1、一、单项选择题 (只有一个选项正确，共 8 道小题 ) 1. 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。 (A) 1 2 ， 2 3 ， 3 1 (B) 1 ， 2 ， 3 + 1 (C) 1 ， 2 ， 2 1 3 2 (D) 2 ， 3 ， 2 2 + 3 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： B 解答参考： A中的三个向量之和为零，显然 A线性相关； B中的向量组与 1， 2， 3 等价 , 其秩为 3， B 向量组线性无关； C、 D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。 2. (A) 必有一列元素全为 0； (B) 必有两列元素对应成
2、比例； (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 3. 矩阵 ( 0 1 1 1 2 ,0 1 1 1 0 ,0 1 3 1 4 ,1 1 0 1 1 ) 的秩为 ( )。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 4. 若矩阵 ( 1 a 1 2, 1 1 a 2 ,1 0 1 2 ) 的秩为 2,则 a 的值为 。 (A) 0 (B) 0或 -1 (C) -1 (D) -1 或 1 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案：
3、 B 解答参考： 5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 8 x 2 x 3，则 f 的矩阵为 。 (A) ( 2 4 0 0 5 8 0 0 5 ) (B) ( 2 4 0 0 5 4 0 4 5 ) (C) ( 2 2 0 2 5 4 0 4 5 ) (D) ( 2 4 0 4 5 4 0 4 5 ) 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 6. 设 A、 B 为 n 阶方阵，且 A 与 B 等价， | A |=0 ，则 r(B) (A) 小于 n (B) 等于 n (C) 小于等于
4、 n (D) 大于等于 n 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： A 解答参考： 7. 若矩阵 1 2 2 3 ,1 1 3 ,1 0 2 3 的秩为 2,则 的取值为 (A) 0 (B) -1 (C) 2 (D) -3 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是 (A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： B 解答参考： 二、判断题 (判断正误，共 6 道小题 ) 9. 设 A ,B 是同阶方阵，则 AB=BA
5、 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 10. 若 A 是方阵，则 | A |=| A T | 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确 解答参考： 11. 如果矩阵 A 与 B 等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 反例： A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ， B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 12. 非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 13. 若 A、 B 是 n 阶非零方阵，
6、且 AB=0 ，则 | A |0 或者 | B |0 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 14. 设 =0 是 n 阶方阵 A 的特征值，则方程组 Ax=0 有非零解。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确 解答参考： （注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。 ) 三、主观题 (共 12 道小题 ) 15. 设 1 =( 6 2 0 4 ) , 2 =( 3 1 5 7 ) ，则 3 1 2 2 = 参考答案： 3 1 2 2 =( 24 8 10 2 ) 16. 设 =( 1 1 0
7、) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 AB= 参考答案： AB=( 0 14 ) 17. 参考答案： 1/3， 35 18. 是线性 _的，它的一个极大线性无关组是 _。 参考答案： 相关（因为向量个数大于向量维数）。 1 , 2 , 4 。 因为 3 =2 1 + 2 ,A=| 1 2 4 | 0 。 19. 时，此方程组只有零解。 参考答案： r=n 时，此方程组只有零解。 20. 是分块对角矩阵，其中参考答案： (2n+1)! 21. 参考答案： | AB |=8 22. 参考答案： a 1/ 2 23. 为标准形。 参考答
8、案：24. 参考答案：25. 参考答案：26. 用正交变换化二次型 为标准型，并求出所用的正交变换及 f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？ 参考答案：本次作业是本门课程本学期的第 3 次作业，注释如下： 一、单项选择题 (只有一个选项正确，共 8 道小题 ) 1. 设 A 为 n 阶方阵，且 A2+A5E=0,则 (A+2E)1=( )。 (A) AE (B) A+E (C) 1 3 ( AE ) (D) 1 3 ( A+E ) 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： A 2 +A5E=0A 2 +A2E=3E( A+2E )(AE)=3E ( A+2E ) 1
9、= 1 3 (AE) 2. 若 n 维向量 1 ， 2 ， , n 线性相关， 为任一 n 维向量，则 ( )。 (A) 1 , 2 , n ,线性相关； (B) 1 , 2 , n ,线性无关； (C) 一定能由 1 , 2 , n 线性表示； (D) 1 , 2 , n ,的相关性无法确定。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： A 解答参考： 3. 设线性方程组 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 3 x 2 2 x 3 =1 则此方程组 。 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系 你选择的答案：
10、 未选择 错误 正确答案： A 解答参考： 4. 设 n维向量组 1, 2, s,若任一 维向量都可由这个向量组线性表出 ,必须有 。 (A) s= n (B) s n (D) s n 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： D 解答参考： 5. 设 1 , 2 , 3 , , 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 | 1 , 2 , 3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，则 4 阶行列式 | 1 , 2 , 3 , + |= (A) a+b (B) ab (C) ab (D) ba 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 6. 设 B,C 为 4 阶矩
11、阵， A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的解，则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C 都不对 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： B 解答参考： 7. 设 n 维列向量 = ( 1 2 ,0,0, 1 2 ) T ，矩阵 A=I T ， B=I+2 T ，则 AB= (A) 0 (B) I (C) I (D) I+ T 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考： 8. (A) (B) (C) (D) 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： D 解答参考： 二、判断
12、题 (判断正误，共 5 道小题 ) 9. 设 A ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 10. n 维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 2 , 3 , 4 线性无关。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 11. 若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 一定有无穷多解。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考： 12. 若 A ,B 均为 n 阶方阵，则当 | A | B | 时， A ,B 一定不相似。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确
13、解答参考： 相似矩阵行列式值相同 13. 设 A 是 mn 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解，则 mn 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确 解答参考： （注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。 ) 三、主观题 (共 12 道小题 ) 14. 设 A 是 mn 矩阵 , B 是 pm 矩阵，则 A T B T 是 阶矩阵。 参考答案： A T B T 是 n p 阶矩阵。 15. 由 m 个 n维向量组成的向量组，当 m n 时，向量组一定线性相关。 参考答案： mn 时向量组一定线性相关 16. 参考答案：
