1、1等量双电荷连线及中垂线上场强与电势的变化规律(郑州外国语学校河南 郑州 450001) 真空中两个等量异(同)种点电荷的连线及中垂线上场强或电势的变化规律是历年高考考查的热点.这类“双电荷”问题体现了叠加、对称与极限思维，学生看起来似曾熟悉，但往往较难做出正确解答，究其原因，主要是没有真正理解这类“双电荷”电场的特点与规律.本文就来探讨真空中等量双电荷连线及中垂线上场强与电势的变化规律. 1 等量异种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律 1.1 场强的变化规律 (1)中垂线上场强的变化规律 如图 1 所示，真空中两个等量异种点电荷的电量分别为+Q 和-Q，连线为线段 AB，MN 为 A
2、B 的中垂线，垂足为 O.在中垂线 MN 上任取一点 C，令 OC=y,AB=L，在 RtAOC 和 RtBOC 中，有 AC=BC=(L2)2+y2, cos=L2(L2)2+y2. +Q 和-Q 分别在 C 点处产生场强的大小为 EA=EB=kQ(L2)2+y2. 2由平行四边形定则可知，C 点处的合场强 EC 平行于连线 AB 指向-Q一侧，且 EC=2EAcos=kQL(L2)2+y23/2(1)(1)式中 k、Q、L 是常量，由(1)式可知，当 y=0 时，EC 有最大值，且 ECmax=8kQL2，即中垂线上垂足O 处的场强最大；当 y 变大时，上式分母(L2)2+y23/2 逐渐
3、变大，则EC 的值因单调递减而逐渐变小；当 y时，EC0，即中垂线上距 O 点无穷远处几乎不存在电场，场强为零. 可见，真空中两个等量异种点电荷的连线中垂线上，垂足处的场强最大，沿中垂线向两侧、关于垂足对称场强逐渐减小，无穷远处场强为零，场强的方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧.如图 2 所示. (2)连线上场强的变化规律 如图 1 所示，在连线 AB 上任取一点 D，令 AD=x,AB=L，则 BD=L-x.+Q在 D 点产生的场强为 EA=kQx2, -Q 在 D 点产生的场强为 EB=kQ(L-x)2, 由场强矢量的叠加原理可知，D 点的合场强为 ED=EA+EB=kQ1x2+1(
4、L-x)2(2) ?外接法、电流表内接法几种形式，如图 3 所示，构成“A-a、A-b、B-a、B-b”4 种组合方式. 对于同一个基本原理，也可能有多种实验处理的方法和替换方式，3以伏安法测电阻(外接法)为例，如图 4 所示，其中(1)和(2)分别是改装了电流表和电压表，这两种情景是在基本伏安法的基础上进行了电表改装的拓展，本质与原设计是一致的；如果总电压恒定不变，可以变图(1)为图(3)，变图(2)为图(4)或(5)，引导学生进行归类能够将头脑中的电学实验有机的融合到一块. 物理实验教学培养学生创新能力的重要途径，无论是演示实验还是学生分组实验，学生是主体，我们教师要充分发挥主导性作用，对
5、教材中的实验内容和实验装置进行必要的改进和重组，提高物理实验的探究性和思考性，激发学生的正向思维，引导学生在思考、设计、探究的一系列过程中实现知识的累积和方法的沉淀，同时自身的创新意识和创新能力得到提高.为了讨论 ED 随 x 的变化规律，对(2)式求导可得 ED=kQ-2x-3+2(L-x)-3 =2kQ1(L-x)3-1x3(3) 由(3)式可知，当 xL2 时，ED0，则原函数 ED 在(0，L2上为递减函数，即线段 AO 上，沿 AO 方向各点的合场强具有随 x 增大而减小的变化规律；当 xL2 时，ED0，则原函数 ED 在L2，L)上为递增函数，即线段 OB 上，沿 OB 方向各点
6、的合场强具有随 x 增大而增大的变化规律；当 x=L2 时，ED=0，则原函数 ED 有最小值，即 EDmin=8kQL2.场强的变化规律如图 3 所示. 可见，在真空中两个等量异种点电荷的连线上，两端点处的场强最大，中点 O 处场强最小(但不等于零)，连线上其他各点场强的大小总是沿连线从中点 O 向两场源电荷场强逐渐增大，其中关于中点 O 对称点的4场强大小相等,方向相同，沿连线指向负场源点电荷一侧.此规律也可利用分子动理论中分子力随距离变化的规律进行类比.另外，也可根据两个等量异种点电荷的连线周围电场线的疏密变化，定性知道场强沿连线先变小后变大. 1.2 电势的变化规律 真空中两个等量异种
