1、1关于“比和比例”的质疑与困惑编者按：马海滨老师在教学“比和比例”有关内容后，对学生提出的质疑和感到困惑的问题进行了整理，并发表了自己的意见。本刊特刊登相关文章，热忱欢迎大家来稿参与讨论。 笔者仅是一名小学数学教师，对数学教材中的概念、定义的科学性自然很难下准确的判断，提出修改建议更显知识与能力上的不足。可是，二十多年的一线教学实践，又常常让教师无法回答学生的一些质疑。在一次教材分析研讨会上，笔者整理了一些有关“比和比例”的问题，引起了与会教师与教研员的关注，成了大家的共同困惑，想借贵刊一角，讨教同仁与专家。 一、关于“比”的定义 许多小学数学教材都是把比定义为“两个数相除又叫做两个数的比”
2、。对此，学生往往有诸多质疑。 1.既然两数相除又叫做两数的比，我们已经学过除法，为什么还要学习比？ 这是学生在学习“比的意义”第一课时后的质疑。人教版教材在下定义之前，举的实例是：杨利伟在航天飞船上展示的联合国旗与中国国旗的长 15cm、宽 10cm，可以用除法表示长是宽的几倍或宽是长的几分之几，有时我们也把这两种数量关系说成长和宽的比是 15 比 10 或者宽与长的比是 10 比 15。教师另外提供的实例往往也是类似教材上的一组定量2之间的相除关系。最后得出“两数相除又叫做两个数的比” 。这些实例无疑佐证了学生的质疑，教师往往无言以对，或者无奈地告诉学生比与除法是有不同的，只要继续学习下去，
3、就会明白比在数学上会很有用。 2. 235 是比吗？为什么不是两个数相除？连比是连除吗？ 人教版六年级上册第 50 页有一道练习题：水泥、沙子和石子的比是235，要搅拌 20 吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少吨？通过练习，学生反过来会告诉教师，235 好像不是两数相除或几个数相除的关系，只是表示水泥、沙子和石子三种量始终要保持的一种比例关系。教师除了肯定与表扬学生之外，往往不知道该不该跟学生讨论比例还是一个六年级下册将要学习的新知识。 3.第一组男生 5 人、女生 4 人，男女生之比是 54，我们第二组男生 9 人、女生 0 人，为什么男女生之比不能是 90 呢？ 作为教师当然会告诉
4、学生，比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母，均不能为 0，否则没有意义。9 是 0 的几倍，把 9 平均分成 0 份，确实是没有意义，可是两组男女生人数关系雷同，为什么它们的相比关系却有一个没有意义？如果说第二组男女生人数之比 90 没有意义，那么第一组男女生人数之比 54，又有什么意义呢？况且，若体育比赛中男生共打进 5 个球，女生共打进 4 个球，比赛结果为 54，这个比与不是变量的男女生人数之间的比的含义，又有什么本质区别呢？试想，教师对这个质疑的理答又有多强的说服力呢？ 因此，笔者始终认为，比不仅仅是两数相除的关系，而应该是几个变量之间始终保持不变的一种倍率关系。如果这种说法成立的
5、话，比的3含义不是跟比例的含义差不多了吗？怎么办？ 二、关于“比例”的定义 小学数学教材上是这样定义比例的：表示两个比相等的式子叫做比例。对此，学生同样会出现很多的质疑。 1.正比例可以用=k（一定）表示，正比例是表示两个比相等的式子吗？ 表面上看好像只有一个比，而非两个比相等的式子；细细思考，又好像是表示很多比值相等的比，而非仅表示两个比相等。如何让学生理解这里所说的两个比其实是指很多比值相等的比呢？ 2.反比例可以用 xy=k（一定）表示，为什么反比例不仅没有表示两个比相等的式子，而且连表示两个数相除的比都没有呢？ 关于正比例与反比例，笔者利用教材上的实例，整理了一张分析对照表（见下表）
6、。 表中的“变式”正是教材直接呈现给学生的知识，其中的反比例式子最容易引起学生的质疑。笔者认为，无论正比例还是反比例的含义都还是上表中的“原型通式”更直观，更利于学生对比例的理解。 另外， “原型通式”中的两个比例式均是同类量的比，而“变式”中的正比例式子却是一组非同类量的比，这正好是特级教师王永所极力反对的，他始终认为比应该是同类量之间的比。笔者不完全认同王老师的观点，只是想说明这里的“原型通式”本来就是同类量之间的比。 三、关于“比和比例”的相互关系 人教版小学数学教材上的比和比例有各自清晰的定义：比就是两个4数相除，比例就是两个比相等的式子。前者是一种相除关系，后者是一个等式，而且后者有
