1、工程光 郁道银 学习题解答第十二章 光的衍射1 波长为 的平行光垂直照射在宽度为 的单缝上，以焦距为 的会50nm0.25m50cm聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有 sin(1,3.)a中央亮纹的角半宽度为 0亮纹半宽度2900 3501.rff ma（2）第一亮纹，有 1sin491 34.93.50.02862rada11.14.3rf m同理 24.6m（3）衍射光强 ，其中20sinIsina当 时为暗纹， 为亮纹siatg对应 级数 0I0 0 11 4
2、.493 0.047182 7.725 0.01694. . . . . . .2 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为式中， 是中央亮纹中心强度； 是缝宽；20sin(isn)aiI0Ia是衍射角， 是入射角（见图 12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为i工程光 郁道银 学习题解答cosai证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦 变为 即可sinlsini(2)令 sinai对于中央亮斑 sia3 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为 ，所用透镜的焦1.5m距为 ，光波波长为 。问细丝直径是多少？0m632.8nm解：设直径为 ，则有afd93.
3、10.01265fd4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为 和 的圆环（见图 12-51）的夫琅和费衍射ab强度公式，并求出当 时， （1）圆环衍射与半径为 的圆孔衍射图样的中心强度之比；2ab（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。解：已知半径为 的圆孔的衍射场振幅为a12JkaEpc同样，圆屏使 P 点振幅减小12bJkbci图 12-50 习题 3 图b a图 12-51 习题 6 图工程光 郁道银 学习题解答因此圆环在 P 点产生的振幅为2211abaJkbJkEcP 点强度为2221124JkJkIcab对于衍射场中心， 有0 242222 babIccca当 时，ab（1） 224
4、2 4904816abaIccc 916aI（2）第一暗纹有 2210JkabJk112查表可有 3.4ka. 0.5a4 （1）一束直径为 的氦氖激光（ ）自地面射向月球，已知地面和2m632.8nm月球相距 ，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为3.7610k扩束器将该扩展成直径为 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射4向月球，在月球上的光斑为多大？解：（1）圆孔衍射角半宽度为 0.61a传到月球上时光斑直径为 983.2.8102 .76290.3Dll km（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为 2000 倍。直径980.610.6. 2.145.lla工程光
5、郁道银 学习题解答5 若望远镜能分辨角距离为 的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时7310rad为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：970.61.52.42Dm人眼分辨率为 4.90rad放大率 713M?6 若要使照相机感光胶片能分辨 的线距， （1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当2m时线；（2）照相机镜头的相对孔径 D/f 至少有多大？（光波波长为 ）50nm解： （1）胶片分辨率为 线/毫米350N（2） 1.2.49Dd?7 一台显微镜的数值孔径为 ，问（1）它用于波长 时的最小分辨距离0.840n是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到 1.45，分辨率提
6、高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为 ） 。1解：（1）960.61.4.2sin085mu（2）提高 .7（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为42502.9107.5em放大率至少为237.091.7eM8 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长 ，透镜焦距 ，观632.8nm50fcm察到两相邻亮条纹之间的距离 ，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的.5e缝距和缝宽；（2）第 1，2，3 级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为 sin,0,.dm取微分有 co令 ，且 ，则1m1d?工程光 郁道银 学习题解答又 efd93362.810.5210m
