1、第 1 页 共 21 页 2016 年江苏卷数学高考试题 一、 填空题：本大题共 14 个小题 ,每小题 5分 ,共 70分 .请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 1 , 2 , 3 , 6 , | 2 3 ,A B x x 则 =AB_. 【答案】 1,2 【解析】 试题分析： 1 , 2 , 3 , 6 | 2 3 1 , 2 A B x x 考点：集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小 .一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合 运算有关概念及法则的理解 .
2、2. 复数 (1 2i)(3 i),z 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 _. 【答案】 5 【解析】 试题分析： (1 2 )(3 ) 5 5z i i i ， 故 z 的实部是 5 考点： 复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题 .首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , , . ) a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 ( , )a bi a b R的实部为 a 、虚部为 b 、模为 22ab、共轭为 .a
3、bi 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 22173xy的焦距是 _. 【答案】 210 考点：双曲线性质 【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键： 22 1( 0 , 0 )xy abab 揭示焦点在 x 轴，实轴长为 2a ，虚轴长为 2b ，焦距为2222c a b，渐近线方程为 byxa ，离心率为 22c a baa 第 2 页 共 21 页 4. 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 _. 【答案】 0.1 【解析】 试 题分析： 这组数据的平均数为 1
4、( 4 . 7 4 . 8 5 . 1 5 . 4 5 . 5 ) 5 . 15 ，2 2 2 2 2 21 ( 4 . 7 5 . 1 ) ( 4 . 8 5 . 1 ) ( 5 . 1 5 . 1 ) ( 5 . 4 5 . 1 ) ( 5 . 5 5 . 1 ) 0 . 15S 故 答案应填： 0.1， 考点： 方差 【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题 .认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力 . 5. 函数 y=
5、232xx-的定义域是 . 【答案】 3,1 考点：函数定义域 【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路 .列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起 . 6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 . 【答案】 9 【解析】 试题分析： 第一次循环： 5, 7ab， 第二次循环： 9, 5ab， 此时 ab 循环结束 9a ， 故 答案应填： 9 考点：循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 .先明晰算法及流程图的相关概念，包括
6、选第 3 页 共 21 页 择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 . 7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 【答案】 5.6考点：古典概型概率 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题 .江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法 .因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时
7、，往往采取计数其对立事件 . 8. 已知 na 是等差数列， Sn 是其前 n 项和 .若 21 2 53,S =10aa ，则 9a 的值是 . 【答案】 20. 【解析】由 5 10S 得 3 2a ，因此 2 92 2 ( 2 d ) 3 3 , 2 3 6 2 0 .d d a 考点： 等差数列性质 【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可 .为使问题易于解决，往往要利用等差 数列相关性质，如 *1( ) ( ) , ( 1 , )22n m tn n a a n a aS m t n m t n N 、 、及等差数列
8、广义通项公式 ( ) .nma a n m d 9. 定义在区间 0,3 上的函数 sin2yx 的图象与 cosyx 的图象的交点个数是 . 【答案】 7 【解析】由 1sin 2 c os c os 0 sin2x x x x 或，因为 0,3 x ，所以 3 5 5 1 3 1 7, , , , , , ,2 2 2 6 6 6 6x 共 7 个 考点：三角函数图像 【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度 . 10.
