1、1利用平行四边形的性质解题平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。 一、求角度 例 1（2013 年江西省中考题）如图 1，?荀 ABCD 与?荀 DCFE 的周长相等，且BAD=60，F=110，则DAE 的度数为_。 分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边 CD,则有 AD=DE,即ADE 为等腰三角形，顶角ADE=BCF，则可求DAE。 解因为?荀 ABCD 与?荀 DCFE 的周长相等，且有公共边 CD， 所以 AD=DE, ADE=BCF=60
2、+70=130。 所以DAE=（180-ADE）=50=25。 点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确DAE 的身份（为等腰三角形的底角） ，要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得ADE=BCF=130。 二、求线段长 例 2（2013 年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图 2，在ABCD 中，AD=2AB，CE 平分BCD 交 AD 边于点 E，且 AE=3，则 AB 的长为（） A4 B3 C D2 2分析根据平行四边形性质得出 AB=DC，ADBC，可推出DEC=BCE，从而有DEC=DCE，可推出 DE=DC=AB，得出 AD=2DE 即可。解因为四边形 ABC
3、D 是平行四边形，所以 AB=DC，ADBC，所以DEC=BCE。 因为 CE 平分DCB，所以DCE=BCE。 所以DEC=DCE，所以 DE=DC=AB。 因为 AD=2AB=2CD，CD=DE，所以 AD=2DE。 所以 AE=DE=3，所以 DC=AB=DE=3。 故答案选 B。 点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出 DE=AE=DC。 三、求周长 例 3（2013 年山东省烟台市中考题）如图 3，?荀 ABCD 的周长为36，对角线 AC、BD 相交于点 O。点 E 是 CD 的中点，BD=12，则DOE 的周长为_。
4、 分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得 OB=OD，又因为点 E 是 CD 的中点，可得 OE 是BCD 的中位线，则有 OE=BC，所以易求得DOE 的周长。 解因为?荀 ABCD 的周长为 36， 所以 2（BC+CD）=36，则 BC+CD=18。 因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点3O，BD=12， 所以 OD=OB=BD=6。 又因为点 E 是 CD 的中点，所以 OE 是BCD 的中位线， 所以 OE=BC。 所以DOE 的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即DOE的周长为 15。 故答案填 15。 点评本题考查了
5、三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分” “平行四边形的对边相等”的性质。 四、证明角相等 例 4（2013 年浙江省衢州市中考题）如图 4,在?荀 ABCD 中,BE 平分ABC,DF 平分ADC,且 BE、DF 分别交 AD、BC 于 E、F，求证: BED=BFD。 分析BED 和BFD 是四边形 BFDE 的对角,所以只要证明四边形 BFDE是平行四边形即可。 证明因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ADBC。所以1=3。 又 BE、DF 分别平分ABC 与ADC，所以3=ABC， 2=ADC。 又ABC=ADC, 所以3=2。所以
6、 1=2。所以 BEDF。 又 ADBC,所以四边形 BFDE 是平行四边形。 所以BED=BFD。 4点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。 五、证明线段相等 例 5（2013 年四川省泸州市中考题）如图 5，已知?荀 ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接 DF 并延长交 AB 的延长线于点 E。求证：AB=BE。 分析根据平行四边形性质得出 AB=DC，ABCD，可推出C=FBE，CDF=E，可以证明CDFBEF，从而推出 BE=DC，即可证明。 证明因为 F 是 BC 边的中点，所以 BF=CF。 因为四边形 ABCD 是
7、平行四边形，所以 AB=DC，ABCD。 所以C=FBE，CDF=E。 所以CDFBEF（AAS） ，所以 BE=DC。 因为 AB=DC，所以 AB=BE。 点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出CDFBEF。 六、求最值 例 6（2013 年四川省达州市中考题）如图 6，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有?荀 ADCE中，DE 最小的值是（） A2 B3 C4 D5 解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知，当 ODBC时，DE 线段取最小值。 5因为在 RtABC 中
8、，B=90，AB=3，BC=4， 所以 AC=5。 因为四边形 ADCE 是平行四边形， 所以 OD=OE，OA=OC=2.5。 所以当 OD 取最小值时，DE 线段最短，此时 ODBC。 所以 OD=1.5， 所以 ED=2OD=3。 故答案选 B。 点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键，是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。 七、综合问题 例 7（2013 年云南省中考题）如图 7，平行四边形 ABCD 的对角线AC、BD 相交于点 O，下列结论正确的是（） ASABCD=4SAOB BAC=BD CACBD D?荀 ABCD 是轴对称图形 分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。 解因为平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， 所以 AO=CO，DO=BO。 所以 SAOD=SDOC=SBOC=SAOB， 所以 SABCD=4SAOB，故 A 选项正确。 6无法得到 AC=BD，故 B 选项错误；无法得到 ACBD，故 C 选项错误；ABCD 是中心对称图形，故 D 选项错误。 故答案选 A。 点评本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键。
