1、1-2 章作业1-4一质点的运动学方程为 ， ( )。试求： (1)质点的轨迹方程；2xt21ytSI(2)在 s 时，质点的速度和加速度。2t解 （1） 由质点的运动方程 （1）2t（2）1y消去参数 t，可得质点的轨迹方程 2x（2） 由（ 1） 、 （2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度txv2d12dytv所以 （3jijiyxt）2dxta2dyta所以 （4ji）把 代入式（3） 、 （4） ，可得该时刻质点的速度和加速度2stjiv2jia21-9一物体沿 轴运动，其加速度与位置的关系为 。物体在 处的x x60x速度为 10ms-1，求物体的速度与
2、位置的关系。解 根据链式法则 xvttvadd62对上式两边积分并考虑到初始条件，得 xv010d62故物体的速度与位置的关系为462xvsm1-16在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为 ，其中 和 都是正常量。求 时刻齿尖 P 的速度201svtb0vbt及加速度的大小。解 设时刻 齿尖 的速率为 ， 切向加速度 ，法向加速度 ，则 tPvtanaRbtvats202nt0)(d所以， 时刻齿尖 的加速度为tP2402n2t )(tvb1-18一质点沿半径为 的圆周运动，其角位置 。(1)在 时，0.1m34t2st它的法向加速度和切向加速度各
3、是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时， 值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 21dt质点的线速度 2.0.tRv质点的法向加速度 ，切向加速度 为nata（1）422n .1.1t（2）tva4.dt（1）把 代入（1）式和（2）式，得此时st 2t4nm/s8.2/1031a（2）质点的总加速度 1364.2tnt由 得 a21t.504.解得 st所以 rad1.32（3）当 即 时tnatt4.1有 0.5s2-3质量为 m 的子弹以速率 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，0v大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求：
4、(1) 子弹射入沙土后，k速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。解 设任意时刻子弹的速度为 v，子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv(1) 由牛顿第二定律 tmad即 vk所以 t对等式两边积分 tvmk0d0得 tv0ln因此 tmke(2) 由牛顿第二定律 xvttvaf dd即 xk所以 vm对上式两边积分 0dvsxk得到 0即 ks2-5跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 。求跳伞员的运动速率 随时间 变化的规2Fvvt律和极限速率 。Tv解 设运动员在任一时刻的速率为 v，
5、极限速率为 ，当运动员受的空气阻力等于运Tv动员及装备的重力时，速率达到极限。此时 2Tkmg即 v有牛顿第二定律 tkgd2整理得 mtkvgd2对上式两边积分 gktv1002得 mtvgln整理得 T2211ekevkgmttkgmtt3-4 章作业3-5在光滑的水平桌面上平放有如图 3-5 所示的固定的半圆形屏 障。质量为 m 的滑块以初速 度 沿切线方向进0v入屏障内， 滑 x=0 处块与屏障间的摩擦系 数为 ，试证明：当滑块从屏 障的另一端滑出时，摩擦力所作 的功为201Wmve证明 物体受力：屏障对它的压力 N，方向指向圆心，摩擦力 f 方向 与运动方向相反，大小为 f(1)另外
6、，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律 切向 (2) 习题 3-4 图tmaf法向 (3) RvN2联立上述三式解得 at又 svttvaddt 所以 Rv2即 sd两边积分，且利用初始条件 s=0 时， 得0v0v习题 3-5 图即 0lnlnvsRvsRev0由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即 时，摩擦力所做的功2021mWs为 12212000 evevR3-6一质量为 与另一质量为 的质点间有万有引力作用。试求使两质点1m2m间的距离由 增加到 时所需要作的功。1xdx1解： 2GdWF积分得12121()xdmdxx4-5如图 4-5 所示，质
7、量为 M=1.5kg 的物体，用一根长为 l=1.25m 的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为 m=10g 的子弹以 v0=500 的水平速度射穿物体，1ms刚穿出物体时子弹的速度大小 v=30 ，设穿透时间极短，求:1s(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2)子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）设绳的张力为 T，子弹穿过后 M 的速度为 ，则0mMv2Tgl解得 T=26.5N（2） 所受冲量： 10()4.7Imvkgs4-6. F30+4t 的力作用在质量为 10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300 ，此力作用的时间为多少?(3)若物N
8、s体的初速度为 10 ，方向与 F 相同，在 t=6.86s 时，此物体的速度是多少?1s解 根据冲量定义 2030d4dtttI (1)开始两秒钟此力的冲量sN6823022 tI(2) 当 时sN30I2t解得 s86.(3) 当 时， ，根据动量定理.6t30I0mvp因此 s401Iv4-7质量为 m 的质点在 xOy 平面内运动，其运动方程 ，cosinatbtrj试求：(1)质点的动量； (2)从 t0 到 这段时间内质点受到的合力的冲量；2t(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒? 为什么?解 质点的速度(1)jirvtbtatcossnd(1) 质点的动量 jipttmss(2
9、) 由(1)式得 时，质点的速度0tjvb0时，质点的速度为2t jivba2cossnt根据动量定理0tmvpI解法二： jiaFvjir tmbwtmt ttsincosdcssn220di0 220 tat jI(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间 t 变化。4-13. 氢原子中的电子以角速度 在半径 m 的圆形轨64.130rads105.3r道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量。解： 231102649.0(5.)4.31.06Lmrw4-17. 有两个质量都等于 50kg 的滑冰运动员，沿着相距 1.5m 的两条平行线相向运动，速率皆为 10 。当两人相距为 1.
10、5m 时，恰好伸直手臂相互握住1s手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为 1.0m 时，角速度变为多大?解 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1) 设两人质量均为 m，到转轴的距离为 ，握住手以后绕中心角速度为 ，系统对转轴1r 1的转动惯量为 ，则有：1J(1)11Jvr又 (2)22mrJ联立（1） ，(2)式得rad/s3.175.0/1rv(2) 设两人相距 1.0 米时，角速度为 ，此时系统对转轴的转动惯量为 ，两人到转轴的2 2J距离为 ，则2r(3)21J(4)22mrr又联立(2)-(4)式得 rad/
11、s9.5.0/317.0/ 22212 r本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。4-21如图 4-23 所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为 m 的滑块。弹簧原长为 ，倔强系数为 k。当 t0 时，0L弹簧长度为 。滑块得一水平速度 ，方向与弹v簧轴线垂直。t 时刻弹簧长度为 L。求 t 时刻滑块的速度 v 的大小和方向 (用 角表示) 。解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即习题 4-23 图(1)20220)(11Lkmv小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即恒量rL故 (2)sin0v由(1)式得 2020)(Lmkv代入(2)式得 2020)(arcsinLmkvL
