1、1漫谈二次函数在高中阶段的应用在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对它们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数特别是二次函数为例来加深认识函数的概念。二次函数是从一个集合 A（定义域）到集合 B（值域）上的映射 f：AB，使得
2、集合 B 中的元素 y=ax2+bx+c（a0）与集合 A 的元素 x 对应，记为 f（x）=ax2+bx+c（a0） 。这里 ax2+bx+c 表示对应法则，又表示定义域中的元素 x 在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型 I：已知 f（x）=2x2+x+2，求 f（x+1） 。 这里不能把 f（x+1）理解为 x=x+1 时的函数值，只能理解为自变量为 x+1 的函数值。 类型：设 f（x+1）=x2-4x+1，求 f（x） 。 2这个问题理解为，已知对应法则 f 的情况下，定义域中的元素 x+1的象是 x2-
3、4x+1，求定义域中元素 x 的象，其本质是求对应法则。 二、二次函数的单调性、最值与图象 在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 y=ax2+bx+c 在区间（-，- 及- ，+）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上；与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 （1）y=x2+2|x-1|-1。 （2）y=|x2-1|。 （3）y=x2+2|x|-1。 这里要让学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用
4、分段函数去表示，然后画出其图象。 类型：设 f（x）=x2-2x-1 在区间t，t+1上的最小值是 g（t） 。求 g（t）并画出 y=g（t）的图象。 解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在 x=1 时取最小值-2。 当 1t，t+1即 0t1 时，g（t）=-2； 当 t1 时，g（t）=f（t）=t2-2t-1； 当 t1） 首先要使学生弄清楚题意。一般地，一个二次函数在实数集合 R 上3或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化。为了巩固和熟悉这方面的知识，可以再给学生补充一些练习。 如：y=3x2-5x+6（-3x-1） ，求该函数
5、的值域。 三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维 类型：设二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a0） ，方程 f（x）-x=0 的两个根 x1、x2 满足 00，因此 f（x）0，即 f（x）-x0。至此，证得x0） ，函数f（x）的图象的对称轴为直线 x=- ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得 x0=- 。因为 x1、x2 是二次方程 ax2+（b-1）x+c=0 的根，根据违达定理得，x1+x2=- 、x2- 0， x0=- = （x1+x2- ） ，即 x0= 。 二次函数，具有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面的知识，使我们对它的研究更深入。
