCCRsCRsCRsCRsCRsCRsUsUrc (c) )1(11)()(212122CsRRRRCsRCsRsUsUrc 2-9 某位置随动系统原理框图如 图 2-31所示，已知电位器最大工作角度 mQ 3300，功率放大器放大系数为 3k 。 （ 1） 分别求出电位器
10、的传递函数 0k ，第一级和第二级放大器的放大系数 1k ， 2k ； （ 2） 画出系统的结构图； （ 3） 求系统的闭环传递函数 )()( sQsQ rc 。 16 解 (1) 电位器的传递函数 111 8 01 8 03 3 030 0000mQEK 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 31010 1030331 K， 21010 1020332 K(2) 可画出系 统结构如图解 2-9所示： (3) )1(11)1()()(3210323210sTsKKKKKsTKKKKsTsKKKKKsQsQmmmtmmmrc 11132103223210sKKKKK KKKKs
11、KKKKK Tmtmmm2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如 图 2-32所示，试求闭环传递函数 )()( sQsQ rc 。 解 经结构图等效变换可得闭环 系统的传递函数 68.0)42.018.1()7.09.0( )6.0(7.0)( )( 23 sKsKs ssQ sQ rc17 2-11 已知系统方程组如下： )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(sRsC。 解 系统结构图如图解 2-11所
12、示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环 传递函数为 843217432154363243211)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGGsR sC 2-12 试用结构图等效化简求 图 2-32所示各系统的传递函数)()(sRsC。 18 解 （ a） 所以： 432132432143211)( )( GGGGGGGGGG GGGGsR sC （ b） 所以： HGGGsR sC 2 211)( )( （ c） 19 所以： 32132213211)( )( GGGGGGG GGGsR sC （ d） 所以： 2441321232121413211)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGsR sC （ e） 所以： 232121213214 1)( )( HGGHGHGG GGGGsR sC