7、包含前者之意。可是，两者的关系一直让人不得不去质疑。 1.“将 100 克水按照 23 分开各是多少”这样的分配方式到底叫按比例分配，还是叫按比分配？这到底是比的应用，还是比例的应用呢？笔者发现，早期人教版与浙教版教材，均叫做按比例分配，且目前很多老教师都习惯于这样的说法。可是，学生在学习这种分配方式之前仅仅学习过比的有关知识，根本没有接触过比例一词，那为什么教材要称之为按比例分配呢？也许正因这一质疑，某特级教师将此公开课的课题改为“按比分配” ，现行的人教版教材称之为“比的应用” 。当初对此更改颇觉有理，后细想还是按“比例分配”更为合理，因为这种分配的过程与结果中均要遵循比值一定，也就是说分
8、配结果的比与分配要求的比，一定要成比例关系。如果这个分配方式一定要说是比的应用，那么日后所谓的比例应用其实都应该叫比的应用。 2.“图上距离与实际距离的比叫做比例尺” ，是不是应该叫做“比尺”？这个为什么不是比的应用而是比例的应用呢？ 过去的教材有关比例尺知识的教学是安排在比的教学之后、比例的教学之前，这就很容易让人产生比例尺与比例的先后学习顺序倒置的感觉。也许正是这个原因，现行人教版教材将比例尺有关内容调整到比例的教学之后，置于比例的应用一节中。可是，不管置于何处，比例尺还是图上距离与实际距离的比，它还是一个比，而非教材所说的表示两个5比相等的式子即比例，求图上距离或实际距离的计算，实质上就
9、是根据比例尺（即一个指定的比）分配相应的数值而已，与比例分配本质相同，为什么它却是属于比例的应用而非比的应用呢？ 比的应用与比例的应用很难分清楚，而且是否有必要分清楚呢？比和比例的定义及关系真的像教材中所述那样清晰吗？ 笔者认为，比和比例的应用不容易分清楚的主要原因是，比和比例有着密不可分的联系，都是指几种关联的变量之间的倍率关系，也就是比例关系或者比的关系。 数学与生活有着紧密的联系，但是也有着本质的区别。在现实生活中，比的关系其实就是比例的关系。例如，按照 43 的比例关系（其实是比）配置一种由某两种物质组成的混合物，这里的 43 到底是比还是比例呢？笔者认为一般的成年人都很难分清，且也没
10、有必要分清楚，而我们是否要求学生分清楚呢？ 四、关于“比和比例”的教材 1.整体编排上不够合理 现行人教版小学数学教材对比和比例有关知识的编排作了较大的调整。将过去教材六年级下册的“比和比例”单元一分为二，在六年级上册分数除法单元中安排“比和比的应用” ，目的是加强比与分数以及除法的联系，为教学圆周率、百分率等打好基础；在六年级下册安排“比例” ，同时将比例尺的知识划分在“空间与图形”领域中的“图形与变换”中。这样的编排，把有着密不可分的、甚至同样表示两种相互关联的变6量之间的倍率关系的比与比例的内容人为地割裂开来，笔者认为不太合理。 2.正比例意义的表述不够简洁 过去教材是这样定义正比例的：
11、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。给人的感觉是倒述、绕口，因为所谓的两关联的量，就是一种量随另一种量的变化而变化。 现行人教版教材是这样表述正比例的：因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积与高度的比值一定，我们就说体积和高度成正比例关系，体积与高度叫做成正比例的量。显而易见，采用举例描述显得冗长，可能正是这样的原因，后又改为与以前的教材一模一样的表述。 笔者组织了一个不成熟的表述：一种量随另一种量的变化而变化，且这两种相关联的量的所有对应数据的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 以上关于比和比例的各种困惑、质疑与思考，大部分来自学生的学习交流过程，面对学生的质疑，笔者作了些深入思考与整理，因此也谈了某些观点试图解决问题，可是深知自身知识储备不足，观点乏力，甚至是错误的想法。但是，我们都提倡以学定教，既然学生在学习中遇到了不少困惑，作为教师就应相应地完善自己的教学行为，而前提是要有7正确的知识理解。因此，期盼同事与专家赐教。 （浙江省温岭市横湖小学 317502）
