1、1高等数学在经济管理中的简单应用摘要本文通过实例介绍了高等数学在经济管理中的几个常见应用，使抽象的数学概念具体化，便于学生对相关专业知识的理解和掌握。关键词边际函数弹性经济函数 中图分类号O13文献标识码A文章编号2095-3437（2013）08-0056-02 在经济管理中，数学知识是必不可少的，本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。 一、连续复利e 在经济中的应用 利息是银行对储蓄（或借贷）所支付（或收取）的除本金以外的货币。银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示 单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金 （一）单利
2、设本金为 A0（可指投资,存款等） ，年利率是 i，所谓单利是指仅按本金 A0 计算利息。例如：A0 的投资时间为 t 年，那么七年后,可得单利:I=A0it 本利和是 A=A0+I=A0（1+it） 例如：1000 元投资 5 年，年利率 6%，于是 5 年后共得单利 2I=10000.06=300（元） ，A=1000+300=1300（元） （二）复利 所谓复利是指经过一年时间，将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。 假定本金是 A0 元，那么一年后的利息是 A0i，此时本金就成了 A0+A0i=A0（1+i） 再经过一年又得复利 iA0（1+i） 本金成了 A0（1+i）2, 依次类推
3、，t 年后本金 A（t）就成了 A（t）=A0（1+i）t 例如：将 1000 元投资 5 年，年利率 6%，按年计算复利，那么 5 年后本金就 A（5）=1000（1+0.06）51338.23（元）,利息是 338.23 元。 设年利率为 i，如果一年计算 m 次复利，那么 t 年后就计算 mt 次，每次的利率算作。设本金为 A0 元，年利率为 i，每年计算复利 m 次，那么 t 年后本金为 A（t）=A0（1+）mt。 例如：将 1000 元投资 5 年，年利率 6%，每年计算复利 4 次，那么 5年后本金就成了 A（5）=1000（1+）54=1346.86（元） ，利息是346.86
4、 元。 （三）连续复利 A（t）=A0（1+）mtA0（1+）it=A0eit 这种计利方法称为连续复利。 连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用，如：细胞分裂、树木的生长等。 3二、边际与弹性导数与微分的简单应用 （一）边际概念 在经济学中边际表示的是变化率，函数的导数称为边际函数。 如：成本函数 C（x）的导数 C（x）称为边际成本函数。 边际成本具有怎样的经济意义？ 当产量由原产量 x 单位增加一个单位（x=1）时，成本 C（x）的真值为 C（x+1）-C（x） ，但当产量的单位很小或一个单位与原产量 x 值相比很小时，则由近似式=C（x） （|x|很小时） 取 x=1，得 C（x
5、+1）-C（x）C（x） 这表明当产量达到 x 时，再增加生产一个单位，成本的增加值就可以用边际成本 C（x）近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。 在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本 C（x）解释为：当产量达到 x 时，再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1 个产品所需的成本。 例如：设生产 x 件某产品的成本为 C（x）200+0.03x2 生产 100 件的总成本为 C（100）=200+0.03（100）2=500 每件产品的平均成本是=5 边际成本函数为 C（x）=0.06x 产量在 100 件时的边际成本为 C（x）=0.06100=6 它近似表示生产第 10
6、1 产品的成本。这件产品的真值是 C=C（100+1）-C（100）=6.03 4除边际成本函数外，收入函数的导数称为边际收入函数；利润函数的导数称为边际利润函数；需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。 （二）弹性概念 经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。 例如：需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数 x=f（p） ，其中 x 需求量，p 是价格，=p 由于 p 很小时，=p所以需求弹性近似表示在价格为 p时，价格变动 1，需求量将变化|%，通常也略去“近似”二字一般来说，需求函数是一个减函数，需求量随价格的
7、提高而减少，因此需求弹性一般是负值，它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度，即灵敏度。 对任何函数都可以建立弹性，一般地，函数 y=f（x）在点 x 处的弹性定义 为 =x 它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。通常表示为：yx= 例如：某种产品的需求量 x 与价格 p 的关系为 x（p）=1600（）p， （1）求需求弹性 （p）;（2）当商品的价格 p=10 元时，再增加51，求该商品需求量变化情况。 解:需求弹性 （p）p=pln=（-2ln2）-1.39p 需求弹性为负，说明商品价格 p 增加 1时
8、，商品需求量将减少1.39p% 当商品价格 p=10 元时 （10）-13.9 这表示价格 p10 元时，再增加 1，商品的需求量将增加13.9p%，如价格降低 1，商品的需求量将增加 13.9p%。 三、积分在经济问题中的应用 例：已知某商品每天生产 x 单位时，边际成本为 C（x）=0.4x+2（元单位） ，其固定成本是 20 元，求总成本函数 C（x） 。如果这种商品规定的销售单价为 18 元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x） ，并问每天生产多少单位，总利润最大？ 解可变成本就是边际成本函数在0，x上的定积分，又已知固定成本为 20 元，所以总成本函数 C（x）=（0.4t+2）
9、dt+20=0.2x2+2x+20 当销售单价为 18 元时，总利润函数为 L（x）R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20 由 L（x）=-0.4x+16=0，得 x=40 又因为 L（x）=-0.40，所以，每天生产 40 单位可获最大利润，最大利润为 L（40）=300（元） 。 高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举：如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等6等；化学中有扩散速度、反应速度，溶液连续稀释问题等；生物学中有（种群）出生率、死亡率、自然生长率等等；社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等，几何学中曲线的切线问题，曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。 参考文献 1杨洁.高等数学M.北京：人民卫生出版社，2012. 2刘桂茹，孙永华.经济数学M.天津：南开大学出版社，2003. 责任编辑：左芸