7、点电荷的连线位于一条由正场源点电荷指向负场源点电荷的电场线上，沿着电场线电势逐渐降低，其中连线的中垂线正场源点电荷一侧的电势大于零，连线的中垂线负场源点电荷一侧的电势小于零，连线与中垂线的交点(垂足)处的电势等于零，如图 4 所示；因为连线的中垂线上的场强方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧，因此，沿中垂线移动电荷至无穷远时，电场力不做功，即中垂线为一条等势线.若取无穷远处电势为零，则中垂线上各点的电势均为零. 2 等量同种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律 2.1 场强的变化规律 (1)中垂线上场强的变化规律 如图 5 所示，真空中两个等量同种点电荷的带电量均为+Q，连线 AB的
8、长度为 L，连线与中垂线的交点(垂足)为 O.在中垂线上任取一点 C，设CAB=.两场源正点电荷分别在 C 点产生的场强为 E1=E2=kQ(L2cos)2=4kQcos2L2, 由平行四边形定则可知，C 点处的合场强 E 沿中垂线背离 O 点，且 E=2E1sin=8kQL2cos2sin(4) 在(4)式中，令 y=sincos2，对 y 求导得 5y=cos-3sin2cos =cos(1-3sin)?(1+3sin), 则当 sin=33 时，y=0，即当 =arcsin33=35.26时，ymax=239，而 =arcsin(-33)体现了中垂线上关于 O 点两侧电场的对称性.则中垂
9、线上 C 点处合场强的最大值为 Emax=8kQL2ymax=163kQ9L2. 由(4)式可知，当 =0时，即在 O 点，场强 E=0；当 =90时，即无穷远处，场强 E=0；当 =arcsin33=35.26时，场强 E 有最大值Emax=163kQ9L2. 可见，在真空中两个带电量均为+Q 的等量同种点电荷连线的中垂线上，场强关于连线的中点 O 对称，先逐渐增大，后逐渐减小，场强的方向相反，始终沿中垂线背离 O 点.而在真空中两个带电量均为-Q 的等量同种点电荷连线的中垂线上，只是相反的场强方向始终沿中垂线指向 O 点，其它则与上述结论相同.即等量同种点电荷连线的中垂线上的场强 E 随
10、x变化的规律如图 6 所示. (2)连线上场强的变化规律 与真空中两个等量异种点电荷连线上场强的变化规律类似，真空中两个等量同种点电荷连线中点 O 处的场强最小，且为零，沿连线从中点O 向两场源电荷场强逐渐增大，两端点处的场强最大，且关于中点 O 对称点的场强大小相等,方向相反.场强大小的变化规律如图 7 所示. 2.2 电势的变化规律 真空中两等量正电荷的连线上，场强的方向沿连线背离场源电荷，6沿场强方向电势逐渐降低，因此，连线中点 O 处的电势最低，沿连线从中点 O 向两场源电荷电势逐渐升高，两端点处的电势最高，且电势大小关于中点 O 对称，如图 8 所示；真空中两等量正电荷的中垂线上，场
11、强的方向始终沿中垂线背离 O 点，沿场强方向电势逐渐降低，因此 O 点处的电势最高，沿中垂线背离 O 点电势逐渐降低，无穷远处电势降为零，且电势大小关于 O 点对称.而真空中两等量负电荷恰好相反，连线中点 O处的电势最高，沿连线从中点 O 向两场源电荷电势逐渐降低，两端点处的电势最低，且电势大小关于中点 O 对称；中垂线上 O 点处的电势最低，沿中垂线指向 O 点电势逐渐降低，且电势大小关于 O 点对称. 2.3 规律拓展 如果真空中两同种点电荷的带电量不相等，则在两点电荷的连线上一定存在一点 O，在 O处的合场强为零，两点电荷连线上过 O点的垂线上的场强与电势的分布规律与上述结论类似，也存在一个极值点.由n 个固定在一条直线上的同种点电荷产生的电场中，垂足处场强为零的这一直线的垂线上的场强与电势的分布规律也与上述结论类似.
