1、信号与系统复习题1 1/2 。 （解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换(32)td的性质及冲激函数的定义）2已知信号 ，则 。 （解()(,0xtautb()xt()ta题思路：冲激函数和阶跃函数的特点和性质）3 。 （解题思路：冲激函(1)2()(ttt(1)2()utt数卷积积分的性质）4已知 ，则 。 （解题思路：傅()FxtXj(5)Fxt5()jXe里叶变换时移的性质）5已知信号的频谱函数为 ，则该信号时域表达式为 ()Sa1()(1)2utt。 （解题思路：矩形脉冲的傅里叶变换）6无失真传输系统的时域特性的数学表达式为 ，频域特性的数()dhtKt学表达式为 。 （解题思路：无失真传
2、输系统的定义）-()djtHjKe7信号 的周期 T= 2 s。 （解题思路：P18 1-2 ()sin2cos(3)xttt）12=mT8信号 的周期 N= 4 。 （解题思路： ()23kjxe， ，周期 ）()23cos()+sin()3kjej =22=4/N9.信号 的偶分量 0.5 。 （解题思路： ）)xtuext(t)+-ex10已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为 。 （解题1tu思路： ）-()()dtgh01()htt题 10 图e11已知某系统的阶跃响应如题 11 图所示，则该系统的冲激响应为 。 （解题思路： ）2()(3)tt()htg02()t3t
3、题 11 图12. 若 的波形如题 12 图所示，试画出 的波形。()ft (0.51)ft)t2-1-01 2 3( 1 ) t题 12 图解：将 改写为 ，先反转，再展宽，最后左移 2，即得(0.51)ft.5()ft，如答 12 题所示。 t12- 2 - 1( 1 )0- 30124t)5.(tf)2(6)( 01468 )5.(ft答 12 题13.一个离散时间信号 如下图所示，试画出 的图形。 （请记住：对离散信xk32xk号不能写成如下表达式： ）/-23-11231k3204567题 13 图xk解： 包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移 2 再抽取，最后翻转的顺序处理，3xk
4、即得 ，如答 3-1 图所示。2答 13 图1321321k54045xk310232xkk2310232xkk214.试求微分方程 所描述的连续时间 LTI 系统的冲激响()63()2(0)yttxtt应 。()ht解：微分方程的特征根为： s由于 ，故设 。nm6()()thtAeuBt将其带入微分方程 ，32()t可得 16,故系统的冲激响应为3()16()thteut15. 求题 15 图所示系统的单位脉冲响应 h k。其中 h1k =2kuk， h2k =k1 ，h 3k = 3kuk，h 4k = uk。题 15 图解：子系统 h2k与 h3k 级联，h1k 支路、全通支路与 h2
5、k h3k 级联支路并联，再与h4k级联。全通支路满足 *xxy全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列 k12341 2().5()0.kkhhhuu16已知信号 在频域的最高角频率为 ，若对信号 进行时域抽样，试求其频()xt m(/)xt谱不产生混叠的最大抽样间隔 。axT解：由于 F(/4)()tXj故信号 的最高角频率为 ，频谱不产生混叠的最小抽样角频率为(/)xt /m22s即最大抽样间隔 max4/smT17 最高角频率为 ，对 取样，求其频谱不混迭的最大间隔。()ft()()2tyf解：信号 的最高角频率为 ，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号 的最高角频m ()4tf率为 ，信
6、号 的最高角频率为 。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域/4m()2tf /相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 的最高角频率为()()42tyfh2kxk ykh3kh1k +h4kmm432ax根据时域抽样定理可知，对信号 取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔()()tyfmaxT为 mT3axma18. 已知连续周期信号 的频谱 如题 18 图所示，试写出信号的时域函数表示式。()ftnC2 nCn01 1 2 3-34 331122题 18 图解：由图可知， 23C1231C4000046cos()2cs()4cos(3)ttt0j()entnft)ee3 0000 j3jj2jjj
7、tttttt 19. 已知某连续时间 LTI 系统的输入激励为 ，零状态响应为4()tu。求该系统的频率响应 和单位冲激响应 。34()2()()ttzsyteu ()Hjht解：对 和 分别进行 Fourier 变换，得xzsyt41()()tXjFeuj3422()2()()34(3)4ttzsYj jjjj故得 ()()zsjHjXj132(thtFeu20. 已知一连续时间系统的单位冲激响应 ，输入信号1()(3)htSat时，试求该系统的稳态响应。()32,ftcost解：系统的频响特性为 6/3,1()()()30 HjFhtp利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即 )(