9、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 22 1( )xy abab 0 的右焦点，直线 2by 与椭圆交于 ,BC两点，且 90BFC,则该椭圆的离心率是 . 第 4 页 共 21 页 【答案】 63考点：椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ,ac，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 ,ac的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 ,ac的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值 . 11. 设 ()fx是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1) 上， , 1 0 ,() 2, 0 1,5x
10、a xfx xx 其中 .aR 若 59( ) ( )22ff ，则 (5)fa的值是 . 【答案】 25【解析】 5 1 9 1 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 5 5f f f f a a ， 因此 32( 5 ) ( 3 ) (1 ) ( 1 ) 155f a f f f 考点：分段函数，周期性质 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么 .函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上 .解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值 . 12. 已知实数
11、,xy满足2 4 02 2 03 3 0xyxyxy ，则 22xy 的取值范围是 . 【答案】 4 ,135 考点：线性规划 第 5 页 共 21 页 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直 线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围 . 13. 如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， ,EF是 ,AD上的两个三等分点， 4BC CA， 1BF CF ，则 BECE 的值是 . 【答案】 78【解析】因为 2 2 2 24 3 6 4
12、44A O B C F O B CB A C A , 224 14F O B CB F C F , 因此 225 13, BC82FO ， 2 2 2 24 1 6 74 4 8E O B C F O B CB E C E 考点：向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种 实质相同，坐标法更易理解和化简 . 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论： 224 4AO BCBA CA 14. 在锐角三角形 ABC 中，若 sin 2 sin sinA B C ，则
13、 tan tan tanA B C的最小值是 . 【答案】 8. 考点： 三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消 元依据是本题突破口，斜三角形 ABC 中恒有 ta n ta n ta n ta n ta n ta nA B C A B C ，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 .请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演第 6 页 共 21 页 算步骤 .） 15. （本小题满分 14 分）
14、在 ABC 中， AC=6， 4 cos .54BC=，（ 1）求 AB 的长； （ 2）求 cos(6A- )的值 . 【答案】（ 1） 52(2) 7 2 620【解析】 试题分析：（ 1）利用同角三角函数关系求 3sin5B ，=再利用正弦定理求26s in 2 5 2 .3s in5A C CABB (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求 7 2 2s i n s i n ( ) , c o s c o s ( )1 0 1 0A B C A B C ，最后根据两角差余弦公式 求 7 2 6co s(A )6 2 0 ，注意开方时正负取舍 . 试题解析： 解（ 1）因为 4cos ,
15、 0 ,5BB 所以 2243s in 1 c o s 1 ( ) ,55BB 由正弦定理知sin sinAC ABBC，所以26s in 2 5 2 .3s in5A C CABB 考点： 同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换 .角的 变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对 开方时正负取舍是解题正确的保证 . 16. (本小题满分 14 分 ) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B
16、1C1 中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 11BD AF ，第 7 页 共 21 页 1 1 1 1AC AB . 求证：（ 1）直线 DE平面 A1C1F； （ 2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】（ 1）详见解析（ 2）详见 解析 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 【名师点睛】 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 . 第 8 页 共 21 页 (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 . (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 . (4)证明面面垂直，需转化为证明线
17、面垂直，进而转 化为证明线线垂直 . 17. （本小题满分 14 分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 1 1 1 1P ABCD ，下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D (如图所示 )，并要求正四棱柱的高 1PO 的四倍 . （ 1）若 16 , PO 2 ,AB m m则仓库的容积是多少？ （ 2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（ 1） 312（ 2） 1 23PO 第 9 页 共 21 页 考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 【名师点睛】对应用题的 训练，一般从读题、审题
18、、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法 .而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握 . 18. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 22: 1 2 1 4 6 0 0M x y x y 及其上一点 (2,4)A （ 1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 6x 上，求圆 N 的标准方程； （ 2）设平行于 OA的直线 l 与圆 M 相交于 ,BC两点，且 BC OA ,求直线 l 的方程； （
19、 3）设点 (,0)Tt 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ,使得 ,TA TP TQ,求实数 t 的取值范围。 第 10 页 共 21 页 【答案】（ 1） 22( 6) ( 1) 1xy （ 2） : 2 5 2 1 5l y x y x 或 （ 3） 2 2 2 1 2 2 2 1t (2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为 40220 . 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 2 6 7 5 .55mmd 因为 222 4 2 5 ,B C O A 而 222 ,2BCM C d 所以 2525 55m ，解得 m=5 或 m=-15. 故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.
