1、1一元一次方程应用中的十类行程问题一、一元一次方程应用题中的行程问题概述 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度. 其基本关系式为：路程=速度时间；速度= 可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系.在不同的问题中，相等关系是灵活多变的.如：相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系. 航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化： 顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速） ； 逆水（风）速度=静水（无风）速度-水流速度（风速）. 由此可得到航行问题中一个重要等量关系： 顺水（风）速度
2、-水流速度（风速）=逆水（风）速度+水流速度（风速）=静水（无风）速度. 常见的行程问题类型：（1）相遇问题；（2）追及问题；（3）相遇与追及相结合问题（环行跑道问题） ；（4）先后问题；（5）航行问题；（6）分类讨论问题；（7）回声问题；（8）桥隧问题； （9）设而不求（设中间参数）的行程问题；（10）往返问题. 二、一元一次方程应用题中行程问题举例 21.相遇问题 例 1 两辆汽车从相距 84 km 的两地同时出发相向而行，甲车速度比乙车速度快 20 km/h，半小时后相遇，两车速度各是多少？ 分析：相遇问题中主要相等关系是“甲车所走的路程+乙车所走的路程=两地相距的路程（全程） ”. 解
3、：设乙车速度为 x km/h，则甲车速度为（x+20）km/h. 依题意，0.5（x+20）+0.5x=84，解得，x=74，所以 x+20=94. 2.追及问题 例 2 甲、乙两人驾车都从某地出发，同向而行，甲车出发半小时后，乙车开始追赶，乙车行驶了 1.5 小时追上甲，已知乙车的速度比甲车速度的 2 倍少 40 千米/小时，那么甲、乙两车的速度各是多少？ 分析：追及问题中的主要相等关系是：“追赶者的路程-被追者的路程=原来相隔的路程”或“甲车所走的路程=乙车所走的路程”. 解：设甲车的速度为 x 千米/小时，则乙车的速度为（2x-40）千米/小时. 依题意，1.5（2x-40）-1.5x=
4、0.5x 或 1.5（2x-40）= （1.5+0.5）x 解得 x=60，所以 2x-40=80. 3.相遇与追及相结合问题（环行跑道问题） 例 3 某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为 3 米/秒.问往返共需多少时间？ 讲评：这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一3个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇. 在追及过程中，设追及的时间为 x 秒，队伍行进（即排头）速度为90 米/分=1.5 米/秒，则排头行驶的路程为 1.5x 米；追及者的速度为
5、3米/秒，则追及者行驶的路程为 3x 米. 由追及问题中的相等关系“追赶者的路程-被追者的路程=原来相隔的路程” ，有： 3x-1.5x=450，所以 x=300 在相遇过程中，设相遇的时间为 y 秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为 1.5y 米，返回者行驶的路程为 3y 米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450，所以 y=100. 故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒） 4.先后问题 例 4 汽车从 A 地到 B 地，若每小时行驶 40 km，就要晚到半小时：若每小时行驶 45 km，就可以早到半小时.求 A
6、、B 两地的距离. 讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”.在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系.本题中，设 A、B 两地的路程为 x km，速度为 40 km/h，则时间为 6.分类讨论问题 4例 6 甲、乙两站的铁路长为 960 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶 200 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 120 km.若快车先开出48 分钟，两车相向而行，则慢车行驶多少小时两车相距 160 km？ 分析：两车相距 160 km，可能是两车相遇之前相距 160 km，也可能是两车相遇之后再相距 16
7、0 km.因此需分类进行讨论. 解：设慢车行驶 x 小时两车相距 160 km. 例 7 汽车以每秒 20 米速度沿笔直的公路开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4 秒后听到回声，已知声音的速度是 340 米/秒，听到回声时汽车离山谷距离是多少？ 分析：声音从发出开始遇到山谷返回共用 4 秒钟，此时汽车向前行驶 4 秒钟.如图 1. 解：设听到回声时汽车离山谷距离为 x 米 依题意，2（420+x）=4340+420 解得，x=640. 8.桥隧问题 例 8 一列火车匀速行驶，经过一条长为 1200 米隧道需要 50 秒钟，整列火车完全在隧道里的时间是 30 秒.求这列火车的长度和速度. 分析：火车经过隧道时，经过隧道的时间指“从车头进入隧道到车尾离开隧道”火车所走的时间，整列火车完全在隧道里指“火车车尾完全进入隧道到火车车头未出隧道”的过程.
