1、1解决排列组合问题的九种方法排列组合是高中数学的重点和难点内容之一，也是求解概率问题的基础。排列组合问题不仅内容抽象、题型多样，而且解法灵活，不易掌握。解答排列组合问题时，要注意分析题型类别，抓住问题的本质，采取恰当的方法来处理问题。下面介绍求解排列组合问题的常用方法，供大家学习时参考。 一、为数不多问题枚举法 例 1 设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5的盒子，现将这 5 个球投入 5 个盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 分析先选出球号和盒子号相同的两个号码，有 C25 种选法，再将剩余的按照球号和盒子号
2、都不同的条件一一枚举出来，结合分步计数原理求解即可。 解从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C25 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三个球只有 2 种装法，因此总共装法数为 2C25=20 种。 点评对于某些难以理解的排列组合问题，由于其结果数字不是很大，且不易用公式进行运算，此时利用枚举法（尤其是树图法）将其一一列2举出来，会收到意想不到的结果。 二
3、、复杂问题分类讨论法 点评解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。 三、特殊位置（元素）优先法 例 3（2012 年全国大纲卷?文 7）6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（） A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.720 种 分析本题可从元素进行分析，由于选手甲有特殊要求，所以可以先将甲的位置选定下来，再排剩余的 5 位选手的位置；亦可从位置进行分析，先从除甲以外的 5 个人当中选 2 人安排到第一个和最后一个位置，再排剩余的 4 个位置的人选。 解法 1 先排甲，有 4 种方法，
4、剩余 5 人全排列有 A55=120 种，所以不同的演讲次序有 4120=480 种，故答案选 C。 解法 2 先从除甲以外的 5 个人当中选 2 人安排到第一个和最后一个位置，共有 A25=20 种方法，再将剩余的 4 人安排到中间 4 个位置，共有A44=24 种方法，所以共有 2024=480 种方法，故答案选 C。 点评特殊位置优先法和特殊元素优先法是解决排列组合问题最常用、最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。3四、相邻问题捆绑法 分析
5、将每个家庭的三个人捆在一起看成一个整体，从而 9 个人看成三个整体，同时考虑三个整体的排列和每个家庭内部的排列。 五、不相邻问题插空法 例 55 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（） A.A55?A24 种 B.A55?A25 种 C.A55?A26 种 D.A77-4A66 种 分析先排 5 个大人，再在大人中间的 4 个空隙中选 2 个将两个小孩安排进去。 解先排 5 个大人，有 A55 种排法；再排小孩，有 A24 种排法（插空法） 。故有 A24?A55 种不同的排法，所以答案选 A。 点评对于互不相邻问题，先排不受限制的元素，再把要求不相邻的元
6、素插入这些元素的空间中，从而实现排列目标，这种方法就是插空法。它是解决元素不相邻问题的基本方法。 六、正难则反间接法 例 6（2012 山东省烟台市二模）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门相同的选法种数为_（用数字作答） 。 分析本题若从正面直接分类较为复杂，而其反面情况较少，于是可将甲乙两人所有的选法，减去两人所选两门都不同的选法。 解可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C24C24=36，再求出两人所选4两门都不同的种数均为 C24C22=6，故至少有 1 门相同的选法有 36-6=30种。 点评从正面直接计算不复杂时就直接进行计算，若直接计算情况
7、较为复杂时，可以先不考虑题设条件的限制求出方法数，再减去不符合条件的方法数即可求解，这就是间接法。这种思维方法在解题中有着广泛的应用。间接法主要适用于“至少” “至多” “并非”等类型的排列组合问题。 七、元素相同隔板法 例 7 有 10 个运动员名额，分给某校的高三 7 个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有_种。 分析因为 10 个名额没有差别，欲将其分成 7 份，每份至少一个，可将它们排成一排，形成 11 个空隙，在中间 9 个空隙中选出 6 个插入 6 块隔板把它们隔开，即可把名额分成 7 个部分，对应分给 7 个班级，每一种插板方法对应一种分法，如下图所示。 解从 9 个空隙中
8、选出 6 个插入 6 块隔板，共有 C69=84 种选法，故共有 84 种不同的分配方案。 点评相同元素的分配问题往往采取隔板法来处理。一般地，将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数） ，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 Cm-1n-1。 八、顺序固定问题作除法 例 8 若把组成下列单词中的每个字母作各种排列，恰好有 420 种排5法的单词是（） A.trousersB.successC.streetD.friend 分析因为相同的字母之间的排列与顺序无关，所以可先进行全排，再除以定序元素的全排，就可求出各选项中所含
9、字母的排法。 解选项 A 中的排法为：A88A22A22=10 080 种；选项 B 中排法为：A77A22A33=420 种；选项 C 中排法为 A66A22A22=180 种；选项 D 中排法为：A77=5 040 种。故答案选 B。 点评解决某些元素位置固定的情况的一般思路是：先不考虑元素的限制，求出结果除以受限制元素的全排列数。本题中排列时相同字母之间是没有顺序的，可以看成固定顺序问题，利用这种相除法避免了分类带来的麻烦。 九、多排问题单排法 例 98 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少种不同的排法？ 分析原题可以转化为 8 个人排成一排，其中甲乙必须排在前 4 个位置中，而丙必须排在后 4 个位置中。 解 8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子，可以把椅子排成一排。先排前 4 个位置的特殊元素甲乙有 A24 种，再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种，其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A55 种，则共有A24A14A55 种。 点评一般地，若把 n 个元素排成 m 排排列（n，m 为正整数） ，可把每排首尾排成一排，对应每排的特殊要求，再分段考虑特殊元素，然后对6其余元素作统一安排。 （作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学）