8、cos)()cos( 0000 tjtT由系统的频响特性知， ，可以求出信号21/j，作用在系统上的稳态响应为()32,ftst()3()s()j2)s(2) =1+co,fHtHt21.已知一连续时间 LTI 系统的零状态响应为 ，激励信号为)(e5.1.0()2zs tutyt，试求：(1)该系统的系统函数 H(s)，并判断系统是否稳定；(2) 写出描述系统()xtu的微分方程；(3) 画出系统的直接型模拟框图。解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为)2(125.1.0)(zs ssY Re()0sX根据系统函数的定义，可得 231)2(1)(zs ssYHRe()1s该系统的极点为 p
9、1= -1, p1= -2 系统的极点位于 s 左半平面，故该系统稳定。 (2) 由式可得系统微分方程的 s 域表达式)(2()3(zs2 XYs两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为)()()(“txtytty(4) )将系统函数表示成 s 的负幂形式，得12()3Hs其模拟框图如下所示。 ()Xs1s1s232 ()Ys22. 描述某因果连续时间 LTI 系统的微分方程为 。()710()23()yttytxt已知 ， 。由 s 域求解：(1) 零输入响应 ，零状态响2()()txeu0)(1yx应 和全响应 ；(2) 系统函数 ，并判断系统是否稳定；(3) 若fytt ()H，重求
10、 、 、 。2(1)txe()xytfts解：(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换，得： 2()0()7()0)1()23)(sYsYyYsXs 整理得 22()()3) (710710sysss其中零输入响应的 s 域表达式为22()()821)7107105xyysYs s所以系统的零输入响应为125()()(ttxziytLteu零状态响应的 s 域表达式为22 2(3)(3)7/91/37/9)(7107102()5f sYXss所以系统的零状态响应为152271()() )(93tttffytLYseeu系统的全响应为52216()() )(tttxfttyt(2)根据系统函数的定
11、义，可得2()3/7371025zsYsHXs由于系统的极点为 ，均位于 s 平面的左半平面，所以系统稳定。 ,p(3) 若 ，则系统函数 和零输入响应 均不变，根据时不2(1)txteu ()H()xyt变特性，可得系统零状态响应为 5(1)2(1)2(1)7()93tt tfyteteu23. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题 23 图所示，求：1z32)(zF )(zY+-2kx1kxz4题 23 图(1) 描述系统的差分方程；(2) 系统函数 ，单位脉冲响应 ；Hzhk(3) 判断系统是否稳定。解：（1）由题 18 图可知，输入端求和器的输出为 )(2)(3)(12 z
12、XzFX(1)11(2)式（2）代入式（1）得 )(23)(12zFz(3)输出端求和器的输出为 )(4)(4() 12zzXY(4)即 )(3(1Fz或 4)(21zY因此系统的差分方程为31241ykykffk（3）由系统函数的定义可得 2654)(21zzzFYHf取 z 反变换得系统单位冲激响应为 (6)khku（4）由系统函数 可得极点 ，都未在单位圆内，故系统不稳定。z12,p24. 一初始状态为零的离散系统，当输入 时，测得输出xku。试求：(1)该系统的系统函数 ；(2) 画出其零极点分布图；1()23kyuk()Hz(3)判断系统的稳定性。解：(1)对 和 分别进行 z 变换
13、，得xky1()Xz 1111123() 5()236zYzz 由系统函数的定义得1122() 35)()()6zzYzHX(2)系统的零极点分别为 。 12,3zp其零极点分布图如下所示。1230RezImz(3)由于极点均在单位圆内，故系统稳定。 25. 试写出方程 描述的 LTI 系统的状态方程和输出方程的矩阵3()4()yttyxt形式。解：选 和 作为系统的状态变量，即()t12,()qyty由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为1212()4()()33tqyxtqtt写出矩阵形式为112200()()()433qtqtxt系统的输出方程为1()ytq写出矩阵形式为12()()0tytq26已知一个 LTI 系统的系统函数 为请写出系统直接型结构的状态方程和输出方程。解：将系统函数改写为 s 的负幂形式，则其系统直接型结构如下图所示s1s1 s1 592624 y(t)2 q1q2q3x(t) 3214695)(sH选三个积分器输出为系统的状态变量 q1，q2 和 q3，有24695)(23ssH