7、（2）衍射极小位置为 sina,.,.adnm取 140.5a（3）对于第一级亮纹有 sind即 2i2又 4dasin4第一级亮纹的相对强度22210sinsii 40.81I 同理 3200.4,.9II9 在双缝的一个缝前贴一块厚 ，折射率为 1.5 的玻璃片。设双缝间距为.1m，缝宽为 ，用波长 的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅1.5m.55n和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为 0sidndm10 一块光栅的宽度为 ，每毫米内有 500 条缝，光栅后面放置的透镜焦距为10cm。问（1）它产生的波长 的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度50n632.8是多少？（2）若入
8、射光是波长为 和波长之相差 的两种单色光，它n0.5n们的 1 级和 2 级谱线之间的距离是多少？解：（1） 6105dN对于一级主极大有 1sin8.43d工程光 郁道银 学习题解答31.410cosfrmNd同理 32.08（2） in线色散 coslfd1，2 级衍射线色散为1500.26/.2s18.43lmnm2.6/ln而 0.5谱线间距11.26/0.513lmnm20.3l11 设计一块光栅，要求（1）使波长 的第 2 级谱线的衍射角 ，60n03（2）色散尽可能大， （3）第 3 级谱线缺级， （4）在波长 的 2 级谱线处能60nm分辨 的波长差。在选定光栅的参数后，问在透
9、镜的焦面上只可能看到波长0.nm的几条谱线？6解：为使 的二级谱线的衍射角 ，则光栅常数 应满足30d9626012.4sinsi3dm色散 越小色散越大comd 62.410d若第三级缺级，应有 630.81amd由条件（4） 5.2N光栅总长度 L可看到最高级条纹为69sin.410d可看到 级， 级缺级，共 5 条条纹。0,123工程光 郁道银 学习题解答12 为在一块每毫米 1200 条刻线的光栅的 1 级光谱中分辨波长为 的一束氦632.8nm氖激光的模结构（两个模之间的频率差为 ） ，光栅需要有多宽？450MHz解： 对应的频率为632.8nm4.764145032.81. n 光
10、栅总条纹数为 64.05Nm长度为 61.058792Ld13 证明光束斜入射时， （1）光栅衍射强度分布公式为 式220siniNI中 ， 为衍射角； 为入射角，见图sinaisindii12-53，N 为光栅缝数。 （2）若光栅常数 ，光栅形成主级大的条件可以写为codim0,12,.证明：（1）与垂直入射相比，有 2sindisindi同理 a（2）光栅形成主极大有 sindimcosin2d?,0i 图 12-53 习题 18 图工程光 郁道银 学习题解答coss,in22i i有 dim14 有一多缝衍射屏如图 12-54 所示，缝数为 ，缝宽为 ，缝间不透明部分的宽Na度依次为 和
11、 。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。a3解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差 26sina或 12sina24sina单缝产生的复振幅为 ， 其中iAsi多光束产生干涉有?12121213.sin.iNiii iiiieeEPe iiNiA1sini2exp2iie设复数 1iMeiN则 *214cos透射光强22410sinicosI3aa a图 12-54 习题 19 图工程光 郁道银 学习题解答令 sinb1,4,220isin64coNI15 一块闪耀光栅宽 ，每毫米有 个刻槽，闪耀角为 。 （1）求光束26m30072垂直于槽面入射时，对于波长 的光的分
12、辨本领；（ 2）光栅的自由光谱范5n围有多大？（3）试问空气间隔为 ，精细度为 25 的法布里-珀罗标准具的分辨本1c领和自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为 47.80Nd闪耀级数为 62sin712sin335mm?分辨本领为 610（2）自由光谱范围为 38.n（3）F-P 标准具的分辨为 62.9710hAmss?自由光谱范围为 比光栅小得多22750.51nh16 一透射式阶梯光栅由 20 块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板 ，玻璃折射率 ，阶梯高度 。以波长 的单1tcm.5n0.dcm50nm色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2
13、）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化） 。解：（1）由于阶梯高度 与 相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光d程差为 cosin1nllld对应 处， 0400lm（2） 1nldnl设 与 相比变化很小，即n0工程光 郁道银 学习题解答210/mradn分辨本领 45201AN17 设光栅的振幅透射系数为 ，这块光栅1 0()coscos(2)txtfxtfx的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？18 在宽度为 的狭缝上放一折射率为 、折射角为 的小光楔，由平面单色波垂直bn照射（见图 12-55） ，求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19 图 12-56 为一透射型闪耀光栅，周期为 ，闪耀角为 ，由平面波垂直入射d（1）求夫琅和费衍射图样的光强分布。 （2）求光栅对 级光谱闪耀时 应满足1m的条件。 （3）试分析对 级闪耀时，光谱强度分布的特点。1m20 如图 12-58 所示，单色点光源（波长 ）安放在离光阑 远的地方，50nm1光阑上有一个内外半径分别为 和 的通光圆环。考察点 P 离光阑 （SP0.1mb an图 12-55 习题 23 图nad图 12-56 习题 24 图
